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Der Kreis der überzeugten Anhänger der MaxweH'schen Blektricitätslehre setzte sich bis vor einigen Jahren fast aus- schliesslich aus englischen Physikern zusammen. Schon früher schenkte man zwar auch auf deutschem Boden dieser Theorie grosse Beachtung; man war aber noch zu sehr in dem Banne der Pemwirkungslehre befangen^ um sich vollständig in sie einleben zu können. Anfanglich richteten sich daher die Be- strebungen unserer Physiker vorwiegend dahin, eine Ver- söhnung beider Theorien herbeizuführen und womöglich ein allgemeines Schema aufzustellen, das beide als SpecialföUe in sich fasste. Eine andere Folge davon war, dass man sich zuerst und am meisten mit jener Seite der Maxwell'schen Lehre befreundete, die von der Ableitung der Gleichungen des elektromagnetischen Feldes aus den allgemeinen Principien der Mechanik handelt. Denn der Ideengang, der dieser zu Grunde liegt, ist seinem Wesen nach eng verwandt mit den älteren üntersuchungsmethoden, bei denen der PotentialbegriflF die entscheidende Rolle spielte. Alle Bemühungen^ die Faraday-MaxwelFsche Anschauung in den früheren Vorstellungskreis einzugliedern, ohne von diesem erhebliche Opfer zu bringen, mussten indessen in letzter Linie an den Verschiebungsströmen im freien Aether und an der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromag- ] \W netischen Wellen scheitern. Kaum hatte daher Hertz diese ■ ^ Folgerung der MaxwelFschen Theorie durch seine entscheiden- den Versuche bestätigt, als er sich sofort dieser grundsätzlich zuwandte, nachdem er sich schon früher sehr mit ihr be- freundet hatte. Digitized by Google IV Vorwort. Damit war der Wendepunkt gekommen. Heute denkt man kaum noch daran^ in der Richtung de^ Weber'schen Elementar- gesetzes weiter zu arbeiten, dessen Formulirung einst den Höhe- punkt der Entwickelung der älteren Vorstellungen gebildet hatte. Nachdem sich schon auf Grund der älteren Theorie die Un- haltbarkeit dieses Gesetzes definitiv herausgestellt hatte und sich kein Ersatz dafür finden Hess, war die Leistungsfähigkeit der Femwirkungstheorie erschöpft und ihre Unzulänglichkeit trat immer mehr zu Tage. Dadurch war der Boden für die Aufnahme einer grundsätzlich von jener verschiedenen Lehre wohl vorbereitet und unter dem Eindrucke der Hertz'schen Entdeckungen konnte sich der Umschwung der Meinungen daher mit ungewöhnlicher Schnelligkeit vollziehen. So kam es, dass man heute der Maxwell'schen Lehre überall das lebhafteste Interesse entgegen bringt. Nicht nur der Physiker von Fach, der Lehrer und der Studirende der Physik, sondern namentlich auch der wissenschaftlich gebildete Elektrotechniker sucht sich mit den Grundzügen dieser Theorie bekannt zu machen, in der man heute mit grosser Wahr- scheinlichkeit die bleibende Grundlage jeder physikalischen Forschung auf diesem Gebiete erblicken darf. Hiermit entstand auch das Bedürfniss nach einer möglichst allgemein verständlichen, dabei aber doch wissenschaftlich strengen Darstellung der MaxweU'schen Theorie. Denn das Maxweirsche Originalwerk, das als Hauptquelle zur Verfügung stand, stellt nicht nur ziemlich hohe Anforderungen an die mathematische Vorbildung und vielfach auch an die Geduld des Lesers, sondern es enthält, wie ja den Umständen nach gar nicht anders zu erwarten, auch manche Irrthümer, die inzwischen berichtigt sind, und es schlägt viele Umwege ein, die seitdem abgekürzt wurden. Eine solche Bearbeitung b^t Boltzman in den von ihm herausgegebenen Vorlesungen geliefert. Ich glaube aber nicht, dass dadurch eine anderweitige Behandlung des Gegenstandes entbehrlich gemacht wurde, obschon sich jenem Buche in seiner Art kaum etwas Besseres zur Seite stellen lassen wird. Digitized by Google Vorwort. V Denn dieser Physiker hat, wenigstens in dem zur Einführung des Lesers bestimmten ersten Bande, sein Hauptaugenmerk auf die Ableitung der Gleichungssysteme des Feldes aus der Theorie der Cykeln gerichtet. Für den Anfänger * scheint es mir aber nicht so sehr auf den Nachweis anzukommen, dass sich die MaxwelFsche Theorie als Folgerung aus einem höheren Principe ableiten lässt, sondern ich halte es für viel wichtiger, ihm eine möglichst unmittelbare und deutliche Vor- stellung von den BegriflFen und Auffassungen dieser Theorie zu geben, um ihn zu einem selbstständigen Arbeiten damit zu befähigen. Und ich bin ferner der Ansicht, dass die mechanischen Analogien der Cyklentheorie dieses Ziel nicht so bequem erreichen lassen, als der Weg, den ich hier ein- geschlagen habe. Bei der Bearbeitung dieses Buches Hess ich mich von jenem praktischen Beweggrunde in erster Linie leiten. Ich vermied es überall, die Energiebeziehungen zur Ableitung der Grundgesetze heranzuziehen, sondern stützte diese, soweit es irgend anging, unmittelbar auf die Erfahrungsthatsachen. Natürlich versäumte ich nicSt, nachträglich den Nachweis zu liefern, dass das Energieprincip nun auch thatsächlich erfüllt wird. So habe ich auch die von Boltzmann vorangestellte Herleitung der Feldgleichungen aus den mechanischen Principien nur im letzten Abschnitte kurz berührt und ich hoflFe, dem Leser die Einarbeitung in das ihm noch fremde Gebiet durch diese Anordnung erheblich erleichtert zu haben. Für die aus- führlichere Darstellung dieser gleichwohl sehr wichtigen Be- trachtungen verweise ich den Leser auf jenes vortfeflfliche Buch, behalte mir aber auch selbst noch vor, später ausführ- licher darauf zurückzukommen. An mathematischen Vorkenntnissen setzte ich bei dem Leser, um mich an einen möglichst weiten Kreis wenden zu können, nur die sichere Beherrschung der Anfangsgründe der Differential- und Integral-Rechnung voraus. Ich hoflfe mit Zuversicht, dass meine Darstellung keinem Leser, der mit diesen genügend vertraut ist, besondere Schwierigkeiten bereiten wird. Bei Digitized by Google VI Vorwort. der mathematischen Fassung der vorgetragenen Lehren habe ich mich allerdings überall der Bezeichnungen und Methoden des Vectorcalcüls bedient; im ersten Abschnitte sind diese aber, soweit als sie gebraucht werden, in sehr einfacher und, wie ich unbedingt annehmen darf, auch sehr leicht verständ- licher Weise erörtert. Ich empfehle dem Leser, zunächst den ersten Abschnitt durchzusehen: er wird dort Vieles finden, was ihm ohne Weiteres vollkommen klar ist. lieber das Andere möge er zunächst hinweggehen und sofort mit dem Studium der folgenden Abschnitte beginnen. Bei Gelegenheit der Rück- verweisungen auf die im ersten Abschnitte entwickelten Rechen- gesetze wird er dann schon von selbst darauf geführt werden, die vorher überschlagenen Entwickelungen aufs Neue in Er- wägung zu ziehen und an der Hand der concreten Anwendungen, die davon gemacht werden sollen, wird er sich mit weit leichterer Mühe darin zurecht finden, als wenn die mathe- matischen Lehren losgelöst von diesen bewältigt werden müssten. Im üebrigen habe ich es mir zur Aufgabe gemacht, eine grössere Häufung von Formeln ^abgesehen natürlich von der mathematischen Einleitung) thunlichst.zu vermeiden und lieber mehr Text zur Wiedergabe meines Gedankenganges zu ver- wenden. Dieses Bestreben hat natürlich seine Grenzen, die durch die Rücksicht auf den präcisen Ausdruck gesteckt sind. Es wird aber ganz besonders unterstützt durch den Gebrauch der Vectoren-Gleichungen, die in ihrer einfachen Gliederung fa'st wie abgekürzte Sätze des Textes gelesen werden können. In der That gewinnt die Behandlung der Elektricitäts- lehre so ungemein an Klarheit und Durchsichtigkeit durch die Einführung der Vectorgrössen selbst an Stelle ihrer Compo- nenten, dass es im Ganzen entschieden weniger Anstrengung erfordern dürfte, sich zuerst mit den wenigen Rechengesetzen, um die es sich dabei handelt, vertraut zu machen und dann noch die Elektricitätslehre durchzunehmen, als wenn man diese allein mit Hülfe der gewohnten Cartesischen Darstellungs- methode studirt. Die auf das Studium der Vector-Analysis zu Digitized by Google Vorwort. VII verwendende Mühe wird daher sofort durch einen.entspreehenden Gewinn reichlich belohnt und ausserdem erzielt man damit den dauernden Vortheil, sich mit jener analytischen Darstellungs- form geometrischer Beziehungen vertraut zu machen^ die zweifellos die mathematische Zeichensprache der Physik der Zukunft sein wird. Bei der Herausgabe dieses Buches befand ich mich in einer ähnlichen Lage^ wie etwa Weisbach, als seine Mechanik zum ersten Male erschien. Damals wusste man in den tech- nischen Kreisen, für die sein Buch bestimmt war, noch wenig von der Differentialrechnung und er zog es vor, lieber einen einleitenden Abschnitt darüber vorauszuschicken, als auf deren Anwendung zu verzichten oder sich nur an solche Leser zu wenden, die schon damit vertraut waren. Heute ist dies nicht mehr nöthig; hoffentlich dauert es aber nicht mehr gar zu lange, bis auch ein solcher einleitender Abschnitt über die Rechnung mit Vectoren ebenso entbehrlich wird, und zwar auch bei uns in Deutschland, während es in England heute schon so ist. Das Land, das einen Grafismann hervorbrachte, sollte gegen das Geburtsland Hamilton's mit der Einführung dieser wichtigen Verbesserung in den mathematischen Hülfs- mitteln der theoretischen Physik nicht länger zurückstehen. Am engsten schloss ich mich bei der Darstellung des Rechnens mit Vectoren, wie in vielen anderen Punkten, an das von 0. Heaviside in seinen Abhandlungen, die vor Kurzem auch gesammelt im Buchhandel erschienen sind, gegebene Muster an. Von den Arbeiten dieses Meisters ist meine Dar- stellung überhaupt mehr beeinflusst als von denen irgend eines anderen Physikers, mit Ausnahme von Maxwell selbst natür- lich. Ich halte Heaviside für den hervorragendsten Nachfolger Maxweirs nach der speculativ-kritischen Seite hin, wie es der uns leider so früh entrissene Hertz zweifellos nach der ex- perimentell-bestätigenden Seite hin war. Quellenangaben habe ich in diesem Buche grundsätzlich fortgelassen. Man wird mir daraus vielleicht einen Vorwurf machen, den ich bei einem wissenschaftlichen W^erke im All- Digitized by Google VIII Vorwort. gemeinen auch .als sehr berechtigt anerkennen muss. Ich hatte aber meine guten Grü;ide zu diesem Verfahren und ich hoffe^ dass mich ihre Darlegung in den Augen aller billig Denken- den rechtfertigen wird. Ich wollte kein Handbuch, sondern ein Lehrbuch schreiben, das möglichst aus einem Gusse sein sollte. Deshalb vermied ich es so viel als irgend thunlich, während der Bearbeitung die von mir früher gelesenen Schriften nachzuschlagen, um mich nicht unmittelbar von ihnen be- einflussen zu lassen. Von den Ent Wickelungen und den Er- gebnissen anderer Autoren wollte ich mich nur so weit leiten lassen, als sie sich meinem Gedächtnisse fest eingeprägt und sich mit meinen eigenen Anschauungen innig verschmolzen hatten. Auf diese Art hoflfte ich zu einer einheitlicheren und in sich besser gefügten Darstellung des ganzen Systems zu ge- langen, als es im anderen Falle möglich gewesen wäre. Nach Beendigung der Arbeit schien es mir aber undurch- führbar, nachträglich genaue Rechenschaft darüber abzulegen, woher jeder einzelne Gedanke^ den ich benutzte, ursprünglich stammte. Selbst über den Antheil, den ich für mich selbst in Anspruch nehmen darf, bin ich an vielen Stellen im Zweifel. Ich verzichte aber von vornherein gern auf die Erhebung aller Prioritätsansprüche und begnüge mich damit, nur auf die Darstellungsform Urheberrechte geltend zu machen. Eine Ausnahme davon bitte ich nur in Bezug auf die Behandlung der mit der magnetischen Härte zusammenhängenden Er- scheinungen machen zu dürfen, bei der ich kaum aus fremden Quellen schöpfte. Lehrbüchern von solcher Tendenz hat man übrigens von jeher gestattet, von der fortlaufenden Bezugnahme auf die Originalarbeiten abzusehen, während man sie für ein Hand- buch mit Recht als unerlässlich ansieht. Möge daher der Leser diesen Mangel, wenn er ihn als solchen empfindet, mit Nachsicht beurtheilen. Mit vollem Rechte hat Boltzmann die Physiker auf- gefordert, beim Anschreiben der Formeln sich möglichst der ursprünglichen Bezeichnungen MaxweU's zu bedienen, weil das Digitized by Google Vorwort. IX Studiam sehr dadurch erleichtert wird, wenn man von vorn- herein überall bekannte Symbole vorfindet. So weit es sich um die Bezeichnung der Yectorgrössen selbst handelt, bin ich ihm auch gefolgt; für die Componenten habe ich aber überall dieselben Buchstaben, wie für die Vectoren gewählt (nur in anderer Schrift und mit entsprechenden Abzeichen), weil die Zahl der Zeichen, deren Bedeutung man sich zu merken hat, dadurch ganz erheblich vermindert wird. Ich suchte hierbei die Interessen der Anfönger wahrzunehmen, ohne die der schon Erfahrenen zu verletzen. Neuerdings bedienen sich die englischen Physiker, nach dem Vorgange von Heaviside, mit grossem Vortheile fetter Lettern zur Kennzeichnung der Yectorgrössen. Ich nahm diesen wichtigen Yortheil gleichfalls wahr, bediente mich aber ausserdem, so wie Maxwell selbst, der Fracturbuchstaben für die Vectoren. Ich halte es für einen Nachtheil, dass man in England hiervon abgegangen ist, weil dieses Kennzeichen auch in der Handschrift bestehen bleibt, in der man mit fetten Lettern u. dgl. nicht operiren kann. Für die Kennzeichnung des Vectorproducts liess die Ver- lagsbuchhandlung mit dankenswerther Bereitwilligkeit das Operationszeichen V herstellen, das sich von dem in der Po- tentialtheorie oft gebrauchten gewöhnlichen Buchstaben V deutlich unterscheidet, so dass jedes Missverständniss ausge- schlossen ist. Alle Betrachtungen, die mir schwieriger usd dabei für die erste Einführung in die Theorie entbehrlich zu sein schienen, habe ich aus diesem Buche fortgelassen. Wenn sich die Er- wartungen erfüllen, die ich an die Herausgabe des Buches knüpfe, wenn es also, namentlich in weiteren Kreisen Ver- breitung und Absatz und wenn ferner die von mir gewählte Behandlung den erhoflFten Beifall findet, beabsichtige ich, diesem Bande einen zweiten folgen zu lassen, der jene schwierigeren Theile behandeln soll. Es würde sich dabei nach meinem jetzigen Plane namentlich um die Behandlung der Vector- functionen (als Ergänzung des ersten Abschnitts) und der Digitized by Google X Vorwort. äolotropen Körper und um die tiefer eindringende Darstellung der Elektrodynamik bewegter Leiter und der hier im letzten Abschnitte nur ganz kurz zusammengefassten Lehren (nament- lich der elektromagnetischen Wellen) handeln. Vor 11 Jahren kam ich^ nachdem ich mich bis dahin aus- schliesslich mit den technischen Wissenschaften beschäftigt hatte ^ zu Herrn Geheimrath Prof. Dr. G. Wiedemann mit dem Entschlüsse, die Elektricitätslehre eingehend zu studieren und erbat mir seinen Bath über den dabei innezuhaltenden Plan. Dieser hervorragende Forscher, der mir seit jenem Tage ein überaus wohlwollender Lehrer, Förderer und Gönner war, wies mich schon bei meinem ersten Besuche u. A. lebhaft auf die Maxweirschen Arbeiten hin. Zunächst freilich folgte ich ihm hierin nicht; es drängte mich mehr, in die Meisterarbeiten der deutschen Schule einzudringen, und erst nachdem ich hierbei die Ueberzeugüng gewonnen hatte, dass auf diesem Wege kaum noch ein durchschlagender Fortschritt erhoflft werden könne, war ich der Lehre des grossen Briten zugänglicher geworden. Dass ich mich schliesslich noch zur Bearbeitung dieses Biuches entschloss, ist ganz wesentlich auf die Anregungen zurückzuführen, die mir im fortlaufenden Verkehre mit jenem bedeutenden Gelehrten, der mein Interesse der Maxwell'schen Theorie stets von Neuem wieder zulenkte, in reichem Maasse zu Theil wurden. Es möge mir daher gestattet sein, Herrn G. Wiedemann auch an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank für das Intere^e auszusprechen, das er von Anfang an an mir und meinen Arbeiten nahm und das er oft genug durch die That zum Ausdrucke brachte. Der Verlagshandlung spreche ich meinen Dank und meine Anerkennung für die sorgfältige und gefällige Herstellung des Druckes aus. Schon in ihrem Interesse wünsche ich diesem Buche neben dem wissenschaftlichen — an dem mir natürlich am meisten gelegen ist — auch einen geschäftlichen Erfolg. Leipzig, im April 1894. A. FSppL Digitized by Google InMtsverzeicliiiiss. ~~ Seite Einleitung 1— i Erster Abschnitt« Die Algebra und Analysis der Vectoren . 5—88 Erstes Capitel. Die elementaren Operationen 5 — 32 Definition des Vectors 5 Darstellung durch Strecken 6 Vertheilung der Dimensionen hierbei 7 Addition von Vectoren ; . . . 8 Die Grundvectoren i, i, t 9 Componenten eines Vectors 11 Das scalare Product 12 Arbeit einer Kraft 15 Das Vectorproduct 16 Coordinatentransformation 18 Bewegung starrer Körper 21 Producte aus 3 Vectoren 23 Princip der virtuellen Geschwindigkeiten und Satz der statischen Momente 27 Zweites Capitel. Die Differentialoperatoren 32—64 Differentiirung nach einer scalaren Veränderlichen ... 32 Krümmungshalbmesser einer Curve 34 Tangential- und Normalbeschleanigung 35 Der Operator V 35 Der Operator (aV) 39 Die Operation V an einem Vector 40 Die Operation div 42 Die Operation curl 44 Mechanische Bedeutung der Operation curl 47 Die Operation (ttV) an einem Vector 49 Raumdifferential eines Vectors 51 Anwendung auf die Hydrodynamik (Wirbelbewegungen) . 51 Die Operation V * 57 Verbindung mehrerer Operationen mit einander .... 60 Digitized by Google XII Inhaltsyerzeichniss. Seite Dritte;^ Capitel. Linien-, Flächen- und Raumintegrale. Das Potential ^ 65—88 Das Linienintegral eines Yectors 66 Definition des scalaren Potentials 66 Satz von Stokes 67 Wirbellose Vertheilung eines Vectors als Bedingung für das Bestehen eines Potentials 69 Definition des Oberflächenintegrals 70 Linienintegral eines Sealars 71 Vectorlinienintegral eines Vectors 72 Oberfiächenintegral eines Vectors 74 Oberflächenintegral eines Sealars 78 Vectoroberflächenintegral eines Vectors 79 Das Potential 81 Definition der zu einer wirbellosen Vectorvertheilung gehörigen „Masse" 82 Laplace'sche Gleichung und ihre Lösung 83 Zweiter Abschnitt« Die Grundlinien der Maxweirschen Elektricitätslehre • 89—174 Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre vor- kommenden Vectoren 89—120 Kraft und Verschiebung im elektrischen Felde .... 89 . Der Kraftfluss, Satz von Gauss 92 Der Verschiebungsfluss 95 Freie und wahre Elektricität 97 Vergleich mit der Femwirkungstheorie 99 Satz von Green 100 Das elektrostatische Potential ist von' den freien Massen \ 103 zu bilden und auf die wahren zu beziehen . . . . J (»»»et ii7) Leiter der Elektricität 104 Elektrostatik 105 Bildliche Wiedergabe von ^ durch Aetherverschiebnngen 106 Der Condensator 110 Gesetz von Coulomb \ . . 113 Maasseinheiten ' 117 Dimensionen der elektrostatischen Grössen 118 Zweites Capitel. Die magnetischen Grössen 121—142 Das Heaviside'sche Dualitätsprincip 121 Kraft und Liduction im magnetischen Felde 122 Definitioii der Permeabilität 123 Freier und wahrer Magnetismus 125 Wahrer Magnetismus kommt in der Natur nicht vor 126 Digitized by Google Inbaltsverzeichniss. XIII Seite Kraft- und Inductionsfluss an der Grenze zweier Medien 126 Magnetisch weiche und harte Körper 130 Vergleich mit der Femwirkungstheorie 134 Unvereinbarkeit der Femwirkungslehre mit der modernen Kraftlinienlehre 141 Dimensionen der magnetischen Grössen 142 Drittes Capitel. Wechselbeziehungen zwischen Elek- tricitöit und Magnetismus 143—174 Art dieser Beziehungen . 143 Elektrischer Strom und magnetisches Feld 144 Ableitung der ersten Hauptgleichung 146 Erste Hauptgleichung 151 Ohm's Gesetz 152 Joule's Gesetz 153 Der wahre Strom 156 Erweiterte Form der ersten Hauptgleichung 158 Convectionsströme 159 Der magnetische Strom 161 Das Inductionsgesetz ^ . 164 Ableitung der zweiten Hauptgleichung 168 Amp^re's Schwimmerregel und ihre Verwandten . . . 169 Zweite Hauptgleichung 171 Tafel der Dimensionen 172 Dritter Abscbnitt* Weiterer Ausbau des Systems 175—266 Erstes Capitel. Die elektrodynamischen und magneto- dynamischen Kräfte 176—184 Ponderomotorische Kraft an einem Stromelement . . 175 Differentialgesetz der elektrodynamischen Ki^fte an Leitungsströmen 179 Magnetodynamische Krafte . ^ . 181 Zahlenbeispiel ' 183 Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrischen und magnetischen Kräfte 184—214 Definition der eingeprägten Kräfte 184 Auffassung der inducirten elektrischen Kräfte als ein- geprägte 186 Die elektrische Contactkraft . 187 V. Helmholtz'sche Doppelschichten 188 Auffassung von Heaviside 192 Die thermoelektrische Kraft 197 Die hydroelektrische Kraft 201 Siingeprägte Kräfte der inneren Magnetisirung .... 204 Digitized by Googte XIV Inhalts verzeichniss. Seite Zustandekommen des remanenten Magnetismus. . . . 207 Eingeprägte Kraft der inneren Elektrisirung 212 Die beiden Hauptgleichnngen mit Berücksichtigung der eingeprägten Kräfte 213 Drittes Capitel. Das Vectorpotential 214 — ^66 Definition des Vectorpotentials 214 Die Laplace'sche Gleichung für das Vectorpotential . 217 Die div des Vectorpotentials 218 Der curl des Vectorpotentials 222 Berücksichtigung der eingeprägten Kräfte 225 Darstellung von ^ und B durch Raumintegrale . . . 226 Vectorpotential von Magneten * 228 Directe Bestimmung von ^^^^^ 229 Darstell ang ^on ^^ als Vectorpotential 233 Vertauschbarkeit der Zeichen pot und curl 235 Darstellung von g^ als Vectorpotential 236 Der Vector Vffy. 237 Zerlegijng in Elementar magnete 238 Magnetische Intensität und Susceptibilität 243 Aequivalenz eines Kreisstromes mit einer magnetischen Schale nach Ampere 244 Vectorpotential einer magnetischen Schale 250 Ersatz von Magneten durch elektrische Ströme ... 253 Ponderomotorische Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Kreisstrome 260 Tafel der Dimensionen 266 Vierter Absclmitt« Die Energiebeziehungen im elektro- magnetischen Felde zwischen ruhenden Leitern . . 267— 30G Erstes Capitel. Einfache Anwendungen des Vector- potentials . 267—293 Begrenzte Anwendbarkeit der Potentialtheorie .... 267 Ableitung der in ruhenden Leitern inducirten elektrischen Kraft aus dem VectojTaotehtiale 269 Das Linienintegral des Vectorpotentials 271 Der Selbstinductionscoefficient 272 Energie eines einfachen Kreisstromes 274 Differentialgleichung für einen einfachen Kreisstrom . 278 Selbstinductionscoefficient beim Vorkommen von Eisen 279 Condensator im Stromkreise 280 Oscillatorische Entladung 284 Zahlenbeispiel 286 Digitized by Google 1 Inhaltsverzeicliniss. XV Seite Wechselwirkung zwischen zwei einfachen ruhenden Kreisströmen 289 Goefßcient der gegenseitigen Induction 290 Erhaltung der Energie 292 Zweites Gapitel. Der Poynting'sche Energiestrom . . 293 — 306 Die Identität der Energie . « 293 Energieströme der gewöhnlichen Mechanik 296 Strom der elektromagnetischen Energie 299 Energiestrom in der Umgebung eines stationären gerad- linigen elektrischen Stromes 303 Fünfter Abschnitt« Die Elektrodynamik bewegter Leiter . 307—365 Erstes Gapitel. Die durch Bewegungen inducirte elektro- motorische Kraft 307—330 Relative und absolute Bewegung im Baume 307 Gleitstellen 312 Bewegter Magnet und ruhender Leiter ....... 314^ Das Linienintegral von Ü^^ 319 Bewegter Leiter und ruhender Magnet. ^ 321. Auffassung der Kräfte Sj, als eingeprägte 324 Unipolare Induction .'. 327 Die Kraftlinien rotiren mit deijlirMagneten 329 ZweitesGapitel. Ene^^G^teebmigen zwischen bewegten Leitern -^J.'^^'.' 330—348 Ponderomotorische Arbeit an einem bewegten Leiter . 330 Vergleich der ponderomotorischen mit der elektro- motorischen Arbeit 333 Bewegung eines Drahtringes im magnetischen Felde ohne Berücksichtigung eingeprägter Kräfte .... 334 Ruhender Drahtring im veränderlichen Felde .... 338 Bewegung eines Drahtringes im magnetischen Felde mit Berücksichtigung eingeprägter Kräfte 339 Zwei lineare Leiter mit eingeprägten Kräften .... 343 Drittes Gapitel. Die Elektrodynamik der magnetischen Ströme 349—355 Vectorpotential magnetischer Ströme 349 Die elektrostatische Energie aufgefasst als magneto- kinetische Energie 351 Inducirte magnetische Kraft in Folge von Feldänderungen 354 h desgl. in Folge von Bewegungen 355 Sechster Abschnitt« Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile der Maxwell'schen Theorie 366—390 Vorbemerkungen 356 Digitized by Google XVI Inhaltsverzeichniss. Seite Erstes Capitel. Die Herleitung der Gleichungen des elektromagnetischen Feldes ans den allgemeinen Principien der Mechanik , 357—367 Bedingungen für die Möglichkeit einer solchen Ableitung 367 Cyklische Bewegungen ' . . . . 360 Gleichung von Lagrange 362 Anwendung auf das Bicykel 363 Vergleich mit den früheren Ergebnissen 365 Zweites Capitel. Der Maxweirsche Zwangszustand . . 367 — 378 Allgemeine Betrachtungen . . . .- 367 Zwangszustand im elektrostatischen Felde 372 Zwangszustand im magnetischen F^lde eines elektrischen * Stromes . 374 Zwangszustand im Innern von Magneten 376 Drittes Capitel. Die elektromagnetischen Wellen in isotropen Medien . 379—390 Ebene Wellen in einem ruhenden, isotropen und homo- genen Dielektricum 379 Discussion der gefundenen Lösung 382 Ebene Wellen in Halbleitern '. 386 Erklärung der Dispersion ,. 389 Schlussbemerkungen 389 Anhang 391—413 I. Rückblick auf die Fassung der Elektrostatik 391 II. Zerlegung eines beliebig im B.aume vertheilten Vectors in einen wirbelfreien und einen solenoidalen Be- standtheil 397 ni. Anziehung einer Kupferscheibe durch die Polfläche eines altemirenden Magneten 398 IV. Formelzusammenstellung 401 Digitized by Google Einleitung. Die Mechanik der elektrischen und magnetischen Er- scheinungen gründete sich bis zum Auftreten MaxwelFs auf die Vorstellung von Fernwirkungen zwischen elektrisirten, magnetisirten oder von elektrischen Strömen durchüossenen Körpern. Nur die Anschauungen Faraday's wichen in dieser Hinsicht von denen aller anderen Physiker ab. Faraday war aber nicht genug Mathematiker, um seiner Auffassung eine nach allen Seiten erschöpfende und widerspruchsfreie Form zu geben, die sie zu dem Range einer Theorie erhoben hätte; obschon auch seine Art, die elektrischen Erscheinungen auf- zufassen und zu beschreiben, wie Maxwell bemerkt, eine mathematische war, ohne dafs er sich der gewöhnlichen mathe- matischen Zeichensprache bedient hätte. Erst Maxwell gelang dies und er schuf, indem er die Ideen Faraday 's in strenge mathematische Formen brachte, ein Lehrgebäude, das schon in der Anlage von den Fernwirkungstheorien wesentlich ver- schieden war, bei seinem weiteren Ausbau aber sich immer weiter von diesen entfernte. Die Fernwirkungstheorien wurden namentlich von deut- schen Gelehrten (es genügt, hier die Namen von W. Weber, H. von Helmholtz, der beiden Neumann und G. Kirchhoflf zu nennen) auf eine hohe Stufe der Vollendung gebracht. In den Hörsälen der deutschen Hochschulen haben sie daher bis vor Kurzem fast unbestritten das Feld behauptet. Seit den Hertz'schen Entdeckungen, die den evidenten Nachweis er- brachten, dass sich in der That im Dielectricum (und auch, Föppl, Maxwell'sche Theorie der Elektricität. 1 Digitized by Google 2 Einleitung. was wesentlich ist, in der Luft oder im Vacuum) elektro- magnetische Vorgänge abspielen, ist dies aber anders ge- ,worden. Selbst in Deutschland hat sich, wie es scheint, die Mehrzahl der Physiker seitdem der Maxweirschen Theorie zu- gewendet. Das ist nicht so zu verstehen, als wenn diese Theorie in. allen Stücken die wäre, die Maxwell selbst in seinem be- rühmten „treatise^^ entwickelte. Sie ist inzwischen nach manchen Seiten hin von seinen Nachfolgern, aber ihrem ursprünglichen Geiste gemäss, weiter ausgebildet worden, ohne desshalb, da die Grundlinien dieselben blieben, eine wesentlich andere ge- worden zu sein. Mit Rücksicht auf diese Unterschiede in ihrer heutigen Fassung ist es wünschenswerth, von vornherein die Hauptzüge der Maxwell'schen Lehre festzustellen und dabei hervorzuheben, was von ihnen wirklich wesentlich ist. Denn auch von den Hauptzügen, die der ursprünglichen Lehre Ma^weirs ihr Gepräge gaben, sind nicht alle wesentliche Er- fordernisse des ganzen Systems. Man kann einzelne fortlassen oder ändern, ohne desshalb den Zusammenhang in allen übrigen Theilen zu lösen. Wenn die wesentlichen Grundlagen der Maxweirschen Theorie überall unbestritten angenommen sein werden, wie dies vielleicht von einer gar nicht fernen Zukunft zu erwarten ist, wird diese Theorie einfach die „Theorie der Elektricität" schlechtweg genannt werden und man wird dann den Namen Maxwell's nur noch mit jener Darstellung ver- binden, die er selbst ihr gegeben hat. Solange indessen die Fernwirkungstheorien noch ihre Vertreter und Vertheidiger finden, ist es nöthig, zum Unterschiede von jenen mit dem Namen Maxwell's auch jede auf seinen Arbeiten aufgebaute Theorie zu bezeichnen. So ist es auch zu verstehen, wenn ich diese Schrift als eine Einführung in die MaxwelFsche Theorie bezeichne. Als wesentliche Kennzeichen der MaxwelFschen Lehre in. ihrer heutigen Fassung sehe ich die folgenden Vorstellungen an: 1) Die Vorstellung, dass alle elektrischen und magnetischen Einwirkungen eines Körpers auf einen von ihm entfernten Digitized by Google Einleitung. 3 anderen, durch die Vermittelung eines Mediums (im Vaeuum durcli die des Aethers) erfolgen, 2) dass jedes Dielectricum, auch der Aether im Vaeuum, in einen später noch näher zu definirenden Zwangszustand von elastischer Art versetzt wird, wenn magnetische oder elektrische Kräfte, in ihm auftreten und dass damit eine An- häufung von Energie verbunden ist, 3) dass die elektrische Strömung unter allen Umständen nur in geschlossenen Bahnen auftreten kann, dass sie aber nicht auf Leiter beschränkt ist, sondern dass auch die bei der Aenderung des Zwangszustandes im elektrischen Felde nach 2) entstehenden elastischen Verschiebungen mit zur Strömung zu rechnen sind, 4) dass auch der Sitz der Energie bei rein elektrostatischen Feldern ausschliesslich, bei den anderen vorwiegend im um- gebenden Mittel zu suchen ist, 5) dass die magnetischen Kraftlinien stets geschlossene Linien bilden, oder mit anderen Worten, dass nirgends wahrer Magnetismus auftreten kann. Hierzu kommen die durch die beiden später vorzuführenden Fundamentalgleichungen ausgesprochenen Wechselbeziehungen zwischen den elektrischen und den magnetischen Grössen. Eine wichtige Rolle spielen in der Maxwell'schen Theorie ausserdem noch, ohne jedoch wie die vorigen unerlässlich zu sein, die folgenden Punkte: 6) Die Ableitung der elektromagnetischen Gleichungen unmittelbar aus den Grundgesetzen der Mechanik, mit Hülfe der Gleichungen von Lagrange, oder anstatt derer des Prin- cips der kleinsten Wirkungen, des Hamilton'schen Princips u. s. w., 7) die speciellere Ableitung des Spannungszustandes des Mediums beim elektrischen oder magnetischen Zwange, 8) die Auffassung des Lichtes als einer elektromagnetischen Wellenerscheinung im Aether, 9) die Darstellung der mathematischen Beziehungen durch Gleichungen, in denen Vectoren auftreten. Diese Liste stelle ich übrigens mit dem Vorbehalte auf, Digitized by Google 4 Einleitung. dass sie leicht in dem einen oder anderen Punkte beanstandet werden kann, da sie nur das Ergebniss einer Abschätzung bildet, bei der verschiedene Meinungen nicht ausgeschlossen sind. Namentlich bezieht sich dies auf die vier letzten Punkte, von denen der eine oder andere (besonders der achte) von vielen Physikern lieber zur ersten Gruppe der wesentlichen Bestandtheile der Theorie gerechnet werden wird. Der zuletzt angeführte Punkt bezieht sich in gewissem Sinne nur auf eine Aeusserlichkeit; trotzdem glaube ich ihm eine grossie Bedeutung beimessen zu müssen. Maxwell selbst hat die Darstellung der Gleichungen nach der Quaternionen- theorie nur mehr nebenbei gegeben; in der Hauptsache be- diente er sich der Cartesischen Darstellungsweise. In dieser lässt sich aber weit schwieriger eine Uebersicht über den Zu- sammenhang aller Formeln gewinnen. Aus eigener Erfahrung weiss ich, wie sehr diese erleichtert wird, sobald man sich der Algebra der Vectoren bedient. Die Mühe, die es kostet, sich mit dieser vertraut zu machen, wird durch die Vortheile, die sich daraus ergeben reichlich aufgewogen. Es ist in der That die einzige Methode, die sich den Erfordernissen der Aufgabe willig anpasst, wenn es sich darum handelt, die Faraday'sche Idee des Kraftflusses möglichst getreu mathe- matisch wiederzugeben. Desshalb stelle ich hier eine Aus- einandersetzung über die Grundregeln der Vector-Algebra voran, indem ich mich dabei an das von 0. Heaviside in mehreren seiner Arbeiten gegebene Muster anlehne. In der Folge werde ich mich dann stets grundsätzlich dieser Dar- stellungsmethode bedienen, die auch in manchen anderen Ge- bieten der Physik, besonders in der Hydromechanik und der Elasticitätslehre mit grossem Vortheile angewendet werden kann. Digitized by Google Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. § 1. Definition des Vectprs. Ein Vector ist eine Grösse, der eine Richtung im Baume zukommt. Viele, ja fast die meisten der in der Physik vor- kommenden Grössen sind Vectoren, so namentlich die Kräfte, die Geschwindigkeiten, die Beschleunigungen; andere wie die Temperatur, die Masse, die Energie in allen ihren Abstufungen besitzen keine Richtung im Räume. Diese werden im Gegen- satze zu jenen Sealaren genannt. Zwei Vectoren unter sich oder zwei Sealaren unter sich sind desshalb noch nicht Grössen gleicher Art; es kommt dabei auch auf ihre physikalischen Dimensionen an, wie schon aus den angeführten Beispielen deutlich genug hervorgeht. Ein Vector und ein Scalar sind dagegen niemals Grössen derselben Art; eine Summe aus einem Vector und einem Scalar hat daher niemals eine physikalische Bedeutung. Der einfachste Scalar ist eine absolute Zahl; alle Sealaren lassen sich in diesem einfachsten Scalar, also durch gewöhn- liche algebraische Grössen ausdrücken, indem man eine Fest- setzung über die zu Grunde gelegten Maasseinheiten und hiermit auch über die physikalischen Dimensionen der aus- zudrückenden Grösse hinzufügt. Der einfachste Vector ist dagegen eine Strecke, der man eine bestimmte, etwa durch Digitized by Google 6 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Yectoren. Beisetzung eines Pfeiles zu bezeichnende Richtung beilegt. Wie die Sealaren durch Zahlen, so lassen sich die Vectoren stets durch Strecken zur Darstellung bringen, indem man ebenfalls einen Maassstab, nach dem die Strecken auszumessen sind, hinzufügt. Auf die Lage der Strecken im Räume kommt in der Algebra der Vectoren nichts an: zwei parallele und gleich- gerichtete Strecken von gleicher Grosse gelten in jeder Hin- sicht als gleich. Die gewöhnliche Algebra beschäftigt sich nur mit scalaren Grössen. Will man mit ihrer Hülfe eine Aufgabe lösen, in der Vectoren vorkommen, so kann dies dadurch geschehen, dass man jeden Vector durch 3 scalare Grössen, etwa durch seine Componenten nach drei Ooordinatenachsen, oder durch seine Grösse ohne Berücksichtigung der Richtung und zwei Richtungswinkel wiedergibt. Um eine Beziehung anzugeben, muss man dann 3 Gleichungen anschreiben, während eine einzige genügt, wenn man mit den Vectoren unmittelbar rechnet. Sieht man bei einem Vector von seiner Richtung ganz ab und begnügt sich damit, nur seine Grösse anzugeben, so nennt man diese den Tensor des Vectors; der Tensor ist demnach stets eine scalare Grösse. Zur Kennzeichnung der Vectoren sind in dieser Schrift ein- für allemal gothische Buchstaben angewendet, während die lateinischen oder griechischen Lettern wie gewöhnlich zur Bezeichnung von Scalaren dienen, so bezeichnet Ä oder a einen Vector und A oder a seinen Tensor. Die Darstellung irgend eines Vectors, z. B. einer Kraft, durch eine gerichtete Strecke (wobei ein bestimmter „Kräfte- maassstab" zu Grunde zu legen ist), lässt sich algebraisch durch die Formel wiedergeben «=tt-^, (1) die als die Definition der Zerlegung eines Vectors Ä in einen Scalar A (der für a = 1 zum Tensor wird), und einen zweiten Vector a anzusehen ist. Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 7 Diese Zerlegung nach Gleichung (1) kann übrigens in verschiedener Weise erfolgen. Macht man a gleich der Maasseinheit^ nach der die Yectoren K auszumessen sind, z. B. gleich 1 Dyn in der betrefifenden Richtung, wenn es sich um Kräfte handelt, so wird der Tensor Ä durch eine absolute Zahl ausgedrückt. Anstatt dessen kann man aber auch dem Tensor Ä eine physikalische Dimension beilegen. In diesem Falle ist der Vector a nicht von gleicher Art mit dem Vector Ä. Bedeutet z. B. K eine JGreschwindigkeit, so hat es die Dimension cm/sec; man kann dann a als gerichtete Strecke wählen, so dass es die Dimension cm hat, während für Ä die scalare Dimension sec"~^ übrig bleibt.*) Dabei hat man bei einer solchen Zerlegung immer noch die Wahl frei, ob man a gleich der Längeneinheit machen will, wobei Ä den Tensor für die gewählte Zerlegung vorstellt, oder ob man die Grosse des Yectors K ebenfalls durch a zur Dar- stellung bringen soll. Im letzten Falle hat der Scalar Ä nur noch die Bedeutung eines Maassstabverhältnisses, das bei der Darstellung der Vectoren von der Art Ä durch gerichtete Strecken a zu Grunde gelegt wird. Diese Art der Zerlegung ist namentlich bei der zeichnerischen Behandlung von statischen Aufgaben (in der Graphostatik) allgemein im Gebrauche. In der Algebra der Vectoren zieht man aber gewohnlich die vorhergehende vor (so dass also a = 1 ist), ohne dass jedoch zwischen beiden ein principieller Unterschied zu machen wäre. Welche Art der Zerlegung beim Anschreiben der Gleichung (1) gemeint ist, bedarf in jedem Falle einer be- sonderen Festsetzung, wenn diese nicht schon aus dem ganzen Zusammenhange hervorgeht. *) Die Lehre von den Dimensionen der physikalischen Grössen setze ich als bekannt voraus. — Im Anschlüsse an die Ausfähnmgen des Textes sei hier noch darauf hingewiesen, dass man bei der Fest- setzung der Dimensionen auch die Richtung der in ihnen vorkommenden Längen in Betracht ziehen kann, wie dies in einer neueren Arbeit von W. Williams (Phil. Mag. (6) 84. p. 234. 1892) dargelegt ist. Digitized by Google 8 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. § 2. Addition von Vectoren. Zwei Vectoren Ä und ö, die von gleicher Art und gleich gerichtet sind, lassen sich ohne Weiteres addiren, indem man die Summe ihrer Tensoren nimmt und die Richtung ungeändert lässt. Bei entgegengesetzter Richtung tritt an die Stelle der numerischen die algebraische Addition, die die Subtraction in sich begreift. Vectoren ungleicher Art, z. B. eine Kraft und eine Ge- schwindigkeit lassen sich überhaupt nicht addiren. Sind die Vectoren aber von gleicher Art und unterscheiden sie sich nur durch ihre Richtung und ihre Grösse von einander, so lassen sie sich zwar nicht im Sinne der gewöhnlichen Algebra, wohl aber in einem erweiterten Sinne addiren, der aus den folgenden Festsetzungen, die als die Definition der Addition von Vec- toren anzusehen sind, hervorgeht. Sind zunächst, um mit dem einfachsten Falle zu be- ginnen Ä und 8 zwei gerichtete Strecken, so versteht man unter ihrer Summe (zum unterschiede von der numerischen Summe kann man sie die Vectorsumme, geometrische oder graphische Summe nennen, doch ist eine ausdrückliche der- artige Kennzeichnung überflüssig, sobald Ä und 8 als Vec- toren eingeführt sind) jene Strecke fe, die den Anfangspunkt von 51 mit dem Endpunkt von 8 verbindet, nachdem 8 an Ä angereiht war. Mit anderen Worten heisst dies, dass der durch die nebenstehende Abbil- dung angegebene Zusammenhang der Strecken Ä, 8, ® durch die Gleichung © = « + 8 (Abb. 1) . . . (2) dargestellt wird. Die geometrische Summe enthält die algebraische als speciellen Fall in sich, denn ^^^ j sie geht in diese über, sobald Ä und 8 pa- rallel zu einander sind. Die geometrische Summirung von Vectoren anderer Art lässt sich auf die von zwei Strecken zurückführen, indem Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 9 man mit Hülfe von Gleichung (1) im vorigen § die Vectoren durch Strecken darstellt. Man setze etwa wo nun m ein Maassstab verhältniss und a und ( Strecken sind; dann ist womit die Aufgabe auf die geometrische Summirung von a und i hinausläuft. Allgemein wird schon seit langer Zeit dieses Verfahren und der ihm zu Grunde liegende Begriff beim Zusammen- setzen der Kräfte angewendet. Die CoDstruction eines Kräfte- parallelogramms, oder in reinerer Form (insofern als üeber- flüssiges dabei vermieden ist) die eines Kräftedreiecks bedeutet ja nichts anderes als eine geometrische Summirung. In den Bezeichnungen der Vector- Algebra lässt sich der Satz vom Parallelogramni der Kräfte in seiner allgemeinsten Form durch die Gleichung ausdrücken, wobei natürlich W die Resultirende der Sp be- deutet. Das Summenzeichen kann sich hier nur auf eine geometrische Summirung beziehen, da die dahinter stehenden Grössen Sp durch die Schrift als Vectoren kenntlich ge- macht sind. § 3. Die Grundvectoren i, \, f. Alle übrigen Vectoren lassen sich nach dem Vorigen durch Sealaren und Strecken ausdrücken. Alle Strecken lassen sich aber wiederum auf 3 Grundstrecken, die man be- liebig wählen kann (abgesehen davon, dass ihre Richtungen nicht alle in einer Ebene enthalten sein dürfen) zurückführen. Daraus ergiebt sich, dass sich alle Vectoren mit Zuhülfe- nahme von Sealaren aus drei Grundvectoren ableiten lassen. Man wählt hierzu drei wechselseitig auf einander senkrecht stehende Strecken von der Länge Eins und bezeichnet sie mit i, j, f. Digitized by Google 10 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Die Grundvectoren bilden dann ein rechtwinkliges Achsen- system mit einander. Dabei ist es aber noch von Wichtig- keit darauf zu achten, in welcher Weise die i, [, l in diesem Achsensystem aufeinander folgen. Bekanntlich lassen sich zwei rechtwinklige Achsensysteme XTZ nicht immer so zur Deckung bringen, dass alle gleich bezeichneten Achsen auf- einander fallen; es gibt vielmehr zwei Arten solcher Achsen- systeme, die man als Rechts- und Linkssysteme von ein- ander unterscheidet. Alle Rechtssysteme lassen sich unter sich zur Deckung bringen und ebenso alle Linkssysteme unter sich, aber nicht die einen mit den andern. Je nach- dem man sich für das eine oder andere System bei der Wahl der Coordinatenachsen entscheidet, fallen die Glei- chungen der analytischen Geometrie oder die der Mechanik etwas verschieden aus, und zwar unterscheiden sie sich in gewissen Fällen durch den Wechsel eines Vorzeichens. Es ist daher von grosser Wichtigkeit, dass man bei jeder Unter- suchung von vorn- herein keinen Zweifel darüber aufkommen lässt, welche Achsen- richtung man zu Grunde legt. In dieser Schrift werde ich mich stets des von Maxwell (und den englischen Gelehrten überhaupt) gewählten Rechts- systemes bedienen. Durch Abbildung 2 wird dieses in axono- metrischer Zeichnung zur Darstellung ge- bracht. Die Achsen, auf denen i, [, l gewählt sind, und die zugleich den Achsen der XYZ entsprechen mögen, folgen so aufeinander, dass Abb. 2. Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. H eine Drehung aus der {-Richtung in-die J-Richtung, verbunden mit einer fortschreitenden Bewegung in der I- Richtung zu einer rechtsgängigen Schraube führt, — Eine Vertauschung etwa von i mit j würde zu einem Linkssysteme führen. Hat man nun eine beliebig gerichtete Strecke a (Ab- bildung 2), so projicire man sie, um sie auf die Grundvectoren zurückzuführen, zunächst etwa auf die XY- (oder ij) -Ebene und zerlege die Projection wieder in zwei Componenten nach den Coordinatenachsen. Die X-Componente von a bildet dann nur ein Vielfaches des gleichgerichteten Grundvectors i und lässt sich, wenn der Tensor mit a^ bezeichnet wird nach Gleichung (1) durch a^\ darstellen. Nach der Definition der geometrischen Summe (Gleichung (2)) ist aber a = a,{ + aa + a3l (3) Die Tensoren der Componenten a^ a^ a^ gehen aus dem Tensor a des ganzen Vectors durch Multiplication mit dem cos des betreffenden Richtungswinkels hervor. Ausserdem hat man nach dem Pythagoräischen Satze die Beziehung «' = «i' + «." + V (4) Hiermit ist nachgewiesen, dass sich in der That jede Strecke auf die 3 Grundvectoren zurückführen lässt. Für irgend einen anderen Vector Ä setze man aber (wenn wie in § 2 m das Maassstabvernältniss bedeutet) Die Vectoren ma^i, magi, wo^l bilden die Componenten des Vectors Ä; ma^yina^j ma^ sind die Tensoren dieser Com- ponenten, die man des kürzeren Ausdruckes wegen häufig auch selbst die Componenten nennt. Bezeichnet man sie mit A^ Ä^ -ig, so wird « = ^ii + ^3i + ^3« (5) Damit ist auch Ä auf die 3 Grundvectoren zurückgeführt. Digitized by Google 12 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. §4. Die geometrische Summe ist denselben Rechengesetzen unterworfen wie die algebraische Summe. Namentlich darf man die Reihenfolge der Glieder vertauschen, ohne das Resultat zu ändern. Für die Summirung des Yectors aus seinen Com- ponenten nach Gleichung (3) ergibt sich dies ohne Weiteres aus der Betrachtung der Abbildung 2, nachdem diese soweit als nöthig, noch durch Ziehen der übrigen Projectionsstrahlen ergänzt ist. Hat man aber irgend eine Vectorsumme Ä -(- 8 + ®7 so lässt sich diese durch Anwendung von (5) und rein algebraische Summirung der gleichgerichteten Componenten auf die Form bringen « + » + 6 = (^, + 5^ + CO i + (^, + 5, + c,) i + (A, + B, + C,)t . . (6) aus der die Vertauschbarkeit der Glieder in Ä + ® + ® so- fort hervorgeht. Ebenso ist es gleichgültig, ob man z. B. -4^ • i oder i • A^ schreibt; der Sinn ist in jedem Falle der in Gleichung (1) definirte. Freilich gilt dies zunächst nur so lange, als von den beiden Factoren wenigstens einer ein Scalar ist. § 5. Das scalare f roduct. In der Algebra der Vectoren bildet man auch Producte aus zwei Vectoren und zwar kann man aus den Vectoren Ä und 8 auf zwei verschiedene Arten ein Product ableiten. Das eine, mit dem wir es hier zu thun haben, heisst das scalare Product, weil es eine scalare Grösse liefert und das Product der gewöhnlichen Algebra aus zwei Sealaren als speciellen Fall in sich schliesst. Durch Definition setzen wir fest, dass das scalare Product t(.8 = jB.« = ^.JBcos («») .... (7) ist, wobei cos (Ä©) den Cosinus des Winkels zwischen den Richtungen der Vectoren Ä und 18 im gewöhnlichen Sinne Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 13 der Trigonometrie bedeutet. Sind Ä und 8 gleichgerichtet, so wird 9i9S = AB und sind sie entgegengesetzt gerichtet, so ist, wie in der gewöhnlichen Algebra, ihr Product = — ABy weil der cos (Ä©) dann den Werth — - 1 annimmt. Stehen die Vectoren Ä und 18 senkrecht zu einander, so wird ihr scalares Product nach Gleichung (7) gleich Null. Wendet man dies auf die Grundvectoren i, jj, f an, so erhält man ii = il = |f = (8) dagegen ist X i = i\ = t.t = l (9) Betrachtet man, wie in der Quaternionentheorie, die Grundvectoren als imaginäre Einheiten, so wird man dazu geführt, ihre Quadrate gleich — 1 anstatt gleich + 1 zu setzen. Ich folge indessen hier Heaviside, indem ich von dieser Beziehung zu imaginären Einheiten ganz absehe und für das scalare Product zweier Vectoren oder für das Quadrat eines Vectors nur die durch Gleichung (7) ausgesprochene Definition als maassgebend ansehe. Führt man die Vectoren Ä und © auf die Grundvectoren zurück, und führt dann die Multiplication nach den Multi- plicationsgesetzen der gewöhnlichen Algebra aus, so erhält man mit Berücksichtigung von (8) und (9) m = {A,x + A,i + A,l) (B,x + B,i + B,t) = A,B, + A,B, + A,B, (10) Der hier für Äö gefundene Werth steht aber mit dem in (7) festgesetzten vollständig in üebereinstiramung, da nach einem bekannten Satze cos (««) = cos («X) cos (»Z) + cos (« r) cos (« Y) + cos («^ cos («Z) .... (11) ist. Anstatt diesen Satz, wie es hier geschah, als bekannt vorauszusetzen, kann man ihn übrigens auch unmittelbar durch den Vergleich von (10) mit (7) beweisen, nachdem man vorher nachgewiesen hat, dass die Anwendung der ge- wöhnlichen Multiplicationsgesetze für die scalaren Producte berechtigt ist. Digitized by Google 14 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Yectoren. Hiervon überzeugt man sich aber leicht, unabhängig von dem Vorhergehenden, durch die im Folgenden kurz an- gedeutete Reihe von Schlüssen. Es sei € = Ä + ö und a ein irgendwie gerichteter Einheitsvector, dann soll aft oder a(Ä + ») = a« + a» sein. Nun ist aber aß nach (7) gleich der Projection von € auf a und Gleiches gilt von a9l und a83. Aus der unmittelbaren Anschauung ergibt sich aber, dass in der That die Projection von ft auf jede beliebige Richtung gleich der algebraischen Summe der Projectionen von 91 und 83 auf dieselbe Richtung sein muss, woraus die Behauptung folgt. Durch Multiplication mit irgend einem Scalar können wir* den Einheitsvector a in einen beliebigen anderen Vector verwandeln, für den der Satz daher ebenfalls zutrifft. — Femer ist (« + »)(« + ») = (« + »)« + (« + »)» = «!B + »« + «® + »® (11') u. s. f. § 6. Einfache Anwendungen. Geben % und 8) die beiden Seiten eines Parallelogramms an, so ist die von dem gemeinsamen Anfangspunkte von 9L und 8 ausgehende Diagonale (Abb. 3) nach der Definition der Vectorsumme gleich Ä + ö und die andere gleich Ä — 8. Ferner ist (« + »)2 = «2 + 2«» + »2 (« - JB)2 = «2 - 2«» + »^ Durch Addition beider Gleichungen erhalten wir (« + »)^ + (« — »y = 2W + 2»l Das Quadrat eines Vectors ist aber nach Gleichung (7) gleich dem Quadrate seines Tensors und wir haben damit den Satz bewiesen, dass die Summe der Quadrate über den Diagonalen eines Parallelogramms gleich der Summe der Quadrate über allen vier Seiten ist. Ebenso findet man (« + »)^-(«-»)^ = 4«», Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 15 d. h. das scalare Product aas den Seiten eines Parallelogramms ist gleich dem vierten Theile von der Differenz der Quadrate der Diagonalen. Für ein rechtwinkliges Parallelogramm werden die Diagonalen gleich lang und das scalare Product der Seiten zu Null. Bezeichnet Sß eine Kraft und H die Geschwindigkeit ihres Angriffspunktes (beide als Vectoren aufgefasst), so ist ^H die auf die Zeiteinheit bezogene Arbeitsleistung. Für die Arbeit der Resultirenden tt von Kräften ^, die an einem Punkte angreifen^ erhalten wir durch Multiplication der schon früher aufgeführten Gleichung W «=> 27 Sß mit H das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten Vi - 1 = 2J Ißti. Gerade diese An- wendungen auf die Arbeitsleistungen von Kräften machen das scalare Product so werthvoU für die Mechanik. § 7. Das Veotorprodnot. Durch eine von der vorigen völlig verschiedene Operation erhält man aus zwei Vectoren Ä und 8 einen neuen Vector 6, der das Vectorproduct der beiden genannt und in Zeichen e=V«» (12) geschrieben wird. Die Rechtfertigung dafür, dass man diese Operation ebenfalls als eine Productbildung ansieht^ besteht darin^ dass auch für sie im Allgemeinen die gewöhnlichen Multiplicationsregeln gültig bleiben, — allerdings, wie sich sofort zeigen wird, mit einer wichtigen Ausnahme. Das Vectorproduct ft wird aus Ä und 8 dadurch ab- geleitet, dass man zunächst die Richtung von (I senkrecht zu beiden und zwar in dem Sinne wählt, dass die Aufeinander- folge H; 8; (I zu einem Bechtssysteme (vgl. § 3) im Räume führt Der Tensor von (S> ist aber gleich dem Producte von Ä und B und dem Sinus des von 91 und 8 eingeschlossenen Winkels. Bezeichnet man diesen Winkel mit s, so ist demnach C^ÄBsins (13) oder gleich dem Inhalte des durch 91 und 8 bestimmten Digitized by Google 16 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Parallelogramms und bei den in Abb. 4 gewählten Richtungen steht die Sichtung von ^ senkrecht zur Papierfläche und geht von dem Papiere aus nach dem Be- 7 schauer hin. / Aendert man die Beihenfolge der / beiden Factoren im Vectorproducte, so -^ kehrt sich nach diesen Festsetzungen zu- j^^^ 4 gleich die Richtung des Vectorproductes a in die entgegengesetzte um, denn dann muss die Reihenfolge fß, 9ij i& ein Rechtssystem im Räume ergeben. Wir haben also V«» = -V»« (14) und das ist die vorher erwähnte Abweichung von den ge- wöhnlichen Multiplicationsregeln. Dagegen wird das Vectorproduct aus zwei geometrischen Summen nach denselben Regeln wie das Product aus zwei algebraischen Summen gebildet. Um dies zu zeigen, beweise ich zunächst, dass V(« + »)® = V«® + V»® . . . (15) ist. Der Kürze halber sei Ä + ö = ft gesetzt. Di6 vor- stehende Gleichung ist unabhängig von jeder Bezugnahme auf ein bestimmtes Coordinatensystem und einer der wichtig- sten Vorzüge der Vector-Algebra besteht eben in dieser Lostrennung von dem nothwendigen Zusammenhange mit einem willkürlich gewählten Achsensysteme, während sie doch einen üebergang zu einem solchen in jedem Augenblicke ge- stattet, wenn sich daraus ein Vortheil für die Beweisführung ergibt. Auch hier wähle ich zur Vereinfachung des Beweises ein Coordinatensystem, dessen X- oder l-Achse in die Richtung des Vectors ® fallen möge. Der Vector Y9LS> fallt dann nach Definition in die FZ-Ebene und steht zugleich senkrecht auf Ä, daher auch auf der Projection von Ä in der FZ-Ebene, die vorübergehend mit Ä' bezeichnet sei. Der Tensor von Digitized by Google Erstes Gapitel. Die elementaren Operationen. 17 Ä' ist aber gleich A sin s, d. h, gleich A sin (Ä2)). Tragen wir datier diesen Tensor rechtwinklig zu Ä' ab, so muss er nur noch mit dem Tensor D multiplicirt werden, um sofort das Vi® anzu- geben. NunwarÄ' = ^2i + A^l, Der Vector, den wir erhalten, wenn wir Ä' um einen rechten Winkel drehen, ist daher (vgl. Abb. 5) gleich ^si-^l; demnach V«a) = D^8i — D^sj.f. Dies bleibt gültig für jede Richtung, die wir dem Vector Ä geben- mögen. Wir haben daher auch und Beachten wir aber, Abb. 5. C^ = A^ + B^ und Gj ß == Ä + ö und daher A^ + JS3 war, so folgt aus dem Vergleiche der gefundenen Werthe unmittelbar die aufgestellte Behauptung. Ebenso ist V(« + »)(« + ») =V«(e + ®) + V»(« + jy) = V««+V«2)+V»«+V»® . . . • (16) U. 8. f. §8. Wir wollen den soeben bewiesenen Satz dazu verwenden, um das Vectorproduct auf die Grundvectoren bei beliebiger Lage des Achsensystems zurückzuführen. Zunächst folgt aus der Definition des Vectorproducts Föppl, Maxwell'sohe Theorie der Elektricität. Digitized by Google 18 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. '• (17) Vii=Vii-V« = o Zur letzten Zeile ist noch hinzuzufügen^ dass das Yector- product aus zwei gleichgerichteten Vectoren stets gleich Null ist. Man hat daher z. B. niemals Veranlassung^ von dem Vectorquadrate eines Vectors zu reden, da dies immer Null wäre. — Femer ist V«» =V (^li + Äd + Ä,t) (B,i + B,i + B,t) = iiA,B, - Ä,B,) -Vi{Ä,B,-A,B,)-^i{A,B,-Ä,B,) (18) wie man bei Ausführung der Multiplication mit Beachtung der durch (17) gegebenen Beziehungen erkennt In Determinantenform lässt sich diese Gleichung wie folgt wiedergeben i i » V«© = A A A Bi B^ J?j was sich d6m Gedächtnisse leicht einprl^ (18*) § 9. Anwendungen. In allen Theilen der mathematischen Physik macht man sehr häufig von der Transformation auf ein anderes Coordi- natensystem Gebrauch. Bei Anwendung der Vector-Algebra kommt dies seltener vor, da man yon vornherein unabhängig von jedem Coordinatensystem ist und der Uebergang zu einem solchen von beliebig gewählten Achsenrichtungen ohne jede eigentliche Coordinatentransformation erfolgen kann. Wird es aber doch einmal nöthig^ so lassen sich mit Hülfe des Vectorproducts die hierbei zu beobachtenden Beziehungen in viel einfacherer und eleganterer Weise herleiten als auf jedem anderen Wege. Man habe zwei Coordinatensysteme XTZ und X'Y'Z', die beide Rechtssysteme sein und im Ursprünge zusammen- Digitized by Google Erstes Gapitel. Die elementaren Operationen. 19 fallen sollen. Wir haben dann im Ganzen 9 Winkel zwischen je einer Achse des einen und des anderen Achsensystems^ deren Gosinns die aus der folgenden tabellarischen Zusammenstellung ersichtlichen Bezeichnungen («^ u. s. f.) erhalten mögen: X Y Z r «1 «8 «8 F A ft A z Yi Yi n Mit Hülfe dieser 9 Winkelcosinus lassen sich, di^ Coordi- naten xy0 irgend eines Punktes in dem einen Coordinaten- Systeme durch die Coordinaten xyz im anderen, und um- gekehrt, wie folgt, ausdrücken: x' = a^x + a^y ■\' a^z a; = a^x' + M + y^^' y = Aa? + fty + ft^ y = «2^?' + ß^y' + r^^' z' = y^x + y^y + ^3^ ^ = a^x' + ß^y + ^3^' Von den 9 Winkelcosintis können aber nur «wei will- kürlich angenommen werden; die übrigen sind von diesen abhängig. Es handelt sich um die Ableitung der zwischen ihnen bestehenden Beziehungen. Wir nehmen dazu zwei Systeme von Grund vectoren IJl und Tf f an, die mit den Goordinatensystemen gleich gerichtet sind. Zwischen diesen bestehen dann dieselben Gleichungen wie zwischen xyz und x'y'z\ also aussagt, dass i' gleich der Vectorsumme seiner Gomponenten nach den Richtungen der xyß sein muss. Das scalare Product von i' und f oder von i' und f u. s. f. muss <= sein, da diese senkrecht zu einander stehen und wir erhalten daher 6 Gleichungen, von denen es genügt, die beiden folgenden anzuschreiben: u. s. f., von denen die erste nur Digitized by Google 20 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Sechs aDdere Gleichungen erhält man^ wenn man beachtet^ dass das Quadrat jedes Grund vectors = 1 sein muss, also «i' + «/ + «3*-i; V + ft' + yi' = i U. S. f. Zu diesen Beziehungen, die leicht auch auf anderem Wege gefunden werden konnten, treten aber noch einige andere, zu deren Ableitung sich besonders die Anwendung des Vector- products eignet. Nach Gleichung (17) ist Vi i = * "^^ daher, wenn wir i'j'f in ijl ausdrücken und das Vectorproduct nach Gleichung (18) entwickeln: K<^ß3 - «3^2) + i(«8^i ~ «i^s) + »(«1 A - «2^1) = Vii + ^2! + ^3*- Diese Gleichung zerföUt in die folgenden 3: 71 = «2/^3 — «sft ; 72 = «3 A — «1 A 5 n = «ift — «2/^1- Ebenso erhält man aus Vu = '? wenn man auf die Grund- vectoren i'j'f zurückgeht und wie vorher verfahrt «/ = ßir2 — ß^ri] Ar = «2^1 — «1^2; Zr= «lÄ — «aA- Dazu kommen die durch cyclische Vertauschung aus diesen hervorgehenden Gleichungen. — Ebenso erkennt man nun leicht, dass die Determinante aller 9 Winkelcosinus ist. Denn entwickelt man etwa nach den Unterdeterminanten von a^a^a^ und beachtet die soeben abgeleiteten (durch cyclische Vertauschung aus den angeschriebenen hervorgehen- den) Beziehungen, so geht die Determinante auf den Werth «j* + «2^ + ^s* *= 1 zurück. Hierbei ist aber wohl zu be- achten, dass diese Beziehungen nur dann gelten, wenn beide Coordinatensysteme, wie es hier vorausgesetzt war, Rechts- systeme (oder allgemein Systeme derselben Art) sind. Für die Transformation aus einem Rechtssystem in ein Links- «1 «2 «8 ß. ft ß. n Vi Vi 1 Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 21 System würde die Determinante der Winkelcosinus den Werth — 1 annehmen; wie man leicht erkennt, wenn man beachtet, dass das Vectorproduct V^'i gleich — f -wird, wenn Tff ein Linkssystem bilden. § 10. Bewegung starrer Körper. Auch die Kinematik starrer Körper lässt sich durch die Benutzung des Vectorproductes sehr vereinfachen. In Ab- bildung 6 sei MN eine Achse, um die der starre Körper eine Drehung ausführt. Wir wählen die positive Richtung von MN so, dass sich eine rechtshändige Schraubenbewegung ergeben würde, wenn wir mit der wirk- lich ausgeführten Drehung eine Be- wegung im Sinne von MN verbinden wollten. Tragen wir auf MN eine Strecke ab, die den so bestimmten Pfeil erhält und durch ihre Grösse die Winkelgeschwindigkeit der Drehung angiebt, so ist die Bewegung als Vector- grösse dargestellt^ wobei indessen noch ein Punkt der Drehachse gegeben werden muss, da durch den Vector nur die Richtung und nicht die specielle Lage der Drehachse angegeben wird. Für den starren Körper sei jetzt der Punkt und die Winkelgeschwindigkeit tt als Vectorgrösse gegeben, man soll die Geschwindigkeit H irgend eines Punktes P nach Grösse und Richtung ermitteln, wenn die Lage von P zu durch den Vector t bestimmt ist. Man erkennt leicht, dass ti = Vttt (19) denn zunächst bewegt sich P offenbar senkrecht zu der durch t und II gelegten Ebene und der Pfeil ist, wie ein Blick auf die Figur lehrt, so gerichtet wie der des Vectorproducts. Der [ Digitized by Google 22 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Grösse nach finden wir ü durch Fällen eines Perpendikels von P auf die Drehachse und Multiplication desselben mit der Winkelgeschwindigkeit; das gibt aber genau den Tensor wrsin(ttt) des Vectorproductes, womit die Behauptung be- wiesen ist. Aus dem durch Gleichung (19) ausgesprochenen Satze folgt unmittelbar die Art der Zusammensetzung von mehreren Rotationen, wenn die Drehachsen alle durch denselben Punkt gehen. Man hat, wenn il die Resultirende und il'il" ... die durch die Drehungen tt'tt" . . . hervorgebrachten Geschwindig- keiten angeben i,=i,'+r+....=Vtt'-t+Vtt"-t + ....=V(tt'+tt" + ,...).t, d. h. die Bewegung besteht in einer Drehung um eine gleich- falls durch gehende Achse, für die sich Richtung und Winkelgeschwindigkeit aus tt = tt' + tt" + . . . bestimmt. • Die allgemeinste Art der Bewegung erhalten wir, wenn wir annehmen, dass der Körper neben der Drehung um die Achse MN zugleich noch eine Translation ausführt. Die Translationsgeschwindigkeit ist dann zugleich die Geschwindig- keit des Punktes 0, der nun ein beliebig gewählter Punkt des Körpers sein kann. Bezeichnen wir sie daher mit Öq, so wird durch i> = öo + Vttt ..... . (20) die Vertheilung der Geschwindigkeiten über die materiellen Punkte eines sich beliebig bewegenden Körpers in ihrer all- gemeinsten Form angegeben. Das zweite Glied auf der rechten Seite von Gleichung (20) nimmt für verschiedene Punkte P des Körpers alle möglichen Grössen und Richtungen an, nur mit der Beschränkung, dass es stets senkrecht zu tt bleibt. Falls ilo ebenfalls senkrecht zu tt steht, kann man daher stets einen Punkt auffinden, für den Vttt = — tio, also t = wird. Die Bewegung ist dann eine einfache Rotation und wird durch Gleichung (19) zur Darstellung gebracht, indem wir den Punkt nach jenem Punkte verschieben. Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 23 Im andern Falle^ wenn also il^ nicht senkrecht zu tt steht, kann man es in zwei Componenten zerlegen: ti^ = ^q + V, von denen f^Q parallel zu tt geht und ^q' senkrecht dazu ist. Auch dann lässt sich wieder ein Punkt ermitteln , für den tio" = — Vttt. Nehmen wir an, dass das aus dieser Be- dingungsgleichung bestimmte x gleich Xq sei, so geht Gleichung (20) in die folgende über i> = ti'o + Vtt(t— to). Die VectordiflFerenz X — Xq gibt aber die Lage irgend eines dritten Punktes zum Punkte Xq an. Die Gleichung spricht daher aus^ dass jede beliebige Bewegung in einem gegebenen Augenblicke als eine Schraubenbewegung aufgefasst werden kann. Die Momentanachse geht durch den Punkt Xq und wird durch die Bichtung von tt bestimmt. Auch der Satz, dass aus zwei gleich grossen Rotationen um zwei parallele Achsen in entgegengesetzter Bichtung eine Translation senkrecht zu der Ebene, die durch beide Achsen gelegt werden kann, hervorgebracht wird, lässt sich leicht auf dieselbe Art nachweisen. Zählt man die Abstände t und x' von zwei Punkten und 0' auf den parallelen Achsen, so ist mit tt' = — tt nach (19) n = Vttt - Vttt' = Vtt(t - xy Die Vectordiflferenz x — x' ist aber gleich dem Abstände der Punkte Off. Die rechte Seite der Gleichung ist daher un- abhängig von X oder von der Lage des Punktes; die Ge- schwindigkeit il ist daher für alle Punkte gleich gross und steht senkrecht zu tt und zur Verbindungslinie (/, w. z. b. w. § 11. FrodtLOte ans 8 Veotoren. Durch zweimalige Anwendung der vorhergehenden Product- bildungen kann man aus drei (auch der Beihenfolge nach) gegebenen Vectoren Producte von drei verschiedenen Arten aus 3 Factoren ableiten. Die sich hierfür ergebenden Bechen- gesetze sind zwar schon in den früheren enthalten, oder Digitized by Google 1 24 Erster AbBchnitt. Die Algebra imd Analjsis der Vectoren. lassen sich doch leicht auf diese zurückführen; zur Gewinnung einer besseren üebersicht, und um später kurz darauf ver- weisen zu können, sollen diese 3 Producte hier indessen noch einzeln besprochen werden.*) Alls den 3 Vectoren H, fß, d lassen sich, wenn man die angegebene Reihenfolge beibehält, die folgenden Producte ableiten: » = «.»«; ®'=»JU5.g In der ersten Zeile wird ein Vector mit dem scalaren Product aus zwei anderen Vectoren multiplicirt; wir haben es also hier mit einer gewöhnlichen Multiplication zu thun. Das Resultat ist wieder ein Vector ®, der mit 91 oder ®', der mit (S, gleich gerichtet ist. Daraus erkennt man schon, dass ® und ®' zwei völlig verschiedene Werthe sind. Wollte man einfach tl8)& schreiben, so hätte dies keinen bestimmten Sinn. Erst durch das Hinzutreten des Punktes, der hier als Trennungszeichen auftritt, wird dieser gegeben. An Stelle des Punktes kann man auch Klammern anwenden, um die Zusammengehörigkeit der Factoren anzugeben, also S =* K (8)&) und »' = («») «. In der zweiten Zeile haben wir es mit scalaren Producten aus einem Vector und dem Vectorproducte der beiden anderen Vectoren zu thun. Für E' schreibt man besser, um jeden Zweifel über den Sinn der Operation auszuschliessen (VÄ8)ft. Doch kann die Klammer auch fortgelassen werden, da V (810 • ®) öherhaupt keinen Sinn hätte, indem die Opera- tion V ^^^ 8J^ zwei Vectoren und nicht an dem Scalar 81 8 und dem Vector (t ausgeführt werden kann. *) Auf die in der Quatemionentheorie vorkommenden Producte all- gemeiner Art aus 3 oder mehr Vectoren gehe ich hier gar nicht ein, da sie leicht entbehrt werden können. Digitized by Google Erstes Capiiel. Die elementaren Operationen. 25 Hier führt die Productbildung zu den Scalareii E und E\ Während nun ® von ®' völlig verschieden war, sind E und E' einander gleich; es ist «V»« = «v«»==»Ve«. . . . (21) Diese Gleichung spricht einen wichtigen Satz aus, dem noch hinzuzufügen ist, dass jedes dieser 3 Produkte den Inhalt des aus den Kanten 918(1 zusammengesetzten Parallelepipeds angibt. Um sich davon zu überzeugen, beachte man, dass nach Gleichung (13), 8. 15, der Tensor von V8)& den Inhalt der aus den Kanten 8 und ü ge- bildeten Seitenfläche des Parallelepipeds darstellt. Die Richtung von V8& steht dagegen senkrecht zu diesem Parallelogramm und liegt mit K auf der gleichen Seite dieser Fläche, wenn die Aufeinanderfolge der Kanten K, 8, £ zu einem Bechts- system führt. Wir erhalten nun das scalare Product 9lV8(l, wenn wir den Tensor von Ä mit dem Tensor von V®® ^^^ dem Cosinus des Winkels zwischen K und jener Normalen multipliciren (§ 5). Das Product aus Ä und diesem Cosinus ist aber die Projection von M auf die Normale, d. h. die zur Seitenfläche 8& gehörige Höhe des Parallelepipeds. Damit ist erstens bewiesen, dass 91V8& in der That den Inhalt des Parallelepipeds angibt, zweitens, dass tlV8& einen positiven Werth hat, wenn die Kantenaufeinanderfolge 918 £ ein Rechtssystem bildet, einen negativen im entgegen- gesetzten Falle, und drittens, dass die Gleichung (21) erfüllt ist, indem für jedes der beiden anderen Producte dieselben Schlüsse gelten und weil die Aufeinanderfolgen £918 oder 8(191 gleichfalls zu Reehtssystemen führen, wenn dies für «8(1 zutriflt. Selbstverständlich ist, wie schon aus Gleichung (14) S. 16 hervorgeht, «V8(l äV(£». Wenn es sich nur darum gehandelt hätte, den durch Gleichung (21) ausgesprochenen Satz zu beweisen, wäre mau auf rechnerischem Wege noch einfacher zum Ziele gelangt. Digitized by Google 26 Erster Abschnitt. Die Algebra und Aoalysis der Yectoren. Es wäre nur nöthig gewesen, die Vectorproducte nach Gleichung (18) S. 18 zu entwickeki und dann das scalare Product nach Gleichung (10) S. 13 anzuschreiben. Man wäre dann in allen drei Fällen zu demselben Resultate gelangt, das, wie aus Gleichung (18*) unmittelbar zu entnehmen ist, sich in Form der Determinante aller Componenten an- schreiben lässt: «V»e = 6V«»==»Ve« -o-i -^2 -^3 Bi B^ 2?3 Gl Cg Gj (22)^ § 12. Ich gehe jetzt über zur Betrachtung des Vectorproducts 5 = V«V»e. Zunächst erkennt man leicht, dass % in der durch die Vectoren 8 und ft bestimmten Ebene enthalten sein und dass es in dieser Ebene senkrecht zur Projection von K auf dieselbe stehen muss. Denn der Yector V8& steht senkrecht zur Ebene oft und % steht senkrecht zu diesem Vector, liegt also in 8ft. Führt man die Vectorproducte nach Gleichung (18) aus, so erhält man Der Klammerinhalt, der zu \ und t gehört, ergibt sich aus dem zu { gehörigen, indem man jeden Index um 1 bezw. 2 erhöht, wobei ein Uebergang von 3 zu 1 als eine Erhöhung um 1 angesehen wird. Der zu i gehörige Klammer werth lässt sich aber wie folgt ordnen B^{A,C, + Ä,G, + A,C,) - C,(Ä,B, + A,B, + A,B,) und ähnlich bei den anderen Gliedern. Mit Rücksicht auf Gleichung (10) erhält man daher V«Ve« = i(-Bi • «6 - C, • «SB) + i(B2 • «« - C, • «») + «(J?3-««-q,-«») Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 27 oder nach Auflosung der Klammern und Zusammenfassung der mit gleichen Factoren Kß bezw. KSB versehenen Glieder V«V»e = »•««-«•«». . . . (23) Damit ist der wichtige Satz bewiesen, dass ein Product dritter Art von den im Eingange von § 11 aufgezählten auf zwei Producte erster Art ® und ®' zurückgeführt werden kann. Mit seiner Hülfe findet man auch leicht V« V»e + V«V«» + V»V6« = . . (24) indem man jedes d^r^drei Glieder nach (23) entwickelt. Schliesslich betrachte ich noch das scalare Product aus zwei Vectorproducten V«« V6®. Dieses ist von der Form ^=äV86 in § 11, wobei nur der Vector K selbst durch ein Vectorproduct ersetzt ist. Wir können daher die in Gleichung (21) ausgesprochene Um- formung darauf anwenden, also V«» Ve® = eV®V««. Der zweite Factor dieses scalaren Products lässt sich aber nach Gleichung (23) weiter umformen und man erhält' dann fQr das ganze Product «(«.»»-»• «») oder, wenn wir die Klammer auflösen, V«» -76» = ««•»»-»«•«» . . (25) § 13. Frincip der virtuellen Geschwindigkeiten und Satz der statischen Momente. An einem starren Körper mögen sich die Kräfte ^i^^^s • • • • im Gleichgewichte halten. Nach dem* Princip der virtuellen Geschwindigkeiten ist dann für jede beliebige Bewegung des Körpers die algebraische Summe der von diesen Kräften ge- leisteten Arbeiten gleich Null. Diese Bedingung ist nicht nur nothwendig, sondern auch hinreichend für das Gleich- gewicht der Kräfte fß. Digitized by Google 28 Erster Abschnitt Die Algebra und Arndytas der Yectoren. Der Satz gilt ebensowohl far endliche als .för nnendlich kleine Bewegungen des Körpers. Gewöhnlich wird er aber anf nnendlich kleine Bewegungen angewendet und so soll es anch hier geschehen. Bezeichnen wir den Weg des Angriffspunktes 1 der Kraft ip^ mit dW^ so ist die bei der unendlich kleinen Be- wegung des Korpers von f^^ geleistete Arbeit (ygl. § 6) gleich dem scalaren Producte aus ip^ und dta^, also gleich und der Satz lässt sich in der Form 21^dW = aussprechen. — Der Bewegungszustand eines starren Korpers wird in seiner allgemeinsten Form durch Gleichung (20) ausgedrückt Multipliciren wir diese Gleichung mit dem Zeitelemente dt, so geht t$dt in dW und ndt in d% über. Der unendlich kleine Yector d% gibt hier durch seine Richtung die Richtung der Momentanachse an und der Grosse nach gibt er den Winkel an, um den sich der Korper im Zeitelemente dt um 'diese Achse drehte. Wir haben also dt» = dt»o + V^^» • ^' Setzen wir dies in die vorhergehende Gleichung ein, so geht sie über in Diese muss für jedes beliebige dt»Q und jedes beliebige d$ erfüllt sein. Sie zerfallt also in die Gleichgewichtsbe- dingungen ^JP = und ^^Yd»t = 0. Die erste kennen wir schon aus § 2 als die Formulirung des Gesetzes vom Parallelogramm der Kräfte, das sich hiermit als eine Folgerung des Princips der virtuellen Geschwindig- keiten darstellt. Die zweite Gleichung behandeln wir noch Digitized by Google Erstes Gapiiel. Die elementaren Operationen. 29 weiter, indem wir die in Gleichung (21) ausgesprochene Um- formung darauf anwenden. Sie geht dadurch über in Der Factor dl konnte vor das Summenzeichen gestellt werden, da er für alle Punkte des starren Körpers denselben Werth hat. — Die Gleichung muss aber, wie schon bemerkt, für jede beliebige Bewegung des starren Körpers, also auch für jeden beliebigen Werth von di erfüllt sein und sie lässt sich daher ersetzen durch ^Vt* = (26) In dieser Form spricht sie aber den Satz von den statischen Momenten aus. Die in ihr vorkommenden Radien- vectoren t sind von einem beliebig gewählten Punkte aus nach den AngrifiPspunkten der Kräfte ip zu ziehen. Die Aussage des Satzes von den statischen Momenten weicht hier allerdings von der in der Cartesischen Dar- stellungsweise gebrauchten etwas ab. Der Unterschied bedeutet aber nur einen wichtigen Vorzug unserer Aussage vor dieser. Die statischen Momente sind hiernach Yectorgrossen, während sie bei der sonst üblichen Behandlung als scalare Grössen angesehen werden. Daher kommt es auch, dass bei der Cartesischen Behandlung der Mechanik die Momenten-Be- dingung stets auf 3 Achsen angewendet werden muss, während hier die einzige Gleichung (26) dafür an die Stelle tritt. Die Momente der gewöhnlichen Mechanik sind nämlich nichts anderes als die Componenten der Vectoren, die nach der hier behandelten Darstellungsform als die statischen Momente auf- zufassen sind. Der Momentensatz ist von so grosser Bedeutung für die Mechanik, dass es sich rechtfertigen wird, wenn ich hier noch etwas länger bei ihm verweile. — Am einfachsten gestaltet sich seine Anwendung in der gewöhnlich gebrauchten Form, wenn es sich nur um Kräfte handelt, die alle in derselben Ebene liegen. Statisches Moment ist dann das Product aus dem Tensor der Kraft und dem Hebelarm, d. h. dem Perpen- Digitized by Google 30 Erster Abschnitt. Die Algebra und Anaijsis der Vectoren. dikel vom Momentenpnnkte auf die Kraftrichtung. Eine kleine Schwierigkeit, die aber leicht überwunden wird, tritt nur inso- fern noch auf, als man zwischen Momenten positiven und negativen Vorzeichens zu unterscheiden hat. Das Vectorproduct aus t und ^, das nach der Methode der Vectoren als das statische Moment von fß anzusehen ist, hat nach § 7 ebenfalls das Product aus Kraft und Hebelarm zum Tensor. Es ist aber selbst ein Vector, der zur Ebene, in der die Kräfte und der Momentenpunkt enthalten sind, senkrecht steht. Den entgegengesetzten Vorzeichen entsprechen hier die beiden Richtungen der Normalen. Da nur diese beiden entgegengesetzten Richtungen vorkommen, geht die geometrische Summirung in die gewöhnliche algebraische Summirung über. Insofern weichen also die Darstellungen in beiden Fällen nur unerheblich von einander ab. Anders ist es aber, wenn die Kräfte und der Momenten- punkt nicht mehr alle in derselben Ebene liegen. Für Momente, die nach der von den ebenen Problemen her gewohnten ge- wöhnlichen Definition von Momentenpunkten aus gerechnet werden, gilt er dann überhaupt nicht mehr. Er ist z. B. schon in dem einfachsten Falle nicht mehr erfüllt, dass sich drei in derselben Ebene liegende Kräfte an einem Punkte im Gleichgewichte halten, sobald der Momentenpunkt ausserhalb dieser Ebene gewählt wird. Der Grund dafür ist jetzt leicht ersichtlich: nicht die algebraische, sondern die geometrische Summe der als Vectoren aufgefassten Momente wird zu Null. Desshalb ist man in der Cartesischen Darstellungsweise genöthigt, die Momente von Kräften im Baume von einer Achse aus zu rechnen. Dass der Satz für diesen Fall wieder gültig ist und wie die statischen Momente dann zu bilden sind, ergibt sich leicht aus Gleichung (26), wenn man sie mit einem in beliebiger Richtung durch den Momentenpunkt gezogenen Einheitsvector c scalar multiplicirt. Man erhält dann (mit Anwendung von Gleichung 21) Digitized by Google Erstes Capitel. Die elementaren Operationen. 31 Der Hebelarm, mit dem der Tensor von f^ zu multipliciren ist^ um das auf die Achse e bezogene Moment zu erhalten^ ist demnach die Projection des Vectors V^ ^^ auf die Richtungs- linie von iß. Anstatt mit den Projectionen der Momente auf Achsen r oder, wie gewöhnlich, auf die drei Coordinatenachsen zu rechnen, ist es aber weit einfacher, ein für allemal die statischen Momente nur auf Momentenpunkte zu beziehen und sie demgemäss als Yectoren aufzufassen, unter dem Momente einer Kraft ip für einen beliebigen Momentenpunkt^ von dem der Badiusvector t nach dem AngrifiEspunkte ge- zogen ist, also stets den Ausdruck zu verstehen. — Nebenbei wird dadurch auch der Vortheil er- reicht, den physikalischen Unterschied zwischen einem statischen Momente und der von einer Kraft geleisteten Arbeit deutlich vor Augen zu führen. Wenn beide sonst auch dieselbe physi- kalische Dimension besitzen, also in derselben Weise von den physikalischen Grundmaassen abhängen, so ist doch das statische Moment eine Yectorgrösse T:^d eine Arbeitsleistung ein Scalar. Die Zerlegung und Zusammensetzung von Kräften au einem starren Körper beruht stets und ausschliesslich auf den beiden Sätzen vom Parallelogramm der Kräfte und von der Zulässigkeit der Verschiebung des Angriffspunktes einer Kraft. Es sei daher noch darauf hingewiesen, dass auch der letzte Satz sich leicht aus dem Momentensatze in Form der Gleichung (26) herleiten lässt. Verschieben wir nämlich den Angriffspunkt der Kraft ^ längs deren Richtungsliuie um p, so ist jetzt t in t -f |i übergegangen und wir erhalten für das Moment nach der Verlegung V(t + *ij* oder Vt*+V*»iP. Das zweite Glied dieser Summe ist aber nach der Definition des Vectorproducts gleich Null und das Moment ist daher Digitized by Google 1 32 Erster Abschniti Die Algebra und Analysis der Vectoren. für jede beliebige Lage des Momentenpunkts unverändert ge- blieben. Wenn vorher Gleichgewicht bestand^ muss daher auch nachher noch Gleichgewicht bestehen. Bisher war immer nur von dem Gleichgewichtsfalle die Rede. Es folgt aber aus den Betrachtungen sofort auch, dass zwei Eräftesysteme an einem starren Körper nur dann äquivalent sein können, wenn ihre Momentensummen für jeden beliebigen Momentenpunkt gleich sind. Besonders muss auch, falls sich eine Besultirende für die Kräfte angeben lässt, deren Moment stets gleich der Summe der Momente aller dieser Kräfte sein. -Zweites Capitel. Die Differential-Operatoren. § 14. Differentürong nach einer scalaren Veränderlichen. Die unabhängige scalare Veränderliche sei mit t be- zeichnet. Der Zuwachs des Yectors K für dt ist als ein Vectorzu wachs in demselben Sinne zu betrachten, wie die Addition von Vectoren in § 2 erklärt wurde; d. h. also d9l = idÄ,+idA^ + ldÄ, .... (27) Die Grundvectoren l, J, 1 sind bei der Differentiation als constant anzusehen. Für 27 kann man auch schreiben il^iA, + iA, + tÄ, .... (27») indem man die Differentiation durch Punkte (das Newton'sche Fluxionszeichen) bezeichnet, oder auch p-9l = \pA, + ipA, + tpA, . . . (27") WO p für d/dt gesetzt ist. Gerade die letzte Schreibweise eignet sich für manche Untersuchungen der mathematischen Physik sehr gut und wird neuerdings vielfach angewendet. Digitized by Google Zweites Capitel. Die DifiFerential- Operatoren. 33 Man kann in (27^) p als einen sealaren Operator be- zeichnen und den Satz dahin aussprechen^ dass die Operation p so erfolgt, als wenn p ein Multiplicator wäre. Es bleibt nun noch festzustellen, was man durch die Operation p an einem sealaren oder Vectorproducte erhält. Eine einfache Betrachtung zeigt aber, dass hier genau die- selben Differentiationsregeln gelten, wie für die algebraischen Producte. Um z. B. das Differential von 81 8 abzuleiten, setze man (« + d«) (» + d») - «», führe die Multiplication nach Gleichung (11*) S. 14 aus und beseitige das Glied zweiter Ordnung. Dasselbe Verfahren bleibt nach Gleichung (16) S. 17 auch für d^ÄÖ anwendbar. Man erhält so die Gleichungen ^,(«»)=«'^ + »S denen hier noch die folgenden angefügt werden mögen ^V*V»® =V*V«^ +V«V*® +V«V»® (28) (29) § 15. Anwendungen. In den physikalischen Anwendungen ist die unabhängige scalare Veränderliche t, nach der man zu differentiiren hat, meistens die Zeit. Eine gleichfalls sehr nützliche geometrische Deutung des Differentialquotienten ergibt sich indessen, wenn der abhängige Vector als Radiusvector einer Curve angesehen wird, deren Bogenlänge durch die unabhängige Veränderliche gemessen wird. So wie jede Gleichung y = f(x) als Gleichung einer ebenen Curve, kann K = f(t) als Gleichung einer Raum- curve angesehen werden. In Abb. 7 (Seite 34) ist der veränderliche Vector mit t bezeichnet; er legt die Curvenpunkte von einem festen Anfangspunkte aus fest; mit s ist die scalare unabhängige Veranderlich^ bezeichnet, d. h. die Länge des von einem zweiten Föppl, MaxweU'sche Thoorie der Elektricität. 3 Digitized by Google 34 £nter Abschnitt Die Algebra und Analjsis der Yectoren. auf der Cmre liegenden Anfangspunkte P ans gerechneten Bogens. Der Zuwachs von t, der einer Zunahme ^s ent- spricht^ oder ^i^t ist gleich der Sehne, die ^^^--v^^.,^^ zum Bogen ^ s gehört In der Grenze fallt ^*^ /\^t mit ^ 5 zusammen; aber auch dann N^ ist noch ein Unterschied zwischen ihnen zu p machen« Wenn sie auch numerisch gleich sind, so ist doch ^t ein Vector und /»^S ein Scalar; die Division von /^r durch /^s sammenfallt Bezeichnen wir diesen mit t^, wobei der Index 1 darauf hinweisen soll, dass der Tensor von t^ immer gleich der Einheit ist, so gilt demnach die Gleichung *. = S (30) Der zweite Differentialquotient von t steht in engster Beziehung mit dem Krümmungshalbmesser der Gurve. Dieser sei mit R bezeichnet, wobei schon durch die Schreibweise angedeutet ist, dass er als Vector aufgefasst werden soll. Dabei sei R vom Erümmungsmittelpunkte nach der Gurve hin gerichtet. Zunächst ist ds* ds Die Aenderung von i^ besteht aber nur in einer Bichtungs- änderung, da der Tensor stets gleich 1 bleibt Das Differential dtj^ muss daher senkrecht zu t| stehen. Es muss ferner auch in der durch tj und das darauf folgende t^ + dt^ gelegten Ebene enthalten sein, d. h. in der Schmiegungsebene der Gurve. Aus beidem folgt, dass die Richtungslinie von dt^ mit der von R zusammentut Zugleich erkennt man aus der geometrischen Anschauung, dass dt^ einen dem von R entgegei^esetzt ge- richteten Pfeil hat. Es bleibt nun nur noch die metrische Beziehung, die zwischen beiden besteht, festzustellen. Der Digitized by Google Zweites Capital. Die Differential- Operatoren. 35 Tensor von di^ ist aber gleich dem Tensor von tj mal dem Contingenz- Winkel der Curve dg)y also einfach = dq). Anderer- seits ist Bdq) gleich ds. Daraus folgt sofort, wenn wir be- achten, dass tt und di^ entgegengesetzt gerichtet sind, «•ß = -l (31) 16. Die vorher betrachtete Curve soll jetzt als die Bahn eines materiellen Punktes angesehen werden, der sich mit der Ge- schwindigkeit ti darauf bewegt; der yector ti ist dann gleich gerichtet mit t^. Aus dem Begriffe der Geschwindigkeit folgt dx^ dx^ ds __ . ds ^ dt ds dt ^ dt ds Dies liefert uns nur den bekannten Satz, dass -r: den ' dt Tensor der Geschwindigkeit angibt. — Wir wollen jetzt aus dem Werthe von ti die Beschleunigung g ableiten db d^ ^ ds . . d*s ^~ d^~ dt^ ~ dt ' dt"^ *i d? _ di^^ /dsY \i ^ ""■ ds ' \dt) "• *^ ' dt* oder mit Bücksicht auf die Entwickelungen des vorigen § "■ «--«.i(S)"+'.s • • • • (52) wenn unter Sli ein Einheitsvector in der Richtung von 9i und unter JB wie gewöhnlich der Tensor von tt verstanden wird. Die Gleichung zeigt, dass die Beschleunigung g sich aus 2 Componenten zusammensetzt. Das erste Glied gibt die Normalbeschleunigung mit dem Tensor v^B^ das zweite die Tangentialbeschleunigung an. § 17. Der Operator V. Eine Differentiation eines Vectors nach einem anderen unabhängig veränderlichen Yector kann im Allgemeinen nicht Digitized by Google 36 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. ausgeführt werden. Man kann zwar, wenn Ä = /*(©), leicht die Differentiale d9i und dö und das Verhältniss beider bilden, aber der Werth dieses Quotienten würde nicht einer be- stimmten festen Grenze zustreben, wenn wir die Differentiale unendlich klein werden lassen, sondern diese Grenze würde sich verändern mit der Art, auf die wir dfß zu Null werden lassen. Nur wenn man die Vector- Algebra auf ein zwei- dimensionales Gebiet beschränken wollte, könnte man gewisse Functionen angeben, die eine solche Differentiation zulassen. Man käme damit auf die Theorie der Functionen complexer Variabein, mit der aber die Vector-Algebra in dem Umfange und in der Fassung, wie sie für die Behandlung physikalischer Probleme gebraucht wird, nur eine sehr entfernte Aehnlich- keit besitzt. Der Begriff der einfachen Differentiation muss daher in unserem Gebiete auf die in den vorher- gehenden § § erörterten Differentiationen nach sca- laren Veränderlichen beschränkt werden. Wenn auch eine Erweiterung der scalaren Differentiirung ' nicht möglich ist, «o tritt doch eine erhebliche Bereicherung unserer Hülfsmittel durch die Einführung des Operators V ein, der jene in gewissem Sinne ersetzt. Der Operator V ver- hält sich zum scalaren Operator p wie ein Vector zu einem Scalar; er kann daher selbst als ein Vector-Operator be- zeichnet werden. Die Definition dieses durch Hamilton ein- geführten Operators wird durch die Gleichungen gegeben S7=l^/dx + id/dy + td/d0 . . . ". (33) oder V^==i|^+j|i-ff|^ (34) In Gleichung (34) ist die Operation V an einem Scalar Ä ausgeführt; sie gibt, wie man sieht, einen Vector. — Bei der in (33) und (34) gegebenen Rechenvorschrift zur Aus- führung der Operation V kommt die Beziehung auf ein be- stimmtes Coordinatensystem vor, während V Ä selbst direct aus Ä hervorgegangen gedacht werden kann, ohne dass irgend Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential -Operatoren. 37 ein Coordinatensystem damit etwas zu schaffen hätte. Um sich hiervon zu überzeugen, muss man den Nachweis führen^ dass V Ä ungeänäert bleibt, wenn wir an Stelle des früheren Coordinatensjstems irgend ein neues einführen. Zu diesem Zwecke greife man auf die Betrachtungen des § 9 zurück. Bezeichnen wir den auf das zweite Coordinaten- system X'T'Z' bezogenen Operator V mit V, so wird mit Anwendung der früheren Bezeichnungen wobei nur das erste Glied \'^/dx entwickelt ist. Zieht man nun alle Glieder zusammen, die zu den gleichen Grundvectoren gehören, so erhält man V'= i{(«x*+ ßx'+ ri*) ^/dx + K«« + Aft + YM ^/dy + («,«» + M» + nrs)»/a^}+il } +«(••••} Dies vereinfacht sich aber durch die in § 9 zusammen- gestellten Beziehungen zwischen den Winkelcosinus zu V'— id/dx + \d/dy + i^/dz und damit ist der Satz bewiesen, dass V eine Operation ist, die unabhängig von jeder Wahl des Coordinatensystems immer zu demselben Resultate führt, oder V=V ........ (35) Dabei ist es gleichgültig, ob wir die Operation V an einem Scalar oder an einem Vector ausführen. §18. Die analytische Bedeutung von V A ergiebt sich aus der folgenden Betrachtung. Wenn der Scalar A eine Function der Coordinaten xye ist, können wir ihn auch als Function des Radiusvector t ansehen, der von einem festen Punkte des Baumes aus nach dem variablen Punkte gezogen ist. unter Digitized by Google 1 38 Erster Abscluiitt. Die Algebra and Analysis der Yectoren. dx dy dg sind dann die Componenten des Yectorzuwacbses dt zu verstehen^ so dass dt = idx + \dy + Idg. Multipliciren wir diese Gleichung der Reihe nach mit den Grund vectoren, so erhalten wir (vgl. § 5) dx = idt ; dy = \dt ; dz = tdt. Auf den rechten Seiten stehen die scalaren Producte aus dt und den Grundvectoren. Nun ist nach der Analysis der Scalaren oder nach Eiiifühfang der vorher gefundenen Werthe für die dx dy de dA=dt(il^ + ii^ + d^)^dfVA . (36) V-4 ist also jener Vector, dessen scalares Product mit der unendlich kleinen Verschiebung des Punktes, auf den sich Ä bezieht, die zugehörige Aenderung von Ä angibt. Man könnte versucht sein, V^ hiernach einfach als den Differentialquotienten von Ä nach t zu bezeichnen. Das ist aber desshalb nicht richtig, weil auf der rechten Seite von (36) nicht ein gewöhnliches, sondern ein scalares Product steht. Aus der Gleichung kann man d nicht ermitteln, wenn Ä und 8 gegeben sind. Man kann daher auch den Werth von V-4 nicht aus (36) als einen Quotienten von dA und dt darstellen. Immerhin leistet der Vector VA ähnliche Dienste wie ein Differential- quotient. Aus (36) ergibt sich sofort noch eine weitere Eigenschaft von VA. Von einem Punkte des Raumes ausgehend, denke man sich alle übrigen Punkte aufgesucht, für die A den gleichen Werth behält. Alle diese Punkte werden auf einer Fläche enthalten sein, die man als eine Niveaufläche bezeichnet. Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential -Operatoren. 39 Aus (36) folgt nun sofort, dass V-4. senkrecht zu der Niveau- fläche steht, denn nur für den Fall, dass die Verschiebung dt rechtwinklig zu V -4 steht, wird das scalare Product dt -'V Ä zu Null. Zieht man eine Normale n zur Niyeaufläche in der Richtung von V-4, so wird für (ir = dfn wenn wir unter dn den Tensor von dn und unter (V-4)o ^^^ von V-4 verstehen. Da wir es jetzt nur noch mit scalaren Grössen zu thun haben, können wir daraus weiter schliessen ^ = (V^)o (37) d.h. der Tensor von V-4 ist gleich dem Differential- quotienten von Ä nach der Richtung der Normalen zur Niveaufläche. Zugleich erkennt man, dass der Vector \7 Ä von der Stelle niederen zu der Stelle höheren Niveaus hin gerichtet ist. Auch aus diesen Betrachtungen folgt ohne Weiteres, dass V A eine von jeder Beziehung auf ein bestimmtes Coordinatensjstem unabhängige Bedeutung besitzt. Der im vorigen § gegebene analytische Nachweis hierfür wäre dadurch entbehrlich gemacht, wenn es sich nicht empfehlen würde, diese Beziehungen von mehreren Seiten her zu beleuchten. § 19. Der Operator (aV). Aus der Operation V geht die Operation ttV hervor, worin a irgend ein Vector ist. Der Sinn ist der, dass zunächst das scalare Product aus n und dem symbolischen Ausdruck von V (Gleichung 33, S. 36) genommen und die sich hieraus ergebende Operation ausgeführt werdet soll. Für aV erhält man nach Gleichung (10) S. 13 H V = «1 ^/dx + (^2^/dy + «8 ^/^^ • • • (38) und, wenn. wir die Operation an dem Scalar Ä ausführen, («V).^=«,|^ + «,|f + «3^. . . (39) Digitized by Google 40 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Zu demselben Resultate wird man geführt^ wenn man zuerst \J A bildet und dann erst das scalare Product hiervon mit a nimmt. Man hat also die Gleichung (aV)i4 = a.V^ (40) die indessen nur so lange gültig bleibt als A^ wie hier vor- ausgesetzt und durch die Schreibweise schon angedeutet ist^ ein Scalar ist. Mit Benutzung der Operation a V lässt sich die Gleichung (36) des vorigen § noch in anderer Form anschreiben. Versteht man nämlich unter dr den Tensor von dt und unter tj einen in der Richtung von dt gezogenen Einheitsvector, so dass dt = X^dr ist, so erhält man aus (36) ^ = (»iV)A (41) Die Operation tjV, die an einem Scalar ausge- führt immer wieder einen Scalar ergibt^ ist also gleich der Variation von A in der Richtung t^. Wenn A ein Potential ist, lehrt sie uns also die Grosse der in die Richtung r^ fallenden Kraft kennen. Führen wir die Operation aV an einem scalaren Pro- ducte aus, so erhalten wir (aV)«» = «.(iiV)»-f-»-(aV)« . . (42) Der Beweis ergibt sich leicht aus der Verbindung der Gleichungen (39) und (28). § 20. Die Operation V an einem Vector. An einem Vector lässt sich die Operation V auf zwei verschiedene Arten ausführen. Der Operator V hat nämlich selbst die Form eines Vectors und seine Verknüpfung mit dem Vector, auf den er sich bezieht, kann entweder nach den Regeln der Bildung des scalaren oder des Vectorproducts er- folgen. Auf den ersten Blick erscheint es vielleicht will- kürlich in dieser Verknüpfung überhaupt eine Art der Pro- ductbildung zu erblicken. Man beachte aber, dass bei der Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential- Operatoren. 41 üurchführuDg der durch die Definition von V in Gleichung (33) gegebenen Rechenvorschrift sofort die Producte der Grund- vectoren auftreten und es bedarf daher in der Thet einer näheren Festsetzung, welche Art der Productbildung hierbei angewendet werden soll. Schreiben wir einfach VÄ, so ist damit die scalare Productbildung angezeigt. Im anderen Falle ist VVÄ zu schreiben. Von den beiden Wertheo, zu denen man so geführt wird, ist der erste ein Scalar, der zweite ein Vector. Beide sind für die mathematische Physik und besonders für die Elektricitätslehre von grösster Bedeutung. Es ist daher wünschenswerth, für sie noch besondere Operationszeichen zu besitzen, die an die Stelle der zuweilen unbequemen Schreib- weise, namentlich von VVÄ treten können. Diese hat Maxwell in der „Convergenz*', abgekürzt „conv", und dem „curl** eingeführt. Heaviside hat dann noch für das Negative der Convergenz die „Divergenz" oder div gebraucht. Wein- stein, der Herausgeber der deutschen Uebersetzung des Max- well'schen Buches hat curl (wörtlich Locke oder Windung, Kräuselung) mit Rotation übersetzt. Ich sehe indessen keinen Vortheil darin, das eine Fremdwort durch ein anderes zu er- setzen. Besser würde es vielleicht noch sein, wenn man curl durch das stamm- und sinnverwandte deutsche Wort „Quirl" übersetzen wollte. Da aber curl allmählich zu einem Operations- zeichen geworden ist, das in die wichtigsten Gleichungen der Elektricitätslehre eintritt, halte ich es für das Richtigste, das englische Wort ohne jede Aenderung in den deutschen wissen- schaftlichen Sprachschatz aufzunehmen. Wir setzen also durch Definition fest divÄ = — convÄ = VÄ] ,,„. I . . . . (43) curl« = VV« Digitized by Google 42 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. § 21. Die Operation div. Wir wollen die Operation div, also die scalar ausgeführte Operation V an irgend einem Vector Ä jetzt wirklich vor- nehmen. Wir haben div« = V« = {id/dx + \d/dy + l^/dz) {A,\ + A^\ + ^3!) dx ^ dy ^ dz ^^^) denn die scalaren Producte Ij u. s. f. verschwinden (Gleichung (8) S. 13). Dieser Ausdruck hat aber eine wichtige geometrische Bedeutung, die man sich am besten klar macht, indem man annimmt, der Vector « bedeute die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit an dem Orte des Baumes, auf den sich % bezieht. Es ist dabei keineswegs nothig, dass K diese Bedeutung wirklich besitze. Es mag irgend eine Vectorgrösse darstellen: dann werden wir aber stets die Vertheilung des Vectors « im Baume durch das Bild der Geschwindigkeitsvertheilung in einer Flüssigkeit veranschaulichen können. Man kann mit anderen Worten jede Function, die in eindeutiger Weise für jeden Punkt im Baume einen Vector angibt, hydrodynamisch constmiren. Diese hydrodynamische Veranschaulichung ist an sich zwar nur rein formaler Natur: sie erleichtert die Be- trachtung, ohne etwas über die Gesetze auszusagen, denen der Vector « unterworfen ist. Zugleich bildet sie aber nach dieser Bichtung hin ein so wichtiges Hülfsmittel, wie etwa die geometrische Veranschaulichung durch eine Curve für die Eigenschaften einer Function in den Anfangsgründen der Analysis oder für die Betrachtungen über DifiFerentialquotienten, Maxima und Minima u. s. w. So wenig man dieses Hülfs- mittel vermissen mochte, so viel Werth ist auch auf die hydrodynamische Wiedergabe des Vectors « zu legen. Der „Kraftfluss" hat daher mit Becht von jeher in der Faraday- Maxweirschen Theorie eine grosse Bolle gespielt. Auf dem Contineut hat man sich lange genug gegen diese Fassung Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential -Operatoren. 43 gesträubt Sobald man aber festsetzt, dass das Wort Kraft- fluss an sich gar nichts über den wirklichen Vorgang aus- sagt, sondern nur auf die Möglichkeit der hydrodynamischen Construction irgend eines Vectors hinweist, liegt selbst für den Gegner der Maxwell'schen Theorie kein Grund vor, sich dem Gebrauche des Wortes und des dadurch ausgedrückten Bildes zu widersetzen. Wir denken uns also den Vector Ä in der eben er- läuterten Weise hydrodynamisch construirt, so dass er die Geschwindigkeit in einer fingirteu Flüssigkeit vorstellt. In dieser Flüssigkeit denke ich mir ferner ein rechtwinkliges Parallelepipedum mit den Kanten dx dy de abgegrenzt. Durch die dem Ursprung zunächst liegende, zur X-Achse senkrechte Fläche dy dz strömt eine Flüssigkeitsmenge in den Innenraum ein, die in jeder Secunde gleich dy dz • A^ ist, wenn wie ge- wöhnlich Aj die X-Componente von Ä bedeutet. Aus der gegenüberliegenden Seitenfläche tritt zugleich eine andere Menge dA aus dem Parallepipedum aus, die gleich dy dz{A^ -\- -^ • dx) OSO ist. Der üeberschuss der ausgeströmten über die eingeströmte Menge beträgt daher für dieses Paar gegenüberliegender Seiten- flächen ^^i/dx • dx dy dz. Aehnliches gilt für die anderen Seitenpaare. Im Ganzen strömt daher in der Zeiteinheit und auf das Einheitsvolumen bezogen die Menge dx "^ cy '^ dz aus dem Parallelepipedum mehr aus als ein, also gerade der durch div % dargestellte Betrag. Wir können diesen üeber- schuss der Ausströmung über die Einströmung entweder dadurch erklären, dass wir annehmen, die Flüssigkeit expan- dire zu dieser Zeit (oder sie ziehe sich zusammen wenn div Ä negativ ist), — oder wir können die Flüssigkeit als incom- pressibel ansehen und im Innern des Parallelepipedums eine Flüssigkeitsquelle von der Ergiebigkeit div Ä annehmen. Einem negativen divÄ würde dann natürlich eine Versickerung — oder wie man diese fortwährende Beseitigung von Flüssigkeits- Digitized by Google ] 44 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analyaia der Vectoren. menge aus dem Räume sonst nennen will — entsprechen. Gewöhnlich zieht man das letzte Bild vor. Man kann dann das gewonnene Resultat in der Form aussprechen: Die Divergenz eines Vectors gibt die Ergiebigkeit der zu dem Vectorflusse an der betreffenden Stelle und für die Yolumeneinheit hinzutretenden Quelle an; die Convergenz die stattfindende Versickerung. Wo keine solche Quelle oder Versickerung auftritt^ ist div K = 0. Es ist dies die bekannte Continuitätsgleichung der Hydrodynamik. Aus dieser geometrischen Bedeutung von diyft folgt zugleich, dass es unabhängig von der Wahl eines bestimmten Coordinatensjstemes sein muss. Dies folgt übrigens schon unmittelbar aus dem rein analytischen Beweise, der in § 17 zu Gleichung (35) führte. Anmerkung. Im Maxweirschen Bnche ist der scalare Theil von VÄ als die Convergenz bezeichnet (anstatt wie hier als Divergenz). Mit Bücksicht auf die der Qaatemionentheorie entnommene Beziehung i . i SS — 1, anstatt wie hier (nach Heaviside) gleich -|- ^ i^t der scalare Theil bei Maxwell indessen das Negative von dem, was hier dafür gefunden wurde. Infolgedessen hat conv hier genau dieselbe Bedeutung wie bei Maxwell. Ein Vorzug dieser Bezeichnungen ist es übrigens, dass der Sinn sich ohne Weiteres aus dem Worte ergibt und die wirkliche Bedeutung so unzweideutig daraus hervorgeht, dass ein Irrthum im Vorzeichen, vor dem man sich in der mathematischen Physik nicht zu viel hüten kann, ganz ausgeschlossen wird. § 22. Die Operation ourL Durch Ausföhrung der für die Operation V und die Bildung des Yectorproducts festgesetzten Rechenvorschriften erhalten wir curl«=V V«=V(l^/aa: + i^/dy + i^/dz){Ä,i + A,i + A,l) ='f^-'^)+ifi^-%)+'(ii-'^)-(«) Symbolisch lässt sich dies auch durch die folgende Deter- minante darstellen Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential -Operatoren. 45 curl K l i « i ^Idx S/dy S/dz A A, Ä, (46) durch die das Bildungsgesetz des curl dem Gedächtniss am besten eingeprägt wird. Ein Vergleich mit dem für V*® in Gleichung (18*) S. 18 gegebenen Ausdrucke zeigt zugleich ^ie nahe Verwandtschaft beider Operationen. Man kann in der That, wie es vorher schon gelegentlich geschah, sagen, dass der curl das Vectorproduct des Operators mit dem Operanden bildet. Die blosse Angabe der analytischen Ableitungsart unter Zugrundelegung eines Coordinatensjstems wie in Gleichung (45) und (46) gestattet zwar, mit dem curl zu rechnen, sie gibt aber durchaus keinen klaren Einblick in die geometrische Bedeutung dieser wichtigen Operation. Dass ihr eine solche Bedeutung zukommen muss, lässt sich schon aus dem bereits in § 17 gegebenen Beweise erwarten, dass die Operation un- abhängig von der Wahl eines bestimmten Coordinatensjstems ist. Zum mindesten wird man verlangen müssen, dass ein Weg zur Ermittelung von curlÄ angegeben wird, der eben- falls keinen Bezug auf ein Goordinatensystem nimmt. um diesen besseren Einblick zu erhalten, wollen wir zunächst annehmen, der Vector K sei überall gleich gerichtet und nur der Grösse nach veränderlich. Legen wir, um seinen curl zu ermitteln, die X-Achse in die Richtung von Ä, so vereinfacht sich Gleichung (45) hier zu curl Ä = j^A/a;? — t^^i/dy* Der curl steht also in diesem Falle senk- recht zu dem Vector aus dem er abgeleitet wird. — Unoi seine Richtung noch näher zu bestimmen, drehe man das Goordinatensystem um die X-Achse so lange bis für die neue Lage ^^i/dy = wird. Falls nämlich % nicht gerade für den betrachteten Punkt ein absolutes Maximum oder Minimum annimmt, wird man immer zwei diametral entgegen- gesetzte Richtungen der 7- Achse finden können, längs deren It sich (wenigstens für ein unendlich kleines Intervall) nicht Digitized by Google 46 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. ändert. Die Z-Ächse fallt dann in die Richtung^ längs deren sich die Grosse von K am schnellsien ändert. Die Gleichung dA für den curl geht aber dann über in curlÄ = i-^- Sie zeigt uns, dass curl Ä in eine der beiden vorher er- wähnten Richtungen fällt, längs deren sich K nicht ändert und zwar in jene, für die die Aufeinanderfolge der Richtungen K, curl X und der Richtung der zu- nehmenden K ein Rechtssystem bildet. Der Tensor von curl K wird durch die auf die Längeneinheit be- zogene maximale Zunahme von K bei einer Querver- schiebung des veränderlichen Punktes angegeben. Alle Differentiationen an einer Vectorsumme sind, wie aus den früheren Betrachtungen hervorgeht, auszuführen, indem* man sie an jedem Gliede vornimmt. Man hat daher auch curl (« + ») = curl « + curl» . . . (47) wie die Entwickelung nach Gleichung (45) unmittelbar zeigt. Ein Vector, der sich in beliebiger Weise ändert, kann stets als die Vectorsumme von 3 Componenten angesehen werden, die nur ihre Grösse und nicht ihre Richtung ändern. Auf Grund des soeben angegebenen Verfahrens kann man von jedem dieser Componenten den curl bilden und den des ganzen Vectors dann durch geometrische Summirung aus den Einzelresultaten ableiten. Doch führt dies schliesslich wieder auf die Bestimmung nach Gleichung (45) zurück. Von speciellen Fällen sei hier zunächst noch der erwähnt, dass Ä stets zu einer festen Ebene parallel bleibt und sich in der Richtung senkrecht zu dieser Ebene nicht ändert. Das ist mit anderen Worten der Fall des zweidimensionalen Problems. Nehmen wir in diesem Falle die feste Ebene als X F-Ebene, so geht Gleichung (42) über in curl « = l{dAJdx — dAJdy). Also auch hier steht der curl senkrecht zu dem Operanden. In anderen Fällen trifft dies aber keineswegs zu; curlÄ kann sogar mit % in dieselbe Richtung fallen. Digitized by Google Zweites CapiteL Die Differential -Operatoren. 47 § 23. Mechanische Bedeutung der Operation cnrl. Zunächst sei hier aDgenommeD; dass der Operand ^ von dem der curl genommen werden soll, ein Radiusvector istr Nennen wir ihn t, so soll also t die Entfernung des bei der DiflFerentiirung veränderlichen Punktes von einem festen Punkte des Raumes nach Grösse und Richtung angeben. Setzen wir r = Ir^ + [r^ + '^37 so ist unmittelbar klar, dass z. B. dr^/^x = 1 und ^ V^y = ist. Setzen wir die Werthe für diese DifiTerential^uotienten in Gleichung (45) ein, so erhalten wir sofort curlr = (48) Diese Eigenschaft, dass sein curl gleich Null ist, theilt der Radiusvector übrigens mit einer grossen Zahl von Vectoren anderer Art, die für die Physik überhaupt und besonders för die Elektricitätslehre von grosser Wichtigkeit sind. Wir werden auf diese Classe von Vectoren im nächsten Gapitel näher einzugehen haben. Nun erinnere man sich der in § 10 abgeleiteten Gleichung (20) tJ-tJo+Vttt, die die Geschwindigkeit des materiellen Punktes eines starren Körpers bei einer beliebigen Bewegung dieses Korpers auf die Geschwindigkeit IIq eines als Anfangspunkt gewählten Punktes 0, auf die Rotationsgeschwindigkeit tt und den Radius- vector des betrachteten Punktes zurückführt. Führen wir auf beiden Seiten die Operation curl aus, so erhalten wir curlH = curlVttt = curl{l(w2^3 — ^3^2) + i(«*3^i — ^1^3) Der curl von IIq fällt nämlich fort, da IIq constant ist. Bei der weiteren Entwickelung beachte man, dass die Componenten von tt für alle Punkte des starren Korpers denselben Werth haben und dass die Differentialquotienten von r^r^r^, wie schon oben erwähnt, gleich 1 bezw. gleich Null sind. Digitized by Google 48 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. curl H = {(p/dyiu^r^ — u^r^) — ^/dz^u^r^ — u^r^)) + i&dz{u,r^ — u^r^) — ^/dx(n,r^ — u^r,)) + 1(. . . .) = i • 2Wi + i . 2^2 + 1 . 2^3 = 2 . II. • Die hieraus hervorgehende Gleichong tt = icurHl (49) kann als die ümkehrung der Gleichung (20) angesehen werden, indem sie die Winkelgeschwindigkeit der Rotation nach Grösse und Achsenrichtung zu bestimmen gestattet, wenn die Ge- schwindigkeiten li der einzelnen Punkte bekannt sind. Zu- gleich gestattet sie den besten Einblick in die geometrische und mechanische Bedeutung der Operation curl, nämlich: Wenn ein starres System in relativer Bewegung zu einem andern ist, gibt der curl der Geschwindig- keit dieser Bewegung das Doppelte der Rotations- geschwindigkeit nach Grösse und Achsenrichtung an. Gleichung (49) folgt übrigens aus Gleichung (20) unab- hängig von der besonderen Bedeutung, die den Zeichen zu-, kommt, falls nur r einen Radiusvector vorstellt. — Setzen wir den nun für tt gefundenen Werth rückwärts in Gleichung (20) ein, so erhalten wir ll = ll^ + |ycurH|.r (50) als Bedingungsgleichung, der li genügen muss, wenn es sich durch Gleichung (20) darstellen lassen soll, oder, was auf dasselbe hinauskommt, als Bedingungsgleichung dafür, dass der Vector H durch die Geschwindigkeiten der materiellen Punkte eines starren Körpers zur Darstellung gebracht werden kann. Nebenbei sei hier auch noch die div der Vectoren t und li gebildet; man findet leicht divr=3; divll = (51) Die letzte Gleichung kann übrigens schon als unmittel-' bare Folgerung der für die div eines Vectors in § 20 ge- gebenen geometrischen Deutung ohne jede Rechnung an- geschrieben werden. Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential- Operatoren. 49 § 24. Die Operation (nV) an einem Veotor. Für den schon aus § 19 bekannten Operator (aV) gilt anch hier, wo er auf einen Vector bezogen werden soll, die durch Gleichung (38) festgesetzte Definition: Er ist hiernach ein scalarer Operator, der nach § 14 an jeder Componenten des Vectors für sich auszuführen ist. Wir erhalten daher (a-V)« = l • (« V)^, + i . (a V)^ + f . (a V)^3. (52) Um die Bezugnahme auf ein Goordinatensystem zu um- gehen, forme ich diesen Ausdruck weiter um. Aus Gleichung (40) S. 40 und Gleichung (23) S. 27 folgt t . (a V)^i = i • aVA = V^j • a, + VöVlV^i (53) Dieselbe Umformung ist auch auf jedes der beiden anderen Glieder anzuwenden. Zieht man dann zusammen, so kann man für V^i • Ol + V-ig • a^ + V^8 • «8 zur Abkürzung Vii(Äil) schreiben. Der Zeiger Ä an V« gibt hier an, dass die Operation V partiell an dem scalaren Pro- ducte Ka ausgeführt werden muss, so nämlich, dass nur 91 und nicht zugleich a als veränderlich mit dem Orte betrachtet werden darf. Für die Zusammenziehung der drei anderen Glieder machen wir von einer Formel Gebrauch, die sich leicht aus der Definitionsgleichung des curl in Gleichung (43) ableiten lässt. Man hat nämlich curl«=VV«=VV(i^i + i^2 + f^3)=VVii4'+VVi^2 + VV1^3 ViV^i-ViV^2-V«V^ . (54) Bei dem Uebergange zur letzten Form ist dabei der Operator V so wie ein gewöhnlicher Vector behandelt und in Folge der Vertauschung der Vectorfactoren im ' Vector- FOppl, Maxwell^ache Theorie der Elektricität. 4 Digitized by Google 50 Erster Abschnitfc. Die Algebra und Analysis der Yectoren. producte daher das Vorzeichen gewechselt worden. Ganz zu- verlässig ist dieses Verfahren nicht; man überzeugt sich aber nachträglich leicht von der Richtigkeit des gefundenen Resultats^ indem man die Glieder nach den gewöhnlichen Rechenvor- schriften einzeln entwickelt. Setzt man dies ein, so geht Gleichung (52) über in (aV)«=V«(«a)+Vcurl«.a . . . (55) Die geometrische Bedeutung der Operation aV tritt erst klar hervor, wenn wir voraussetzen, dass a ein constanter Einheitsvector sei. Bei der Anwendung der Operation triflft dies häufig oder sogar gewöhnlich zu. Der Vergleich von Gleichung (52) mit Gleichung (41) lehrt uns dann sofort, dass (aV)K die auf die Längeneinheit bezogene Aenderung von Ä für eine Verschiebung in der Richtung a bedeutet. Denn die Componenten von (aV)Ä in Gleichung (52) geben nach Gleichung (41), in der x^ dieselbe Bedeutung hat wie hier a, die Aenderungen der Componenten von Ä unmittelbar an. Mit anderen Worten heisst dies, dass die Operation (aV), falls a ein constanter Einheitsvector ist, eine Differentiation nach der Richtung a bedeutet. Die Differentiation ^/dx u. s. f. nach einer Coordinaten- achse ist hiernach nur ein specieller Fall der Operation (aV) und zwar ist Tritt dagegen an die Stelle des constanten Einheits- vectors irgend ein anderer Vector, der jetzt zum Unterschiede mit JB bezeichnet werden mag, so setze man JB = J5 • a, wo jetzt a ein Einheitsvector ist, der mit ÜB an jener Stelle des Raumes, für die wir (j8V)Ä berechnen wollen, gleichgerichtet, sonst aber constant ist. Dann ist (»V)« = J5.(aV)«, also gleich dem mit dem Tensor von 8 multiplicirten DiflFerential- quotienten von Ä nach der Richtung von 8. Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential- Operatoren. 51 § 25. Das Baum-Differential eines Vectors, !e unendlich kleine Aenderung d9L, die ein stetig im RauH yertheilter Vector % bei einer unendlich kleinen Ver- rücHig des Punktes erfährt^ auf den er sich bezieht^ lässt siclflß.ch Gleichung (27) immer leicht durch die Differentialien derlomponenten ausdrücken^ also d« = idÄ^ + idÄ^ + tdA^. afür kann aber nach den Untersuchungen des vorher- geKiden § stets auch ein anderer Ausdruck gesetzt' werden, deflvon der Bezugnahme auf ein bestimmtes Coordinaten- m frei ist. Versteht man nämlich jetzt unter a die un- ch kleine Verschiebung jenes Punktes, so ist das zu- !5rige äX hiemach d« - (aV)« = Vii«a + V cur] « . a. Für einen unendlich kleinen Bezirk in der Nachbar- bhaft des Punktes 0, für den K den Werth Kq annimmt, nat man daher bis auf unendlich kleine Grössen höherer ' Ordnung |l = «,+Vii«tt+Vcurl«-tt . . . (56) Diese Gleichung hat dieselbe Bedeutung für K wie die Entwickelung einer Function f(x) für ein unendlich kleines x nach dem Taylor'schen Satze in f(x) = f{0) + /^(O) ^^- Auch unabhängig von der hier gegebenen Ableitung kann man den Nachweis für ihre Gültigkeit durch unmittelbare Entwickelung der einzelnen Glieder nach den für sie gegebenen ßechen- Yorschriften führen und es zeigt sich dann, dass Gleichung (56) in der That auf eine Entwickelung nach dem Taylor'schen Satze für drei unabhängige Veränderliche hinauskommt. § 26. Anwendung auf die Hydrodynamik. Man denke sich K, so wie es in § 21 angegeben wultle, hydrodynamisch construirt, so also, dass es die Geschwindig- keit in einer Flüssigkeit naeh Grösse und Richtung angibt. Digitized by Google 52 Erster Abschnitt Die Algebra und Analysis der Vectoren. Nach Verlauf eines Zeitelementes dt hat sieh der materielle Punkt, der erst in war, um die Strecke %dt verschoben. Die Verschiebung des Punktes, der sich zuerst am Ende der unendlich kleineo Strecke a befand, beträgt dann (Ä + d9i)dt. Öer Theii d% dt hiervon gibt die Verschiebung rfil des einen Punktes relativ zum andern an. Nach Gleichung (56) ist e?tt = d^(V«(«a)+V(curl«.a)) . . . (57) Der Bewegungszustand in der Umgebung des Punktes lässt sich dadurch charakterisiren, dass man die Bewegung in 3 Componenten zerlegt. Diese Zerlegung kann nun in verschiedener Weise erfolgen. Die blosse Zerlegung in 3 Componenten nach den Coordinatenachsen, wie sie zum Zwecke der Cartesischen Darstelluugsweise erfolgt, hat immer etwas Willkürliches und gibt keinen unmittelbaren Einblick in das Wesen der Sache. Hr. H. v. Helmholtz hat desweigen neben dieser Zerlegung, die er anwenden musste, um das Problem mit den Hülfsmitteln der gewöhnlichen Analysis verfolgen zu können und die nur als ein Rechenbehelf an- zusehen ist, eine andere angewendet, durch die es ihm in seiner . berühmten Abhandlung über die Wirbelbewegungen gelang, die Hydrodynamik mächtig zu fördern. In einer Polemik, die sich an diese Abhandlung knüpfte, suchte der französische Physiker Bertrand die Berechtigung der v. Helm- holtz'schen Zerlegung, die ihm willkürlich erschien, zu be- kämpfen. Wenn dieser Widerspruch schliesslich auch ver- stummen musste, so ist sein Auftreten doch immerhin erklärlich genug: die Verquickung der rationellen Zerlegung, wie sie V. Helmholtz gab, mit der dem eigentlichen Wesen der Sache fremden Zerlegung nach drei Coordinatenachsen, führte fast mit Nothwendigkeit zu solchen Zweifeln. Bei einer Dar- stellung des Vorgangs mit den Hülfsmitteln der Vector- Analysis wird diesen von vornherein jeder Boden entzogen und die Grössen, um die es sich handelt, werden ebenfalls von vornherein in ihrer wahren physikalischen Bedeutung erkannt. Digitized by Google Zweites Capifcel. Die Differential -Operatoren. 5S Die Entwickelungen des vorigön §, die zu der Grleichuug (56) führten, geben eine Art der Zerlegung des Vectors Ä in der Nachbarschaft des Punktes an, die frei von jeder Bezug- nahme auf ein willkürliches Coordinatensystem ist und daher an sich wohl als eine rationelle zu beträchten ist. Hier aber, wo es sich um die Anwendungen in der Hydrodynamik handelt, ist ihr eine andere weit vorzuziehen. Am natürlichsten erscheint es nämlich, aus der Gesammt- bewegung % zuerst eine solche abzuspalten, bei der sich die Flüssigkeit wie ein starrer Korper bewegt, während der Rest nur durch die Gestaltänderung der Flüssigkeit bedingt ist. Mit dem Verschwinden dieses Bestes muss also eine Bewegung ohne Formänderung übrig bleiben. Wollte man nun etwa das erste und dritte Glied des Ausdrucks von Ä in Gleichung (56) für den ersten und das zweite Glied für den zweiten dieser Bewegungsantheile in Anspruch nehmen, so würde man sofort erkennen, dass beim Verschwinden des zweiten Gliedes die Gleichung (56) die in Gleichung (50) S. 48 aufgestellte Be- dingungsgleichung, der die Geschwindigkeiten' in einem starren Körper genügen müssen, nicht erfüllt. Dieser Bedingung genügt dagegen die Zerlegung in die folgenden 3 Componenten ;« = «^ + SB + ® ..... . (58) worin »= i.y(curl«.a) ....*. (58») und daher nach Gleichung (56) e = iy(curl«.tt)+V«(«a) . . . (58^) ist. Zunächst ist nämlich durch den Vergleich mit Gleichung (50) sofort festzustellen, dass die Bewegungsantheile Äo + ö ^i^® Bewegung phne Formänderung richtig wiedergeben, wenn ft verschwindet. Denken wir uns ferner irgend eine Veränderung in dem Werthe des Autheils ß vorgenommen, die mit der Definitionsgleichung (58^) verträglich ist, womit auch der ganze Vector Ä eine Veränderung erleidet, so hat dies Digitized by Google 54 Erster Abschnitt, Die Algebra und Analysis der Yectoren. weder auf R^ noch auf ö irgend einen Einfluss. Der Ausdruck für 8 in (68*) enthält allerdings das von der Ver* änderung berührte W und daher implicit ^. Explicit lässt sich dies dadurch erkenntlich machen , dass man für (58*) nach Einsetzen yon 9 aus (58) schreibt 8 = ly (curl 8 . a) + IVC^^^I ^'^)' Der curl von ft, der in dieser Gleichung vorkommt, ist aber gleich Null. Um diese wichtige Eigenschaft der Componenten € nach- zuweisen, bilde man zunächst den curl von V«Äft. Dabei ist zu beachten, dass die Operation V« an Va sich auf ein constantes a bezieht (vgl. die auf Gleichung (53) S. 49 folgenden Bemerkungen), während bei der Operation curl die Lage des Punktes a selbst veränderlich ist. Aus v.«.-i(<,|4 + ».||. + «.||) erhält man curl V««« = i(a/ay(a,^ + a,^ + a,^) Hierbei ist nun ^^i/dy = 0, ^%'dy =1 u. s. f. zu setzen, da, wie bereits bemerkt, die Lage des Punktes a selbst ver- änderlich ist. Dadurch wird e».lV.«.-if^-|t)+i(%^'^) + .f^ -^). also, wie ein Vergleich mit Gleichung (45) §. 44 ergibt, curlV««tt = ~curl« (59) Nimmt man nun von Gleichung (56) den curl und setzt den hier gefundenen Werth ein, so erhält man sofort 2 curl« = curl V (curl «.tt) .... (60) Digitized by Google Zweites Capitel. Die Differential -Operatoren. 55 Die beiden Gleichungen (59) und (60) sind auch unab- hängig von dem Zwecke der hier durchgeführten Betrachtungen von Werth. Die erste gilt, wie aus ihrer Ableitung hervor- geht, auch für endliche Werthe des Radius vector a, die zweite, da sie sich auf Gleichung (06) stützt, nur für un- endlich kleine a. Wir wollen ihnen noch zwei weitere hinzu- fügen, die gelegentlich nützliche Verwendung bei den ana- lytischen Umformungen finden können. Bildet man nämlich den curl von (tt V) Ä nach Gleichung (55) und setzt auf der rechten Seite die sich aus den Gleichungen (59) und (60) ergebenden Werthe ein, so erhält man curl (tt V)Ä = curl Ä, die indessen wiederum nur für unendlich kleine a anwendbar ist. Für endliche a tritt an ihre Stelle curl (a V)« = curl « +' (ä V) curl «... (61) Man überzeugt sich von der Gültigkeit dieser Gleichung leicht durch Entwicklung der einzelnen Glieder, wobei man wie bei der Ableitung von Gleichung (59) auf die Werthe zu achten hat, die den partiellen Differentialquotienten der Com- ponenten von a mit Rücksicht darauf zukommen, dass a auf jeden Fall ein Radius vector sein soll. Um die oben aufgestellte Behauptung über die Eigen- schaft von (& zu beweisen, genügt es jetzt, den curl von Gleichung (58^) zu nehmen und die aus (59) und (60) her- vorgehenden Werthe für die einzelnen Glieder einzusetzen. Man erhält dann sofort curl« = (62) Damit ist aber zugleich der Nachweis geliefert, dass bei der in der Gleichung (58) vorgenommenen Zerlegung der Ge- schwindigkeit V in der Flüssigkeit das dritte Glied (E nichts zur Bewegung ohne Formänderung beiträgt, dass es also die Formänderungsbewegung ausschliesslich in sich begreift, während die beiden ersten Glieder ausschliesslich den von der Form- änderung unabhängigen Ortswechsel darstellen. Digitized by Google 56 Erster Abschnitt. Die Algebra aad Analysis der Vectoren. Wir haben früher in Gleichung (50) die Bedingung auf- gestellt, der die Geschwindigkeit in einem starren Körper ge- nügen muss. Wir können ihr hier noch eine andere (64) und ebenso der in (62) für die durch das Glied ft dargestellte Be- wegung eine zweite (63) zur Seite stellen. Zu diesem Zwecke denke ich mir die Bewegung Ä^ + ® zuerst ausgeführt, so dass sie bereits erledigt ist und betrachte, dann die ihr zu- zufügende Formänderungsbewegung ft ohne Ortswechsel des Flüssigkeitsbezirks im Ganzen. Betrachten wir die Bewegung (E isolirt, so ist füi? diese Bewegung jetzt 6 an die Stelle von Ä getreten; die Gleichungen (58), (58*), (58^) behalten auch jetzt noch ihre Gültigkeit für den vorliegenden Fall bei, wenn man in ihnen Ä durch ft ersetzt. Gleichung (58*) ergibt für 8 mit Benutzung von Gleichung (62) folgerichtig den Werth Null; Gleichung (58^) geht dagegen über in 6 = Ve(ea) (63) Ebenso ergibt sich für 8 die weitere Bedingungsgleichung aus (58^) 8 Vö(8a) (64) Während die Geschwindigkeitscomponente ft, wie sich zeigte, die Bedingung erfüllt, dass ihr curl Null ergibt, gilt dies bei 8 von der div (vgl. Gleichung 51). Für die div von 6 kann man aus Gleichung (63) leicht die Gleichung ableiten ' ' div6 = ttV2e (65) Das Operationszeichen V^ findet seine Besprechung in den folgenden § §. Eine Bewegung, für die curl 8 und daher auch 8 selbst überall gleich Null ist, erfüllt daher ebenfalls Gleichung (65). Zu einer Gleichung von dieser Form lässt sich aber, wie sich später zeigen wird, immer leicht eine Integralgleichung angeben. Desshalb sind die „wirbelfreien'' Flüssigkeitsbewegungen der analytischen Behandlung leichter zugänglich und wurden vor der v. Helmholtz'schen Abhandlung fast ausschliesslich untersucht. Digitized by Google Zweites Capitel. Die DifiPerential- Operatoren. 57 § 27. Die Operation VI Fasst man den Operator V als eine Yectorgrösse auf^ so geht V* dara|is nach den Regeln der scalaren Product- bildung hervpr. Wir setzen hiernach V^ = aya^» + ayay« + aya^« .... (66) d. h. V^ ist der nach Laplace benannte Operator. Er ist ein scalarer Operator und liefert bei Anwendung auf einen Scalar wieder einen Scalar, bei Anwendung auf ein^n Vector wieder einen Vector. Betrachten wir zunächst die Ausführung der Operation an einem Scalar. Nach (66) ist Man kann sich dies dadurch entstanden denken, dass man aus A zunächst den Vector V^ ableitet und dann an diesem die Operation V scalar vornimmt, d. h. also die div davon bildet. Man hat daher auch V^^-^divV^ ...... (68) Die Frage H«gt hier nahe, was man erhält, wenn die zweite Operation V nach Vector-Art an V-4 ausgeführt wird, d. h. wenn man den curl davon nimmt. Durch Entwickelung nach den für V und curl gegebenen Rechenvorschriften er- hält man sofort curlV-l = (69) Die Operation V^ lässt daher von vornherein nur eine Deutung zu, wenn sie an einem Scalar vorgenommen werden soll. Anders ist es bei einem Vector. Nimmt man die Operation V zunächst einmal an diesem vor, so erhält man bei scalarer Ausführung die div, bei der nach Vector-Art den ,_ curl. Die zweite Operation V liefert dann von div nur ein Resultat: Vdiv; vom curl kann dagegen V wieder auf zwei Arten genommen werden, so dass man entweder div curl Digitized by Google 58 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analy«is der Vectoren. oder curl curl erhält. Im Ganzen würden wir daher^ je nach den näheren Vorschriften, wie die Operation V jedesmal an den Vector-Operanden vollzogen werden soll, drei von einander verschiedene Resultate erhalten köimen* Wir werden uns sofort näher mit diesen 3 Werthen be- schäftigen. Mit keinem von ihnen fällt indessen V^ zusammen. Dies liegt daran, dass, wenn wir V als einen fingirten Vector ansehen, V^Ä auf VV-Ä hinauskommt, was durchaus von V-VÄ u. s. w. verschieden ist (vgl. § 11). Die DiflPerentiationen, aus denen sich V* zusammensetzt, sind, wie die Definitionsgleichung (66) zeigt, rein scalar. Solche sind aber (vgl. § 14) dadurch auszuführen, dass man sie an jeder Componente des Vectors für sich ausführt. Man hat daher Wenden wir uns jetzt zu den drei vorher erwähnten Werthen V • div Ä, div • curl Ä und curP Ä, d. h. curl . curl Ä, so erhalten wir zunächst leicht die wichtige Gleichung div. curl« = (71) • Bei der Ausführung der durch curl und div vorgeschriebenen Differentiationen an den Componenten von « heben sich nämlich alle Glieder identisch gegeneinander fort. Etwas ausführlicher sei hier die Ausrechnung von curPÄ vorgeführt. Wir erhalten Für die i- Componente erhält man bei Auflösung der Klammern 4 Glieder, denen noch ^^A/dx^ einmal als posi- tives und dann noch zugleich als negatives Glied angereiht werden kann. Diese 6 Glieder lassen sich aber dann wie folgt gruppiren: Digitized by Google Zweites Gapitel. Die Differential -Operatoren. 59 /^^VaÄ "*" ay "T" a«:/ U-c^ "*" ay* "^ a^^v oder mit anderen Zeichen ^/aaj-div«-V% ^ Die entsprechenden Umformungen lassen sich auch mit den j- und f-Componenten vornehmen, so dass schliesslich curPÄ übergeht in curP « «= \{dldx div « - VM,) + 1(^/^2/ div « - V^^g) + !(^/a;.div«-V%) = V-div« — V^« (72) Durch diese Entwickelung sind wir zugleich zu dem dritten Werthe V • div a, um den es sich noch handeln könnte, gelangt. Die wichtige Gleichung (72) zeigt, in welchem Zusammenhange die Operation V^ mit den Operationen steht^ die durch zweimalige Anwendung der Operation V an eioem Vector hervorgehen. Schliesslich sei noch auf eine interessante Beziehung zwischen Gleichung (72) und Gleichung (23) S. 27 hingewiesen. Ersetzen wir nämlich curl durch die Schreibweise VV und div durch V, so lautet Gleichung (72) Vvvv«=v-v«— VV.« und hier kann sie als unmittelbare Folgerung aus Gleichung (23) angesehen werden, wenn man den Operator V so wie einen Vector behandelt. Natürlich kann dieser Hinweis den vor- her gegebenen direct'en Beweis für Gleichung (72) nicht er- setzen; er zeigt vielmehr nur, dass man im vorliegenden Falle in der That berechtigt gewesen wäre, auf die Ver- knüpfung des Operators V mit anderen Vectoren die für die Verknüpfung gewöhnlicher Vectoren unter sich gültigen Rechengesetze anzuwenden. Aus Gleichung (72) lässt sich übrigens auch sofort schliessen, dass V^ eine Operation ist, die von dem ge- wählten Goordinatensysteme unabhängig ist, da dies von den übrigen Operationen, die in dieser Gleichung vor- Digitized by Google 60 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysia der Vectoren. kommen, schon früher erkannt war. — Auch direct kann dies mit Hülfe der in § 9 erörterten Coordinaten-Transformation leicht bewiesen werden. § 28. Verbindung mehrerer Operationen mit einander. In den vorhergehenden §§ sind alle wichtigeren Differential- Operationen der Vector-Analysis erörtert worden. Es unter- liegt daher keiner Schwierigkeit, nach den gegebenen Regeln auch mehrere Operationen hintereinander vorzunehmen. Zur Erleichterung für die Ausführung solcher Rechnungen dient es aber, wenn man einige häufiger vorkommende Verbindungen der Operatoren ein für alle Mal betrachtet und sich die er- haltenen Resultate zur späteren Verwendung notirt. Im vorigen § ergab sich uns schon Gelegenheit, einige wichtige Formeln dieser Art aufzustellen. Für alle Differential- Operationen gilt, wie sich schon zeigte, die Regel, dass sie an einer Vectorsumme ausgeführt werden, indem man sie an jedem Gliede vornimmt. Für ein Product AB aus zwei Sealaren ergibt sich sofort S/AB^A^\/B + B'VA .... (73) e . VAB = («V) AB^A' (®V) B -f J5 . (« V^) (74) ^ V\AB)^A^V^B + 2VA'VB + B'\/^A . (75) Es ist nur nöthig, die Operationen nach den für sie fest- gesetzten Regeln auszuführen, um sich von der Allgemein- gültigkeit dieser Gleichungen zu überzeugen. Die Operationen curl und div lassen sich an dem Scalar AB überhaupt nicht ausführen; ebensowenig wie an dem scalaren Product WS aus zwei Vectoren. Für VÄ8 kann man setzen wobei sich jedes Glied nach (73) weiter entwickeln lässt. Schliesslich sei noch darauf hingewiesen, dass die Operation V in gewissen Fällen auch partiell ausgeführt werden muss. So Digitized by Google Zweites Gapitel. Die DifPerential- Operatoren. 61 kann man z. B. WS unter der Festsetzung bilden, dass nur 91 als variabel, 8 aber als constant anzusehen ist Drückt man dies durch Beifügung des Zeigers W am Operator V aus, so hat man und . (76) Ein Beispiel für eine partielle Ausführung der Operation V bildete bereits der in Gleichung (55) und den darauf folgenden vorkommende Ausdruck V«(Äft); bei dem sich nach aus- drücklicher Festsetzung die durch V vorgeschriebenen Difife- rentiirungen nur auf die Veränderlichkeit von Ä bezogen, während a als ein constanter Vector anzusehen war. — Uebrigens wird, wenn tt, wie dort, ein einfacher Radius- vector ist, Man kann daher auch Gleichung (56) ersetzen durch wobei jetzt die Operation V an Va total auszuführen ist. Immer wenn dies geschieht, lässt sich auf V^ö Gleichung (69) anwenden. Man erhält also z. B. curlV«a = anstatt des in Gleichung (59) aufgestellten Werthes, der für eine partielle Ausführung der Operation V ermittelt war. An dem Producte -40 aus einem Scalar und einem Vector kann man die Operationen div und curl ausführen. Mit leichter Mühe leitet man hierfür die Formeln ab: div^» = ^.div» + ».V^,. . . . (78) wofür man auch schreiben kann div^» = ^.div» + (»V)-^. . . .(79) und curl^» = A . curl » + V(V^) • 8 . . . (80) Digitized by Google 1 62 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Auch an dem Vectorproducte aus zwei Vectoren kann man die Operationen div und curl vornehmen. Da man hier- durch zu zwei Formeln von Wichtigkeit gelangt, sei diese Entwickelung hier etwas eingehender wiedergegeben, obschon auch sie gar keine Schwierigkeiten bereitet und daher ebenso- >gut dem Leser überlassen werden könnte. Aus folgt divV«» = ^iAB, - AS>) + j-y{A,B, - A^B,) + ^^iA,B,-A^B,) Lost man die Klammem auf und führt die Differentiationen der Producte aus, so erhält man im Ganzen 12 Glieder, die in der Weise geordnet werden sollen, dass zuerst die beiden mit dem Factor Ä^, dann die mit A2 u. s. f. genommen werden. So wird ai,V««-A(t-t)+A(^-^)+^(^-S) Die drei Klammem in der ersten Zeile geben aber, wie man sich sofort überzeugt (nach Gleichung 45), die Compo- nenten von curl 8 mit gewechseltem Vorzeichen an, während die 3 Klammerwerthe in der zweiten Zeile, ohne solchen Vor- zeichenwechsel die Componenten von curl Ä unmittelbar darstellen. Nach der Definition des scalaren Products hat man daher divV«» = » curl « — «curl» . . . (81) Auch die Gültigkeit dieser Formel lässt sich, wie früher die von Gleichung (72) dadurch vorhersehen, dass man das Zeichen div durch das ihm gleichwerthige V ersetzt, dieses V als einen Vector betrachtet und dann auf V V^ö Gleichung (21) S. 25 zur Anwendung bringt Dabei ist nur im Auge zu Digitized by Google Zweites Capital. Die Differential- Operatoren. 63 behalten, dass V nach wie vor auf jeden Factor zu erstrecken ist, gleichgültig ob bei diesen Umformungen V vor oder hinter den Factor zu stehen kommt. Man kommt dann leicht auf Formel (81). Man musrs sich indessen hüten, in eiuer solchen Herleitung einen Beweis der Formel zu erblicken. Der Werth dieses Verfahreiis besteht nur darin, dass es in manchen Fällen einen Wink über mögliche Umformungen vorhandener Ausdrücke zu geben vermag. — Ganz dieselben Bemerkungen beziehen sich auch auf die jetzt abzuleitende Formel, die aus Gleichung (23) hergeleitet werden könnte. Wir haben curl V«» =• i[S/dyiA,B, - A,B,) - ^IdziÄ^B, - A^B^)} + j{. ...} + !{....} Zur Vereinfachung wollen wir zunächst nur die Diffe- rentiationen nach Ä ausführen (bei constantem 8); wir er- halten so, wenn wir die oben bei V angewendete Schreib- weise beibehalten curl«VÄ8. Im Ganzen ist dann curlV«» = CBrl«V«» + curl»V«» • • (82) eine Formel, der sich übrigens eine gleichartige auch für die div zur Seite stellen liesse (in der That gaben die beiden Zeilen des vorher für divVÄÖ entwickelten Ausdruckes nichts anderes als die partiellen Divergenzen nach V und 8 an). Nun haben wir zunächst für die i-Componente von curl«VÄ8, wenn vfir B^^A/dx einmal als positives und zugleich als negatives Glied beifügen In derselben Weise lassen sich auch die beiden anderen Componenten entwickeln. Wir erhalten so curl« V«» = i{» • V^i — -Bi div «} -f i{».V^2~^2div«} +!(...) Für 8J -V-^i kann man auch (8 V) -4i schreiben, wobei nun die scalare Operation 8V an hinauszuführen ist. Da Digitized by Google 1 64 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Yectoren. aber jede scalare Operation an einem Yecior dadurch aus- geführt wird, dass man sie an jeder Componenten vornimmt, hat man auch («V) . « -= i . (»V) A + i • (ßV)A, + !(»V) J,. Damit geht der vorige Werth über in curl « V«» «= (»V) « - » div « . . . (83) Bei der Bildung von curl»VÄ8 ist zu beachten, dass VW8 das negative von V8V ist und dass daher das vorige Bildungsgesetz zu benutzen ist, wenn nur die Vorzeichen um- gekehrt werden. Im Ganzen wird daher schliesslich curl V«» = « div » — 8 div « + (8 V) « — («V) • 8 (84) wobei noch einmal daran erinnert werden mag, dass ÄV die Operation bedeutet und die Aenderung angibt, die der dahinter stehende Werth bei einer Verschiebung um Ä erleidet, falls man sich Ä als eine unendlich kleine gerichtete Strecke vorstellen darf. Mit leichter Mühe lässt sich auch in ähnlicher Weise die Formel ableiten V(curl « . 8)«(8V) . «- (B^V^i + B^-V^^ + ^s-V^a), wofür man auch mit Berücksichtigung der Gleichungen (76) schreiben kann V(curl«.8) = (8V)-«- V««8. , . (85) oder auch mit Berücksichtigung von Gleichung (83) V(curl« . 8) = curl«V«» + 8 div « - V««8 . (86) Die Anwendung dieser Formeln gestattet in vielen Fällen, die Ausdrücke, mit denen man zu rechnen hat, zu vereinfachen oder sie auf eine für den gerade vorliegenden Zweck be- quemere Form zu bringen. Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Raumintegrale. Das Potential. 65 Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Ranmintegrale. Das Potential. § 29. Das Linien-Integral eines Yeotors. Unter Ä sei ein Vector verstanden, der für jeden Punkt eines Raumes eindeutig gegeben ist. Zwischen zwei Punkten Tq und P^ dieses Raumes sei femer eine zusammenhängende gerade oder krumme Linie gezogen, von der irgend ein Zwischenpunkt mit P bezeichnet sei. Den Radiusvector von Pq nach P nennen wir t und das auf P folgende Linien- element d%, wobei auch d% als eine Vectorgrösse aufzufassen ist, deren Tensor ds ist. Nach § 15 ist dann oft = d8 . Aus dem Vector W im Punkte P und dem Elemente dl bilde man das scalare Product und betrachte die dadurch gewonnene scalare, unendlich kleine Grösse als Element eines Integrals, das über die ganze Linie I^qJPx zu erstrecken ist. Dieses Integral J^^^^J%d% (87) Po wird das Linienintegral des Vectors Ä genannt. Hier sind nun zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem der Werth des Integrals Jo,i abhängig oder unabhängig von dem Integrationswege, d. h. von der speciellen Wahl der von Pq nach Pj gezogenen Linie ist. Es hängt von . der Art der Vertheilung des Vectors Ä in dem gegebenen Räume ab, welcher von diesen beiden Fällen eintritt. • Ist e7'o,i unabhängig vom Integrationswege, so ist das Linienintegral über eine geschlossene Curve, die von P^ über Pi geht und dann nach P^ zurückkehrt, gleich Null, denn für die beiden Theile, in die der Integrationsweg durch den Punkt P^ getheilt wird, hat Jo,i denselben Werth, das Föppl, Maxwell'sche Theorie der Elektricität. 5 Digitized by / Google 66 Erster AbschniU. Die Algebra und Analjsijs der Vecioren. ganze Linienintegral zerfallt aber in die beiden Theile e7^o,i und e7i,o, von denen Ji^o entgegengesetzt gleich mit e/i^i für denselben Integrationsweg ist, da bei Umkehrung der Richtung von d% das scalare Product %d% sein Vorzeichen wechselt. In diesem Falle ist ferner J*o,i eine für jeden Punkt Pj des betrachteten Raumes eindeutig bestimmte Grösse, wenn, wie hier stets vorausgesetzt war, dasselbe für Ä zutrifft. Für den Punkt Po wird diese Grösse zu Null. Da die Wahl des Punktes P^ willkürlich war, wollen wir, um zu einer all- gemeinen Darstellung zu gelangen, eine neue Grösse V ein- führen, so dass F«Fo + e7o,i (88) ist. Vq ist für den ganzen Raum constant und gibt den Werth von V im Punkte Po'^ali. Wählen wir nun irgend einen anderen Punkt Pg als Anfangspunkt, so wird F = Fo + e7o,2 + «^2,0 + «^Ö,! = Fo + e7o,2 + ^2,1 oder wenn wir die constante Grösse Fo + «70,2, d, h. den Werth von F im Punkte 2 mit F2 bezeichnen F=F2 + e72,t. Damit ist gezeigt, dass die scalare Grösse F für jeden Punkt des betrachteten Raumes bis auf eine additive Constante durch die Vertheilung des Vectors Ä völlig bestimmt ist. Man nennt sie in der Theorie der Massenanziehung das zum Vector Ä gehörige scalare Potential. In der Theorie der elektrostatischen und der magnetischen Kräfte, bei denen eine Äbstossung an Stelle der Anziehung tritt, ist man dagegen übereingekommen, das Negative des nach Gleichung (88) bestimmten Werthes von F als das Potential dieser Kräfte Ä zu bezeichnen. — Gleichung (88) geht, wenn man die Vorzeichen von F und daher auch von Fo umkehrt, über in F=Fo~e7o,i (88*) Auch hier können wir einen anderen Ausgangspunkt wählen und erhalten dann F== Fo — e7i)^2 «^2,0 «^,1 = F2 — e72,l. Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Raumintegrale. Das Potential. 67 Diese veränderte Festsetzung des Vorzeichens hat den Zweck, in jedem Falle die Grösse V so zu definiren, dass sie bei passender Wahl der darin auftretenden Constanten in unendlicher Entfernung gleich Null gesetzt werden kann. In der Theorie der Gravitation sind die Kräfte Ä von Orten niederen zu Orten höheren Potentials und in der Theorie der abstossenden Kräfte entgegengesetzt gerichtet. Schreibt man Gleichung (88) in der Form an e7o,i = F— Fo oder Gleichung (88*) in der Form eTo,!^ (F- Fo) so sprechen sie aus, dass das Linienintegral, falls es in dem ganzen Räume von dem Integrationswege unabhängig ist, gleich dem positiv oder negativ genommenen Potential unter- schiede zwischen Anfangs- und Endpunkt ist. § 30. Der Satz von Stokes. Es sei jetzt eine solche Vertheilung des Vectors Ä an- genommen, dass das Linienintegral Jo,! (Gleichung 8.7) für verschiedene Integrationswege verschieden ausfällt. Erstrecken wir es über eine geschlossene Curve, so nimmt es jetzt einen von Null verschiedenen Werth an. Wir wollen diesen Werth näher ermitteln, zunächst unter der Voraussetzung, dass die geschlossene Curve eben ist und ein Flächenstück df von unendlich kleinen Abmessungen umschliesst. Innerhalb des Flächenstückes oder auf der Curve selbst wählen wir einen Anfangspunkt, von dem wir die unendlich kleinen Badienvectoren a zählen. Wenn Ä im Anfangspunkte selbst den Werth Ä^ annimmt, kann es innerhalb des un- endlich kleinen Bezirks, den wir betrachten (vorausgesetzt, dass es sich überall in demselben continuirlich ändert) bis auf unendlich kleine Grössen zweiter Ordnung durch eine der in den Gleichungen (56) oder (77) gegebenen Entwick- 5* Digitized by Google 68 Erster Absclmitt. Die Algebra und Analyais der Yectoren. limgen dargestellt werden. Wir wählen die letzte*) und er- halten für das über die ganze Curve erstreckte Linienintegral J j = iy(«^ + V«a + V(curl « . a)) da . Nun ist zunächst J^Äjj ei a = 0, da für die geschlossene Curve J*da gleich Null und der Factor Ä^ constant ist. Für das zweite Glied gilt dasselbe, denn VÄa • da ist nach Gleichung (36) das vollständige Differential der Grösse Äa, das daraus zwischen beliebigen Grenzen genommene Integral daher gleich der Differenz des Anfangs- und des Endwerthes von Xa. Für die geschlossene Curve wird dieser Theil des Integrals also auch zu Null. Es bleibt demnach nur das dritte Glied in der Klammer übrig. Hierfür wenden wir die in Gleichung (21) S. 25 ausgesprochene Umformung an und erhalten j= iJc?aV(curl « . II) = l/curl « .V(arfa). Ilo ^o Setzen wir jetzt curl Ä = 8 und verstehen für die Folge unter 8 den Mittelwerth des damit neu eingeführten Vectors für den in Frage stehenden unendlich kleinen Bezirk, so wird Oo Das unter dem Integralzeichen stehende Element ist ein zu dem Flächenstücke df senkrecht stehender Vector. Nach § 7 wird ferner der Tensor von -^Varftt durch die Fläche des Dreiecks angegeben, das von den Seiten a, da und a -{- rfa umschlossen wird oder mit andern Worten, dessen Spitze im *) Wählt man die andere, so ist zn beachten, dass V^%ada kein vollständiges Differential bildet. Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Ranmiotegrale. Das Potential. 69 Anfangspunkte liegt und dessen Grundlinie das Linienelement da ist. Nun sind alle Vectoren Y(ada) unter sich gleich- gerichtet. Bei der durch das Integralzeichen vorgeschriebenen Summirung erhalten wir daher einen Vector, der ebenfalls und in derselben Richtung senkrecht zur Fläche df steht und dessen Tensor gleich der Summe aller jener Dreiecke, d. h. gleich der Fläche df ist. Bezeichnen wir also mit 81 einen Einheitsvector, der senkrecht zu df steht, so dass die Aufeinanderfolge tt, da, 9t zu einem Rechtssysteme im Räume führt, so erhalten wir schliesslich J=df'fB9l (89) Das scalare Product 891 ist nichts anderes als die Pro- jection des Vectors ö auf die zu df gezogene Normale 91. Nach dem bisher Bewiesenen sind wir zunächst im Stande, die Bedingung dafür anzugeben, dass der im vorigen § erörterte Fall vorliegt, dass nämlich e7*o,i vom Integrationswege unabhängig ist oder mit anderen Worten, dass sich der Vector Ä aus einem Potentiale V ableiten lässt. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass überall in dem betrachteten Räume » = curl« = ist. Wir wollen eine Vertheilung des Vectors Ä, die dieser Bedingung genügt, eine wirbellose nennen, da bei der hydro- dynamischen Construction des Vectors Ä (§ 26) die Flüssig- keitsbewegung in diesem Falle wirbelfrei ist. Nun können wir aber auch leicht den Ausdruck für das über eine geschlossene Curve von endlichen Dimensionen ge- bildete Linienintegral J ableiten. Zu diesem Zwecke lege man durch die gegebene Curve eine beliebige Fläche, so dass die ge- gebene Curve den Rand dieser Fläche bildet und zerlege durch zwei Schaaren von Linien die ganze Fläche in unendlich kleine Elemente (Abb. 8 auf folgender Seite). Man erkennt sofort, dass das Linienintegral J über die Randcurve gleich der Summe der Linienintegrale über die Umfange aller Flächenelemente ist, Digitized by Google 70 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. wenn der Sinn der Umkreisung in jedem Falle mit dem der ganzen Fläche im Integral J übereinstimmt. Denn beim Zu- sammenziehen dieser Summe kommt jedes Linienelement der gezogenen Theilungs- linien zweimal mit entgegengesetztem Vorzeichen und mit dem gleichen Factor 9( behaftet vor, so dass sich alle Glieder bis auf die von den Elementen der Randcurve herrührenden gegeneinander fortheben. Es ist das, nebenbei bemerkt, die- Abb. 8. , ' selbe Flächenzerlegung, die man an- wendet, um die Aequivalenz eines elektrischen Kreisstromes mit einer magnetischen Schale nach der Ampere'schen Theorie darzuthun. Für das über den Rand jedes unendlich kleinen Flächen- elementes erstreckte Linienintegral können wir aber den in Gleichung (89) gefundenen Ausdruck einsetzen; wir erhalten daher schliesslich Po J=f9ld^=ffB9l'df=fcxir\fl^9tdf . . (90) Das Integral J99l • df ist über die ganze, von dem Integrationswege des vorhergehenden Integrals umschlossene, im Uebrigen aber beliebig gezogene Fläche zu erstrecken. Es wird das Oberflächenintegral des Vectors ö über diese Fläche genannt. Gleichung (90) spricht den Satz von Stokes aus. Kommen in dem betrachteten Räume Unstetigkeitsstellen in der Vertheilung des Vectors W vor, so sind sie in be- kannter Weise auszuschliessen, bezw. zu umgehen. § 31. Das Linienintegral eines Scalars. Ausser dem Linienintegrale eines Vectors, dessen Element ein scalares Product aus dem Linienelemente und dem ge- Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Banmintegrale. Das Potential. 71 gebenen Vector bildet und das daher selbst zu einer scalaren Grösse führt, kommen, wenn auch seltener, noch zwei andere Linienintegrale bei den Anwendungen vor, die zu Vectoren fähren. Das hier jetzt zu behandelnde ist das Linienintegral eines Sealars, das wir uns von vornherein über eine geschlossene Curve ausgeführt denken wollen. Bezeichnen wir den Scalar mit A und das Integral mit 3, so ist nach Definition i=f4d» (91) Falls Ä eine Constante ist, wird 3 natürlich zu Null, da die Summe aller d^ für eine geschlossene Curve selbst Null ist. Im anderen Falle machen wir zur Berechnung von 3 von dem Stokes'schen Satze Gebrauch. Allerdings kann dieser hier nicht unmittelbar zur Anwendung gelangen, da er sich auf das Linienintegral eines Vectors und nicht auf das eines Sealars bezieht, üeber diese Schwierigkeit kommen wir indessen durch den Kimstgriflf hinweg, dass wir die ganze Gleichung (91) mit einem constanten Vector c, den wir uns als Einheitsvector von beliebiger Richtung denken wollen, multipliciren. Wir erhalten dann -Po 3.r=^(^c)d« (92) 3 • t ist dann die Componente von 3 ^^ der Ricjrfung c >-^*^ und es genügt zur Ermittelung von 3 selbst offenbar voU-^^^ kommen, wenn wir für jede Richtung c die Componente an- zugeben vermögen. ^^-^\ ^ ^ *^ xy-^^C\ Nach dem Stokes'schen Satze erhalten wir aus Gleichung(92) 3.r=J'curl(^c).W/^._<, . . . (93) ,^-^'\..-- curl(J.c) lässt sich nach Gleichung (80) entwickeln; dabei ist zu beachten, dass t hier constant, sein curl also Null ist. Daher ist i.t=f9t'Y{VÄ)t'df (94) Digitized by VjOOQIC -''\ 72 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Hierauf lässt sich noch die bekannte Transformation Gleichung (21) anwenden^ so dass sich 3r auch noch unter jeder der beiden folgenden Formen darstellen lässt ^.t=fS/A'Yt9tdf=tßj9l'^Adf . . (95) In der letzten Formel liess sich c als constanter Factor vor das Integralzeichen setzen. Beachten wir nun, dass dieser Ausdruck für jede Richtung von c gültig bleibt, so finden wir nun auch 3 selbst, wenn wir beiderseits c streichen. 3=yV«.v^rf/- (96) Diese Gleichung bildet in jeder Hinsicht ein Analogon zur Gleichung (90), denn, wie aus der Definition von curl hervorgeht, lässt sich curl selbst durch VV ersetzen. Führt man dies aus, so stimmen die beiden Gleichungen (90) und (96) den Zeichen nach fast völlig mit einander überein. So wie in § 29 für das Linienintegral eines Vectors könnte man auch hier für das eines Sealars die Frage auf- werfen, bei welcher räumlichen Vertheilung von Ä das Linien- integral für jede geschlossene Curve verschwindet. Die Be- dingung dafür ist offenbar v^ = o, d. h. Ä muss eine Constante sein. In jedem anderen Falle kann man geschlossene Linien angeben, für die das Linien- integral von Null verschieden wird. § 32. Das Vectorlinienintegral eines Vectors. Das andere Linienintegral, das gleichfalls zu einem Vector führt, entsteht dadurch, dass man von dem Linienelemente und dem gegebenen Vector nicht das scalare, sondern das Vectorproduct nimmt. Es wird also definirt durch die Gleichung St =fY%d^ (97) h Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Eaumintegrale. Pas Potential. 73 wobei das Integral jetzt zur Unterscheidung von dem vorigen Falle mit dem Buchstaben A bezeichnet ist und sich ebenfalls auf eine geschlossene Curve erstreckt. Auch hier wenden wir zur Ermittelung von A denselben Kunstgriff an, wie im vorigen §, d. h. wir multipliciren mit einem constanten Yector r. Ar =/fv«^8 =fd»Yt%. Bei der letzten Umformung war wieder Gleichung (21) zu beachten. Auf der rechten Seite haben wir aber jetzt ein gewöhnliches Linien integral und zwar das des Vectors V^'t stehen. Man kann also den Stokes'schen Satz anwenden und erhält Ar=/'curlVr«.«d/: Den curl entwickeln wir nach den Gleichungen (82) und (83); wobei zu beachten ist, dass t constant ist und dass daher der nach c genommene curl des Vectorproductes ver- schwindet. Man erhält so At=/{cdiv« — (cV)«}«tZ/- . . . (98) Dieser Ausdruck zerfällt zunächst in zwei Glieder und das zweite Glied lässt sich nach Gleichung (42) noch weiter umformen. Nach dieser Gleichung ist nämlich (cV)« 9t = t • V(««) - « • (cV)«, womit der gefundene Werth übergeht in «c = c . [fdiY « . mf-f\/(9i9t)df] +/« . {tV)9ldf (99) Für den besonderen Fall, dass das Liuienintegral über eine ebene Gurve erstreckt werden soll, und dass die Ober- flächenintegrale über das von dieser Curve eingeschlossene ebene Flächenstück genommen werden, fällt das letzte Glied dieses Ausdrucks fort, da ffl in diesem Falle eine Con- Digitized by Google 1 74 Erster Abschnitt, Die Algebra und Analysis der Vectoren. stante ist. Unter dieser Voraussetzung lässt sich auch A selbst angeben und zwar ist es «=.y(«diY«-V(««))d/- . . . (100) Auch hier stellt sich wieder die wichtige Frage ein, unter welchen Umständen das Vectorlinienintegral über eine geschlossene ebene Curve verschwindet. Falls dies nur für eine bestimmte Curve mit gegebener Richtung der Flächennormalen 9t zutreflfen soll, genügt es, wenn überall auf der Fläche «div« = V(««) = JVi -V^i + N^ • V-ia + JVg .V^3 ist, wobei VÄJl nach Gleichung (76)* entwickelt ist. Soll es dagegen für jede Curve zutreflfen, so müssen, wenn wir ÄdivÄ ebenfalls nach seinen Componenten ent- wickeln, die auf beiden Seiten mit denselben Componenten von Ä behafteten Glieder einzeln einander gleich sein. Es muss also z. B. idiv«=V^i sein, oder wenn wir für divÄ seinen Werth einsetzen Hä^"*" dy ^ dz)~^'W^^ dy '^^ dz' Dies führt zu dÄi ___ dÄi __ dA^ , dA^ r. dy dz dy "^ dz Schreibt man noch die entsprechenden Folgerungen aus der Gleichsetzung der mit ^2 ^^^ ^3 behafteten Glieder an, so folgt, dass das Vectorlinienintegral von Ä nur dann für jede geschlossene (ebene) Curve verschwinden kann, wenn % eine Constante ist. § 33. Das Oberflächenintegral eines Vectors« Von dem Oberflächenintegral gilt Aehnliches wie vom Linienintegral. Legen wir, wie es in § 30 beschrieben war, durch eine gegebene Linie eine Fläche, über die das Integral Digitized by Google Drittes Oapitel. Linien-, Flächen- und Raumintegrale. Das Potential. 75 • erstreckt werden soll, so kann das Integral entweder abhangig oder unabhängig von der speciellen Wahl sein, die wir für diese Fläche getroffen haben. Es hängt dies von der Art der Vertheilung des Vectors ab, von dem das Integral zu bilden ist. — Das durch den Satz von Stokes eingeführte Oberflächenintegral des Vectors © in Gleichung (90) ist auf jeden Fall unabhängig von der speciellen Wahl der Inte- grationsfläche (solange nur die Randcurve beibehalten wird), da es für jede derartige Fläche, die wir ziehen mögen, gleich dem Linienintegrale des Vectors Ä über die Randcurve ist. Wir können daraus sofort weiter folgern, dass das über eine geschlossene Fläche erstreckte Integral des Vectors ö gleich Null sein muss. Schliesst nämlich die Fläche einen einfach zu- sammenhängenden Raum ein, so können wir sie durch Ziehen einer in sich zurücklaufenden Linie in zwei getrennte Hälften spalten, so dass die Linie in dem früher erörterten Sinne eine Randcurve für jede Hälfte bildet. Nach dem Stokes'schen Satze, Gleichung (90), ist dann Jld9idf für jede Hälfte gleich gross. Hierbei bedeutet aber, je nach dem ümlaufssinn, den wir für das Umlaufen der gemeinsamen Randcurve bei der Bildung des Linienintegrals gewählt haben, jR in der einen Hälfte der Fläche die nach innen und in der anderen die nach aussen gerichtete Normale. Bilden wir also fSSfftdf für die ganze Fläche und verstehen unter 91 überall die nach innen (oder überall die nach aussen) gerichtete Normale, so heben sich die beiden gleich grossen und entgegengesetzt bezeichneten An- theile gegen einander weg. — Bei einem mehrfach, z. B. zweifach zusammen- hängenden Räume legen wir ausser der als Randcurve dienenden Linie l noch einen Querschnitt q durch den ^bb. 9. Raum (Abb. 9), wodurch dieser in einen einfach zusammenhängenden verwandelt wird. Das Ober- flächenintegral muss dann über den Querschnitt q in jedem Digitized by Google L 76 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. • Falle miterstreckt werden, dabei heben sich aber die beiden auf q bezüglichen Glieder beim Summiren gegeneinander für sich fort, so dass der vorige Schluss unverändert be- stehen bleibt. Dies Alles gilt indessen nicht von dem Oberflächen- integrale eines beliebigen Vectors. Wenn nämlich auch Ä in Gleichung (90) einen Vector von beliebiger Vertheilung bedeutete, so ist der daraus abgeleitete Vector -ö doch nicht mehr ganz beliebig, d. h. man kann es nicht durch eine passende Wahl von Ä, obschon diese ganz frei steht, dahin bringen, dass ö eine vorher beliebig vorgeschriebene Vertheilung besitze. • Wir wollen daher, um die Eigenschaften des Oberflächen- integrals weiter zu untersuchen, jetzt annehmen, dass es von einem ganz beliebig vertheilten Vector Ä genommen, und dass es von vornherein über eine geschlossene Fläche er- streckt werden soll. Den Raum, der von dieser Fläche ein- geschlossen wird, können wir durch 3 Schaaren von Flächen in unendlich kleine Abschnitte theilen. Wie in § 30 erkennen wir dann sofort, dass das Oberflächenintegral über die den ganzen Raum umschliessende Fläche gleich der Summe der Oberflächenintegrale über die Mantelflächen aller Raumelemente ist, in die wir diesen Raum zerstückelt haben. Wir schliessen daraus weiter, dass das Oberflächenintegral durch ein über den ganzen umschlossenen Raum erstrecktes Raumintegral ersetzt werden kann, d. h. mit anderen Worten, dass es sich als eine Summe einzelner Elemente darstellen lässt, von denen jedem Raumelemente eines zugehört. Die einfachste Theilung des eingeschlossenen Raumes ist die durch drei Schaaren auf einander senkrecht stehender Ebenen. Wir wollen diese Theilung wählen und da der Fall von selbst auf die Einführung eines Achsensystems hinführt, annehmen, dass die Ebenen parallel zu den Coordinatenebenen gehen, üeber eines der gebildeten parellelepipedischen Raum- elemente sei jetzt das Oberflächenintegral des beliebig (aber continuirlich) vertheilten Vectors % erstreckt. Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Raumintegrale. Das Potential. 77 Die zur X-Achse senkrechte und dem Ursprung zunächst liegende Seitenfläche von der Grösse dy dz liefert zum Ober- flächenintegral, wenn wir unter Sl überall die nach innen gerichtete Normale verstehen und dafür 9t\ schreiben, den Beitrag A^ dy dz, da das scalare Product ÄXi hier die X-Componente A^ von Ä ergibt. Für die gegenüber liegende Fläche wird dieser Beitrag gleich — {A^ + dAJdx • dx) dy dz. Das negative Vorzeichen folgt daraus, dass die nach innen gerichtete Normale bei dieser Seitenfläche der positiven X-Achse und daher der Richtung, in der A^ positiv gezählt wird, entgegengesetzt ist. Die Summe beider Beiträge liefert — dAJdx • dx dy dz. In derselben Weise lassen sich auch für die beiden anderen Paare gegenüber liegender Seiten- flächen die Glieder ermitteln, die sie zum Oberflächenintegrale beitragen. Man erhält so für das Integral über die Ober- fläche des betrachteten ßaumelementes den Werth Da nun, wie wir sahen, das Integral über die Oberfläche des ganzen Raumes gleich der Summe der über die Ober- flächen aller Raumelemente erstreckten Integrale ist, folgt mit Berücksichtigung dessen, dass der in dem angeschriebenen Ausdrucke vorkommende Klammerwerth die div des Vectors Ä vorstellt (§ 21, Gleichung 44) f%%df j^divÄ-dt; (101) wo dv zur Abkürzung für das Raumelement steht. Die Inte- grale sind über die ganze Oberfläche bezw. über den ganzen umschlossenen Raum, und wo Stetigkeitsunterbrechungen vorkommen auch über die diese umgehenden Flächen zu er- strecken. Aus Gleichung (101) folgt nun auch ferner als noth- wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass das Ober- flächenintegral von Ä über ein Flächenstück auf ein Linien- integral über die Randcurve zurückgeführt werden kann: div« = 0. Digitized by Google 78 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analjsis der Vectoren. Maxwell nennt diese Gleichung die solenoidale Be- dingung, der man den Veetor Ä zu unterwerfen hat, damit sein Oberflächenintegral über eine geschlossene Fläche ver- schwinde. Die Bezeichnung erklärt sich daraus, dass bei der hydrodynamischen Construction des Yectors % in diesem Falle ebensoviele Stromfäden oder bei der später zu besprechenden geometrisch-mechanischen Construction ebensoviele Kraftlinien in den von der Fläche umschlossenen Raum ein- als aus- treten, dass also der ganze Kraftfluss gewissermaassen in festen Binnen erfolgt. Dass der in § 30 eingeführte Veetor ö, der als curl von W erhalten war, die solenoidale Bedingung stets erfüllt und dass daher sein Integral über eine geschlossene Fläche stets gleich Null ist (wie wir schon im Eingange dieses § durch eine besondere Betrachtung feststellen konnten), ergibt sich nun auch leicht aus Gleichung (71) S. 58. § 34. Das Oberflächenintegral eines Sealars. Auch der Begriff des Oberflächenintegrals lässt sich, wie der des Linienintegrals, über den ursprünglichen hinaus ausdehnen, wodurch man wiederum zu bemerkenswerthen Er- gebnissen geführt wird. Auch hier soll immer nur von dem über eine geschlossene Fläche ausgedehnten Integrale die Rede sein. Das hier mit ® bezeichnete Oberflächenintegral eines Sealars wird durch die Gleichung definirt © =fA%df, in der A eine im ganzen Räume continuirlich veränderliche scalare Grösse bedeutet. Das Oberflächenintegral gibt, wie durch die Schreibweise angedeutet wird, einen Veetor an. Es handelt sich darum, diesen Veetor, ähnlich wie das Ober- flächenintegral in Gleichung (101) auf ein Raumintegral zurück- zuführen. Dazu wende ich denselben Kunstgriff an, der schon in den §§31 und 32 zur Lösung der entsprechenden Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Baum integrale. Das Potential. 79 Aufgabe für das Linienintegral führte. Ich multiplicire also beide Seiten mit einem beliebigen consianten Vector r und erhalte Auf der rechten Seite steht jetzt das Oberflächenintegral des Vectors tÄ, das sich nach Gleichung (101) auf ein Raum- integral zurückführen lässt. Man erhält @C = — rdiv(c^) dv. Die div von tÄ entwickele ich nach Gleichung (78), wobei zu beachten ist, dass div C hier gleich Null ist, da c constant ist. Demnach wird &t= — tf7Ädv und, da diese Gleichung für jedes r gelten muss, schliesslich © = —^\JAdv (102) die der Gleichung (100) in jeder Hinsicht analog ist und bei der Schreibweise VÄ für divÄ fast buchstäblich mit ihr übereinstimmt. Das Oberflächenintegral eines Sealars A wird dann und nur dann für jede "beliebige geschlossene Fläche zu Null, wenn V-4 überall verschwindet, d. h. wenn A eine Constante ist. § 35. Das VectorobeTflächenintegral eines Vectors. Ich betrachte ferner noch das durch die Gleichung definirte und über eine geschlossene Fläche erstreckte Vector- oberflächenintegral eines Vectors. um es auf ein Raum- integral zurückzuführen, verfahre ich wie vorher und erhalte der Reihe nach Digitized by Google 1 80 Erster Absclinitt Die Algebra und Analysis der Vectoren. ferner nach Anwendung von Gleichung (101) Zt=-fdiyYtndv, also nach Gleichung (81), da c constant ist, Zt = 1 1 curlÄdv = t f cuvlfldv und, da dies für jedes beliebige constante t zutre£Fen muss, Z ==/curl 9idv oder jy%%df=fcxjiv\9.dv (103) Wir erkennen daraus noch, dass das Vector- oberflächenintegral für jede geschlossene Fläche verschwindet, wenn curlÄ = 0, also der Vector, von dem es genommen werden soll, im ganzen Räume wirbellos vertheilt ist, also gerade dann, wenn nach § 30, das Linienintegral dieses Vectors für jede ge- schlossene Linie ebenfalls verschwindet. Gleichung (103) bildet insofern noch ein interessantes Gegenstück zu Gleichung (101), als diese das Raumintegral der div eines Vectors und Gleichung (103) das vom curl eines Vectors auf ein Oberflächenintegral über die den Raum ein- schliessende Fläche zurückzuführen lehrt. Schliesslich sei noch darauf hingewiesen, dass bereits in Gleichung (96) ein Vectoroberflächenintegral, nämlich das des Vectors V-4 eingeführt wurde, das allerdings nicht über eine geschlossene Fläche, sondern nur über ein Flächenstück zu erstrecken war und dem Linienintegrale des Sealars A gleichgesetzt werden konnte. Aus der Möglichkeit dieser Gleichsetzung folgt schon, dass jenes Oberflächenintegral für eine geschlossene Fläche verschwinden muss und wir finden dies in der That dadurch bestätigt, dass der Vector V-4 stets die oben genannte Bedingung erfüllt (vgl. Gleichung 69). Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Raumintegrale. Das Potential. 81 Eine Betrachtung derselben Art lehrt uns auch, weshalb es nicht n3Öglich war, in § 32 das Vectorlinienintegral auf ein reines Oberflächenintegral eines Sealars (wie @ in § 34) zurückzuführen. Wenn dies möglich sein sollte, müsste nämlich das gesuchte Oberflächenintegral für eine geschlossene Fläche jedenfalls verschwinden, da es nur dann für alle durch die gegebene Curve gelegte Flächen zu demselben Werthe, nämlich zu dem des Vectorlinienintegrals führen könnte. Nach § 34 trifft dies aber nur dann zu, wenn der zugehörige Vector eine Constante ist. Im Allgemeinen ist aus diesem Grunde eine Transformation dieser Art für das Vectorlinienintegral nicht durchführbar. § 36. Das Potential. Der durch Gleichung (101) ausgesprochene Satz nimmt eine für die Anwendungen häufig geschicktere Form an, wenn man ihn mit den Bemerkungen verbindet, durch die in § 29 der Begriff des Potentials eines Vectors Ä eingeführt wurde. Allerdings verliert er bei dieser Umwandlung die Allgemeingültigkeit, die Gleichung (101) zukam: er bleibt nämlich dann nur noch auf solche Vectoren % anwendbar, die überhaupt von einem Potentiale abgeleitet werden können, d. h. deren curl = ist (§ 30). Ä sei jetzt ein solcher Vector und das ihm zugehörige Potential, sei F. Dabei wollen wir wegen der Anwendungen, die wir hier davon zu machen beabsichtigen, das Vorzeichen von V so wählen, wie es durch die Definitionsgleichung (88*) S. 66 festgestellt ist. Dann ist nach § 29 y'irf8 = -(F-Fo), also auch, wenn wir unter d^ eine beliebige unendlich kleine Strecke und unter dV die zugehörige Potentialänderung ver- stehen, dV «d«. Föppl, Maxwell'ache Theorie der Elektricität. 6 Digitized by Google 82 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. Mit Rücksicht auf die in § 18 erörterten Eigenschaften der Operation V lässt sich dies dadurch ausdrücken , dass man setzt (Gleichung (36), S. 38) « = — VF (104) Setzt man dies in Gleichung (101) ein und beachtet, dass nach Gleichung (68) S. 57 div V zur Operation V^ führt, so erhält man fs/V%df fs/^Vdv .... (105) Auch hier sind die Integrationen auf die Oberfläche und das Volumen eines beliebig abgegrenzten Raumes zu er- strecken, in dem keine Stetigkeitsunterbrechungen vorkommen. Gleichung (105) weist darauf hin, dass bei der voraus- gesetzten Vertheilung des Vectors % ausser der Hülfsgrösse V noch eine dritte Grösse eine wichtige Rolle zu spielen vermag, nämlich V^ F. Wir werden in der That sehen, dass diese Grösse für die Potentialtheorie von geradezu fundamentaler Bedeutung ist und führen daher eine besondere Bezeichnung für sie ein. Durch Definition setzen wir fest, dass ^= -V'F=-divVF = div«. . . (106) ist. Gleichung (105) nimmt dann die Form an f\/V%df = —f%%df=fQdv. . . (107) Wenn Ä ursprünglich beliebig gegeben war, mit der Einschränkung, dass die Vertheilung eine wirbellose und stetige sein soll, ist zunächst das Potential F für jeden Punkt des betrachteten Raumes bis, auf eine Constante durch die Untersuchung in § 29 und ferner q durch die Definitions- gleichung (106) eindeutig bestimmt. Ist andererseits F für jeden Punkt des betrachteten Raumes gegeben, so folgen daraus nach den Gleichungen (104) und (106) ebenfalls die beiden anderen Werthe. — Die Grösse q ist wie F eine scalare Hülfsgrösse, deren man sich zur Untersuchung der Eigenschaften der Vectorvertheilung Ä bedienen kann. Man kann nun aber auch die Aufgabe umkehren und verlangen, dass Ä und F berechnet werden, wenn für jeden Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- nnd Baamintegrale. Das Potential. 83 Punkt des Raumes q gegeben ist. Dies kommt auf die Auf- lösung einer der Dififerentialgleichungen V^F= — q oder div Ä = 9 hinaus. — Dazu soll uns Gleichung (107) verhelfen. Der Umstand, dass die zu integrirenden Dififerential- gleichungen linear siÄd, hat zur Folge, dass, wenn (> = ^i + (>2 gesetzt wird, auch V und Ä in je zwei Glieder V^ -|- Fj bezw. Äi -|- Ä2 zerfallen, so dass V^ die Lösung der Differential- gleichung V^Fi = — Qi bildet u. s. w. Wir werden daher jede gegebene Raumvertheilung der Grösse q in beliebiger Weise in mehrere Vertheilungen zerlegen und das zur ge- sammten Grösse q gehörige Potential durch Summirung der Einzelpotentiale ableiten können. Man grenze nun in dem Räume eine Kugel von dem un- endlich kleinen Halbmesser r ab. Innerhalb der Kugel be- zeichnen wir den Mittelwerth von q mit (jj^? ausserhalb der Kugel sei ^^ überall Null, d. h. q^ ist jener Theil von q, der nur zu dem Innenraume der Kugel beisteuert. Mit den vorher angegebenen Bezeichnungen erhalten wir aus Gleichung (107), wenn wir sie auf die Fläche und den Innenraum der Kugel anwenden ffli9tidf=—fQ^dv Die Kugel war unendlich* klein angenommen. Wir können daher, falls keine Stetigkeitsunterbrechungen in ihr vorkommen, die Werthe von q für alle zum Kugelraum gehörigen Ele- mente gleich dem Mittelwerthe q^ setzen und aus Symmetrie- gründen folgt dann sofort, dass Ä^ für alle Oberflächenelemente der Kugel gleich gross sein und in die Richtung des Radius fallen muss. Wenn wir das Raumintegral zur Abkürzung mit M bezeichnen, erhalten wir also 9li ist also nach dem Aussenraume hin gerichtet und kann auch Digitized by Google 1 84 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. gesetzt werden^ da 9li in beiden Fällen den Tensor 1 hat und die Multiplication damit sich nur auf die Richtung bezieht. Legen wir jetzt concentrisch zur ersten Kugel eine zweite, deren Halbmesser endlich ist und der immer noch mit r be- zeichnet werden mag, so jedoch, dass eruch jetzt M sich nur auf das frühere Kugelvolumen bezieht, so gelten für das Integral über die neue Kugelfläche die soeben durchgeführten Schlüsse ohne jede A ender ung und wir erkennen daraus, dass durch Gleichung (108) Äj überall ausserhalb des von M ein- genommenen Raumes richtig dargestellt wird. Um uns von der Beziehung auf die Oberflächennormale 9k\ frei zu machen, bezeichnen wir einen von dem Mittelpunkte der unendlich kleinen Kugel nach irgend einem Punkte des äusseren Raumes gezogenen Radiusvector mit t; dann ist X = — %r und Gleichung (108) geht über in Um für irgend eine Stelle des Raumes den Werth von 8t zu finden, der zu der ganzen Vertheilung von q gehört, ist es nur nöthig, nach Gleichung (109) die Werthe von % zu bilden, die sich auf alle fern gelegenen Raumtheile und die zu ihnen gehörigen Werthe M. beziehen und sie sämmtlich zu Summiren. Dazu kommt dann noch der Beitrag des un- mittelbar benachbarten Raumes, also etwa einer unendlich kleinen Kugel, die um den ins Auge gefassten Punkt als Mittelpunkt beschrieben ist. Dieser verschwindet aber, wenn wir die Kugel bis zum Mittelpunkt zusammenschrumpfen lassen, da M mit der dritten Potenz des Radius abnimmt. Als Lösung der Gleichung div Ä = 9 finden wir daher % =/^^3 (110) Die Integration ist jetzt auf den ganzen Raum auszudehnen, über den sich die Vertheilung q erstreckt. Es würde uns frei stehen, eine Integrationsconstante, sowie ferner noch Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flllchen- und Ranmintegrale. Das Potential. 85 einen sonst beliebig vertheilten Vector Äq der Losung hinzu- zufügen, der den curl irgend eines anderen Vectors fß bildet, da nach Gleichung (71) dessen diy Null ist, so dass die Gleichung div 9i = q auch nach der Beifügung eines solchen Gliedes zu 8t immer noch erfüllt bleibt. Wir sehen aber» davon ab, weil wir es uns von vornherein zur Aufgabe ge- stellt haben, die Untersuchung auf wirbellose Vertheilungen des Vectots Ä zu beschränken. Dass der durch Gleichung (110) gegebene Ausdruck in der That eine wirbellose Ver- theilung von 91 darstellt, ergibt sich sofort aus der Umformung, der wir ihn jetzt unterwerfen wollen, in Verbindung mit Gleichung (69). Um nämlich auch noch V zu ermitteln, haben wir das Integral der Gleichung VF— /.|$ . aufzusuchen. Nun ist aber nach Gleichung (36) S. 38 Wenn dt senkrecht zu t gewählt wird, verschwindet dr und es wird positiv, wenn dt in die Richtung von t fällt, weil dann eine Yergrösserung des scalaren Abstandes eintritt. Daraus folgt, dass der Vector Vr in die Richtung von t föllt. Da aber in dem zuletzt erwähnten Falle dr = tdt/r ist, er- gibt sich Vr-l. was sich übrigens auch unabhängig von dieser Betrachtung leicht durch Zerlegung von t in seine 3 Componenten u. s. f. ableiten lässt. Hieraus folgt weiter Die Differentialgleichung für V geht damit über in vr_/^.vi-v/||:. Digitized by Google 1 86 Erster Abschnitt. Die Algebra nnd Analysis der Yectoren.. Sehen wir auch hier von der Beifügung einer Integrations- constanten ab, so haben wir als Lösung der Gleichung V^ F = — ^ schliesslich (111) §37. Die . Entwickelungen des vorigen § haben uns in den Stand gesetzt, wenn irgend eine der drei Grössen, 8t, V^q für jeden Punkt des Raumes gegeben ist, daraus die beiden anderen zu berechnen. Dabei waren V und q blosse Hülfs- grössen, die mit der uns in erster Linie interessirenden Grösse Ä zunächst nur durch die bei dieser Betrachtuug gefundenen analytischen Beziehungen zusammenhängen. Der Grösse V haben wir zwar die Bezeichnung Potential gegeben, ohne jedoch dadurch irgend etwas über die Bedeutung dieser Grösse auszusagen. Für q haben wir bisher überhaupt keinen Namen eingeführt. üs ist durchaus nöthig, dass man dieses rein geomet- rischen Zusammenhangs der drei Grössen eingedenk bleibt, wenn man zu den Anwendungen übergeht, da man sonst nur zu leicht zu falschen Vorstellungen über die Bedeutung des BegriflFes der Masse (sei es der ponderabeln Masse oder der Elektricitäts- oder Magnetismusmenge) geführt wird. In der Nähe elektrisirter Körper z. B. treten an einem elektrisch geladenen materiellen Punkte Kräfte auf. Bringen wir den Punkt an verschiedene Stellen des Raumes, so wechselt die an ihm wirkende Kraft nach Grösse und Richtung. Jedem Punkte des Raumes oder des „elektrostatischen Feldes'* ent- spricht eine bestimmte Kraft und wir werden den Zustand des Feldes dann genau kennen, wenn die Vertheilung dieser Vectorgrösse im ganzen Räume bekannt ist. Durch die rein analytischen Entwicklungen .des vorigen § sind wir dann auch in den Stand gesetzt, die dort mit V und q bezeichneten Grössen zu berechnen. Es steht uns ferner frei, die Grössen ^ als die primär gegebenen anzusehen und sie als die Ursachen Digitized by Google Drittes Capitel. Linien-, Flächen- und Raumintegrale. Das Potential. 87 der Grössen Ä und V zu betrachten. Thun wir dies, so sehen wir die Kräfte Ä als Fernkräfte an, die von den „Massen*^ gdv oder Q^^/An ausgehen. Wir sind zu* dieser Auffassuug berechtigt, da sie der anderen, die von der Be- trachtung 4er Vectoren Ä als der bedeutsameren ausgeht mathematisch gleichwerthig ist und zu denselben Ergebnissen zu fähren vermag. Anders ist es aber, wenn man die physikalische Bedeutung dieser Grössen ins Auge fasst. Es wäre ungerechtfertigt, aus dem Bestehen jener Identitäten den Schluss zu zieheu, dass sich die Grössen q und Ä in der That so gegenüberstehen, dass Q physikalisch als die Ursache der 91 anzusehen ist^, eben- sogut kann auch das Umgekehrte zutreffen. Wenn in der MaxwelFschen Elektricitätslehre von elek- trischen oder magnetischen Massen die Rede ist, geschieht es nicht wie in der Fernwirkungslehre in der Absicht, sie als die Ursachen der Erscheinungen hinzustellen oder über- haupt dadurch eine Vorstellung zu erwecken, die sich an den Begriff der ponderablen Massen anzulehnen hätte. Vielmehr sind darunter nur jene mathematischen Hülfsgrössen zu ver- stehen, die aus den rein geometrischen Betrachtungen der vorigen §§ hervorgingen. Die Frage, welche physikalische Bedeutung ihnen beizulegen sei, bleibt dabei zunächst voll- ständig offeo. Jedenfalls ist es aber die ausgesprochene Tendenz der Maxwell'schen Theorie zur Darstellung der Er- scheinungen in erster Linie die Vectoren Ä selbst zu benutzen. Nach diesen Vorbemerkungen setze ich durch Definition fest, dass (zunächst vom Vorzeichen abgesehen) gdv/Ajt die im Baumelemente dv enthaltene elektrische, magnetische oder ponderable Masse genannt wird, wenn die Vectoren Ä elek- trische, magnetische oder Gravitations-Kräfte sind, von denen wir annehmen, dass sie von diesen Massen ausgehen. Gleichung (108) spricht dann das Coulomb'sche (bezw. Newton'sche) Fernwirkungsgesetz aus. Schreibt man für 9/4« kürzer q\ so ist demnach q' die Dichte einer räumlichen Massenvertheilung und wir haben, wenn ebenso auch Jif für die in einem Raum- Digitized by Google 88 Erster Abschnitt. Die Algebra und Analysis der Vectoren. elemente enthaltene Masse -3^4« geschrieben wird, für die von ihr ausgehende Kraft 8t nach (108) bezw. (109) « = -«i^ = f^ (112) Diese Kraft ist, da t von der Masse üf nach dem Punkte hingeht, auf den sich 91 bezieht^ eine abstossende; handelt es sich um die Darstellung anziehender Kräfte, so ist das Vor- zeichen von M' umzukehren. Dasselbe gilt auch von dem Vorzeichen von q' in der Formel r =ß^ (113) Für viele Untersuchungen würde es sich mehr empfehlen, an Stelle von q' die ursprünglich^^ Grösse q selbst als Dichte der Masse zu bezeichnen. Es würde dies auf eine abgeänderte Festsetzung der Maasseinheiten hinauslaufen, in Folge derer sich die wichtigsten Gleichungen der Elektricitätslehre durch Unter- drückung der Grösse An vereinfachten. 0. Heaviside hat dies in seinen neueren Arbeiten überall consequent durchgeführt. So gerne ich ihm auch in diesem Punkte folgen möchte, glaube ich doch hier davon absehen zu sollen, um nicht durch den Gebrauch eines Maasssystems, das von dem einmal eingeführten abweicht, den Leser zu verwirren. Die physikalische Bedeutung der Grösse V ergibt sich, für den Fall, dass Ä eine Kraft bedeutet, leicht aus den Gleichungen (87) und (88), bezw. (88*). Das Linieuintegral Jo,i oder der Potentialunterschied — (F — Vq) im Falle ab- stossender Kräfte gibt die Arbeit an, die von der Kraft Ä beim Durchlaufen des Weges Pq^i geleistet wird. Das Potential V kann also auch als die Arbeit definirt werden, die vermittelst einer Kraft fremden Ursprungs oder einer „eingeprägten" Kraft geleistet werden muss, um etwa einen elektrisch geladenen Punkt von ausserhalb her, wo das Potential Null war, nach der Stelle des Feldes zu bringen, wo es gleich V ist und um hierbei die sich dieser Bewegung widersetzende Kraft 8t zu überwinden. Digitized by Google Zweiter Abschnitt. Die Grundlinien der MaxwelFschen Elektricitätstheorie. Erstes Capitel. Die in der ElektiicitätslÄire vorkommenden Vectoren. § 38. Kraft und Verschiebung im elektrischen Felde. Eine Metallkugel sei mit einer Elektricitätsmenge geladen und rings entweder von Luft oder von einem andern Dielek- tricum umgeben oder auch in einem Vaeuum aufgestellt. Das Dielektricum (oder der Aether im sogenannten Vaeuum) wird dann in einem Zwangszustand versetzt, wodurch in jedem Volumenelemente eine Aufspeicherung von Energie eintritt, die bei der Entladung der Metallkugel wieder freigegeben wird. Zugleich hat der Zwangszustand zur Folge, dass an einem kleinen geladenen Körperchen, das in das Feld gebracht wird, ponderomotorische Kräfte auftreten. Das Wort Zwangszustand ist zunächst nur bestimmt, den Zustand kurz zu bezeichnen, der durch die Ladung der Metall- kugel im Dielektricum hervorgerufen wird. Faraday und Maxwell haben die specielle Art des von ihnen angenommenen Zwanges zwar von vornherein angegeben. Es ist aber sehr zweifelhaft, ob diese Annahmen der Wirklichkeit entsprechen und man thut daher besser, die Frage offen zu lassen, worin der Zwang in dem bezeichneten Falle besteht. Nur darauf ist Gewicht zu legen, dass er mit der Energieaufspeicherung im Dielektricum zusammenhängt. Freilich scheidet sich schon durch .diese Festsetzung die MaxwelFsche Theorie vollständig von der Digitized by Google 90 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. Fernwirkungstheorie, die eine Anhäufung von Energie im Aether überhaupt nicht kennt. üeberall, wo in der Natur eine Aufspeicherung von Energie eintritt, wird sie durch zwei Factoren bestimmt, einen Quantitäts- und einen Intensitätsfactor. So ist die lebendige Kraft das Product aus der Masse und dem halben Quadrate der Geschwindigkeit, die Wärme gleich dem Producte aus Wärmecapacität und Differenz der Temperaturen, die in einer gespannten Feder aufgespeicherte Energie für jede weitere Anspannung gleich dem Producte aus dem Wege und der Kraft (für die ganze Energie ist, wenn man unter Kraft die zuletzt erreichte Anspannung versteht, noch der Factor -i- bei- zufügen) u. s. f. Wir werden daher auch für eine hinreichende Gharacterisirung des Zwq.ngszustandes im elektrostatischen Felde, wenn wir auch ganz darauf verzichten, sein eigentliches Wesen zu ergründen, doch mindestens zwei Grössen angeben müssen, aus denen der Energievorrath abgeleitet werden kann. Eine dieser Grössen ist die elektrostatische Kraft @, die sich unmittelbar durch die Erfahrung darbietet und auf deren Beobachtung sich der ganze Inhalt der Elektricitätslehre in der ersten Zeit ihrer Begründung ausschliesslich stützte, bis sich daraus durch Abstraction der Begriff der elektrischen Masse entwickelt hatte. Die zweite Grösse ist die dielektrische Verschiebung ®. Sie hängt von dem Werthe, den 6 an der betreffenden Stelle des Feldes erlangt hat, in derselben Weise ab, wie die Zusammendrückung einer Feder von der Grösse der sie treibenden Kraft. Die Einführung des Begriffes der dielektrischen Verschiebung erfolgte rein hypothetisch und in engster Anlehnung an das durch den Vergleich mit einer in Spannung versetzten Feder gegebene Vorbild. Sie bildet eine der Hauptgrundlagen der Maxweirschen Theorie. Bis zu einem gewissen Grade kann nachträglich die Noth wendigkeit der Einführung einer solchen Grösse durch die soeben durchgeführte Betrachtung über die Abhängigkeit der Energieansammlung von zwei Factoren be- Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre vorkommenden Vectoren. 91 gründet werden. Eine wirkliche Rechtfertigung dafür bildet aber nur der Umstand, dass sich mit ihrer Hülfe die be- obachteten Erscheinungen am besten wiedergeben lassen. Auch die dielektrische Verschiebung ® muss eine Vector- grösse sein, wenn sie durch Hinzutreten zu 6 zu einer Energie, also zu einer scalaren Grösse führen soll. — Wenn 6 gegeben ist, ist damit auch ® für dieselbe Stelle des Feldes bestimmt oder es hängt wenigstens dann nur noch von den Eigen- schaften des Stoffes ab, in dem der Zwangszusiand auftritt. Bei isotropen dielectrischen Korpern ist, wie schon aus Symmetriegründen hervorgeht, ® mit (S gleich gerichtet. Bei äolotropen Körpern bildet ® eine lineare Vectorfunction von 6; dieser Fall ist von WichtigTceit für die elektromagnetische Lichttheorie, speciell für die Behandlung der Krystalloptik. Auf diese werde ich mich aber in diesem Werke nicht ein- lassen und ich will mich daher von vornherein darauf be- schränken, isotrope Körper ins Auge zu fassen. Die Abhängigkeit der Verschiebung ® von 6 lässt sich in isotropen Körpern durch die Gleichung ausdrücken 2) = c.e (114) wo c eine vom Material abhängige und, wie die Erfahrung lehrt, für dasselbe Material constante (d. h. von der absoluten Grösse von 6 unabhängige) Grösse bedeutet An Stelle von Gleichung (114) kann man auch schreiben S> = S-« (115) wobei der Coefficient c durch ^74« ersetzt ist. An und für sich ist es ganz gleichgültig, welchen der beiden Coefficienten und damit welche der beiden Gleichungen man zur Darstellung der Erscheinungen benutzen will. Man kann darüber nach Gutdünken verfügen, da c und K Grössen sind, die erst durch die Gleichungen (114) und (115) selbst ihre Definition erhalten. Wir werden uns hier der Gleichung (115) bedienen. Der in ihr vorkommende Coefficient hat den Namen Dielektricitäts- constante (oder auch specifische inductive Capacität) erhalten Digitized by Google 92 Zweiter Abschnitt. Grundlioien der MaxweU'Bchen Theorie. und wird häufiger gebraucht als c. Diese Wahl hängt übrigens mit der zusammen , die wir in § 37 bezüglich der Massen- und Potentialeinheit getroffen haben. Sie trägt zwar dazu bei, die Formeln durch Mitschleppen des Factors 43r zu be- lasten, hat aber andererseits den Vorzug, in Uebereinstimmung mit dem aus der Femwirkungstheorie übernommenen Systeme elektrischer Einheiten zu stehen. Die in einem Raumelemente aufgespeicherte Energie er- fährt eine Vermehrung, wenn 6 anwächst, die nach den vor- hergehenden Festsetzungen gleich dem scalaren Producte di& ' ^dv ist. Daraus folgt, wenn man den linearen Zusammen- hang zwischen 6 und ® (Gleichung 115) beachtet, durch Inte- gration sofort, dass die ganze Energie dT im Volumenelemente dv durch jeden der folgenden Ausdrücke wiedergegeben wird dr = je2)di; = ^«^eZt; = ^2)^dt;, . (116) § 39. Der Eraftfluss. Satz von GansQ. Man denke sich irgendwo im elektrischen Felde ein Flächenstück df abgegrenzt, dessen Normale 9t eine beliebige Richtung haben mag. Unter dem Kraftfiuss durch die Flache df versteht man den Werth des Ausdruckes (B9tdf. Dieser ist positiv oder negativ, je nachdem die Normale 9t (deren Tensor = 1 ist) die Fläche im gleichen oder entgegen- gesetzten Sinne wie i& durchsetzt. Der Kraftfiuss durch eine endliche Fläche von beliebiger Gestalt wird daher durch den Werth des Oberflächenintegrals von 6 über diese Fläche an- gegeben. Man gewinnt eine geometrische Darstellung von der Ver- theilung des Kraftflusses, wenn man Linien zieht, die in ihrem ganzen Verlaufe mit der Richtung von i& zusammenfallen. Die Zahl der Linien, die ein zu @ normales Flächenstück df durchkreuzen, wählt man überall proportional zu dem Tensor von 6, Die Kraftliniendichte, d. h. die Zahl der Kraftlinien die auf die Flächeneinheit kommt, wenn diese senkrecht zu (S gelegt wird, ist daher = mE zu setzen, wo m den Maassstab Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der Elektricit'ätslehre vorkommenden Vectoren. 93 dieser Dichte und E den Tensor von @ bedeutet. Steht die Fläche nicht normal zu 6, so ist die Zahl der sie durch- schneidenden Kraftlinien entsprechend geringer und zwar gleich dem Producte aus der Kraftliniendichte, der Grösse der Fläche und dem Cosinus des Winkels zwischen der Normalen 91 und einem in der Richtung von 6 gezogenen Einheitsvector 6^. Dies gibt mE-df-SHB^ oder mdf9l(&, d. h. die Zahl der Kraftlinien ist bei beliebiger Richtung der Fläche df gleich dem Kraftflusse multiplicirt mit dem der Darstellung zu Grunde gelegten Maassstabfactor m. Wir können daher den ^raftfluss überall im. Felde durch die Zahl der Kraftlinien messen. Aus dem in § 33 bewiesenen Satze folgt, dass die Zahl der Kraftlinien für eine geschlossene Fläche gleich Null ist, wenn im umschlossenen Räume überall div i& Null ist, oder mit anderen Worten die Zahl der austretenden Kraftlinien ist in diesem Falle gerade gleich der Zahl der eintretenden. Solche Stellen des Raumes, in denen divS positiv ist, bezeichnen wir als Quellen des Kraftflusses, denn aus Gleichung (101) S. 77 folgt, dass durch eine Fläche, die eine solche Stelle umschliesst, mehr Kraftlinien aus- als eintreten. Nach der in § 37 eingeführten Bezeichnung q' für den Werth 1/4« div Ä, oder wie wir hier setzen wollen, um für die Folge den Index ?u vermeiden, ^ 4« erhalten wir aus Gleichung (101) fi&%df= — AicfQdv. Ersetzen wir hierin ferner noch die nach innen gezogene Normale % durch die nach aussen gezogene jll«, so wird dies f(6%df=4.^fQdv (117) und diese Gleichung sagt aus, dass der aus der Fläche aus- tretende Kraftfluss oder der üeberschuss der Zahl der austreten- den über die der eintretenden Kraftlinien gleich dem 47i;-fachen der von der Fläche umschlossenen Elektricitätsmenge ist. Digitized by Google 94 Zweiter Abschnitt. Grandlinien der MaxwelPschen Theorie. Falls Q im Innern nirgends negativ ist, müssen die aus dem umschlossenen Räume stammenden Kraftlinien von den Ladungen Qdv ausgehen, während die von ausserhalb kommenden den Baum in stetigem Laufe durchsetzen, ümschliesst die Fläche dagegen negative Ladungen ^ so bilden diese die Endpunkte elektrostatischer Kraftlinien. Die Zahl der eintretenden Kraft- linien überwiegt hier die der austretenden, weil einige von ihnen an den negativen Ladungen endigen. Die elektrischen Kraftlinien verbinden demnach Elektri- citätsmengen von gleicher Grösse und entgegengesetztem Vor- zeichen mit einander, so dass sie von positiven Mengen aus- gehen und in negativen Ladungen endigen, oder sie sind in sich geschlossene Linien. Wo geschlossene Kraftlinien auftreten, lassen sich die Kräfte nicht mehr von einem Potentiale ab- leiten, da das Linienintegral über eine geschlossene Kraftlinie von Null verschieden ist (§ 29 u. 30). Man kann daher auch ein solches Feld nicht mehr auf das Auftreten elektrischer Massen zurückführen. Wir werden später sehen, dass geschlossene elektrische Kraftlinien durch magnetische Ströme hervorgebracht werden. Li den älteren Theorien hat man zwischen den beiden Arten elektrischer Kräfte streng geschieden und jene Kräfte 6, deren Kraftlinien elektrische Massen entgegengesetzten Vorzeichens mit. einander verbinden als elektrostatische Kräfte, die durch magnetische Ströme hervorgebrachten, zu geschlossenen Kraftlinien gehörigen Kräfte 6 dagegen als inducirte Kräfte bezeichnet. In der Maxweirschen Theorie liegt aber gar kein Grund zu einer solchen principiellen Scheidung vor: welches auch der Ursprung der Kraft & sei, ob sie zu ge- schlossenen oder offenen Kraftlinien gehören mag, die Wirkung, die sie im gegebenen Augenblicke und an der betreffenden^ Stelle des Feldes hervorbringt, ist davon ganz unabhängig und nur durch den Werth von 6 selbst bedingt. Wenn aber auch dieser Scheidung aus principiellen Gründen zu widersprechen ist, so empfiehlt es sich doch aus didak- tischen Gründen jene Fälle zuerst zu behandeln, bei denen Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre vorkommenden Vectoren. 95 man es nicht mit in sich geschlossenen Kraftlinien zu thun hat, d. h. wie es von jeher in der Elektricitätslehre üblich war, mit der Behandlung der Elektrostatik zu beginnen. Der durch Gl. 117 ausgesprochene Satz wurde zuerst von Gauss aufgestellt und wird daher als der Gauss'sche Satz vom Oberflächenintegral bezeichnet. § 40. Der Verschiebungsfluss. Dieselbe geometrische Darstellungsraethode, die wir soeben auf den Vector (S angewendet haben, lässt sich auf jeden anderen continuirlich im Räume verth eilten Vector, also auch auf die dielectrische Verschiebung ® anwenden. Bei isotropen Körpern, auf deren Betrachtung wir uns hier beschränken, gleicht der Verschiebungsfluss dem Kraft- flusse in hohem Grade. Wie aus Gleichung (115) hervorgeht, sind in diesem Falle die Verschiebungslinien überall gleich- gerichtet mit den Kraftlinien und wenn das Medium ausserdem auch homogen, d.h. K constant ist, wird der Verschiebungs- fluss durch genau dasselbe Liniensystem dargestellt wie der Kraftfluss, so dass nur der Maassstabsfactor m (§ 39) für beide von verschiedenem Werthe.ist. Wir wollen indessen auch den Fall ins Auge fassen, dass E mit dem Orte veränderlich ist. Korper, innerhalb deren K verschieden ist, brauchen zwar kaum erörtert zu werden; wenn man anisotrope Körper nicht behandelt, könnte man erst recht auf die Besprechung der heterogenen Körper ver- zichten. Dagegen kommt es oft genug vor und zwar so oft, dass man auch bei einer summarischen Darstellung nicht davon absehen kann, dass zwei Körper an einander grenzen, für die K verschieden ist. Anstatt nun aber eine Stetigkeits- unterbrechung an der Grenzfläche anzunehmen, wollen wir in solchen Fällen voraussetzen, dass sich K an den Berührungs- stellen stetig, wenn auch sehr schnell von dem einen Werthe zum andern ändert. Zunächst ist diese Annahme an sich wahrscheinlicher als die vorige; scheinbar schroffe üeber- gänge werden in der Natur meist (wenn nicht stets) in L Digitized by Google 1 96 Zweiter Abschuitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. Wirklichkeit durch Uebergangsschichten vermittelt. Dann aber vermeiden wir damit die Weitläufigkeiten, die damit verbunden sind, den Discontinuitäten Rechnung zu tragen. Das schliessliche Resultat ist zudem unabhängig davon, welchen Modus des üebergangs wir wählen. Sobald K als veränderlich angenommen wird, zeigen sich zwischen dem Kraftflusse und dem Verschiebungsflusse erhebliche Unterschiede. Die l^inien von beiden sind zwar immer noch überall gleich gerichtet, aber das Verhältniss ihrer Dichten ändert sich von Ort zu Ort. Das wird durch zwei Gründe bedingt. Zunächst nämlich haben die Ver- schiebungslinien andere Anfangs- und Endpunkte als die Kraftlinien. Ist z. B. div 6 innerhalb eines gegebenen Be- zirkes überall Null, so gehen die Kraftlinien ununterbrochen durch den Bezirk hindurch; von den Verschiebungslinien gilt dies aber keineswegs, da div ® nicht mit div 6 zugleich ver- schwindet. Aus Gleichung (115) erhalten wir vielmehr bei Anwendung des in Gleichung (78) S. 61 ausgesprochenen Rechengesetzes div2) = ^(zdiv e + e . v^) (118) Dazu kommt aber noch ein anderer Umstand. Behandeln wir z. B. eine rein elektrostatische Aufgabe, also eine solche, bei der nach § 39 keine in sich geschlossenen Kraftlinien vorkommen, oder bei der curl 6 überall Null ist, oder, was auch auf dasselbe hinauskommt, bei der sich 6 von einem Potentiale ableiten lässt, so gilt dies Alles auch von der Ver- schiebung S an solchen Stellen des Raumes, in denen K constant ist Es gilt aber nicht mehr dort, wo K veränder- lich ist. Unter der Voraussetzung curl 6 = erhalten wir nämlich aus Gleichung (115) bei Anwendung des Rechen- gesetzes Gleichung (80) S. 61 curia> = ^VC^^)-«- Digitized by VjOOQIC ^ Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre vorkommenden Vectoren. 97 Dies zeigt uns^ dass auch bei elektrostatischen Problemen in den Uebergangsschichten von einem Medium ins andere und überhaupt überall, wo Ä" ver- änderlich ist, geschlossene Verschiebungslinien auf- treten müssen. § 41. Freie und wahre Elektricität. Die MaxwelFsche Theorie (in ihrer heutigen Gestalt) kennt zwei völlig von einander verschiedene Arten von Grossen, die beide als Elektricitätsmengen bezeichnet werden. Wenn auch Maxwell selbst schon gelegentlich auf den Unterschied zwischen beiden hinwies, hat doch erst Hertz consequent zwischen ihnen unterschieden und für die in § 39 vorkommende Grosse q die Bezeichnung räumliche Dichte der freien Elektricität eingeführt. Diese freie Elektricität ist es, die mit dem Kraftflusse (S in dem früher erörterten Zusammen- hange steht. Nun haben wir aber neben dem Eraftflusse noch den Verschiebungsfluss ® und wir können nach den im vorigen Abschnitte entwickelten Sätzen der Potentialtheorie ebensogut wie zu (B auch zum Verschiebungsflüsse S flngirte Massen angeben, die als Ausgangs- und Endpunkte der Yerschiebungs- linien dienen. Voraussetzung ist dabei zwar, dass keine ge- schlossenen Verschiebungslinien vorkommen. Solche müssen wir nun nach dem vorigen § wenigstens in den uebergangs- schichten zwischen verschiedenen Medien erwarten. Wir wollen uns aber überall, wo dies zutrifft, die geschlossenen Yerschiebungslinien von den übrigen ausgesondert denken, so dass ® in die Vectorsumme ®' + Ä" zerlegt wird*), wobei S' bei constantem K allein übrig bleibt und den Theil des Verschiebungsflusses angibt, dessen curl Null ist. Der andere Theil S" bezieht sich dann ausschliesslich auf die geschlossenen Verschiebungslinien; er ist y^n • curl-"^V(V-K^) • €, wenn mit curl""^ die Operation bezeichnet wird, durch die man vom *) Vgl. den Anhang. PSppl, MaxweU'sclie Theorie der Elektricität. 7 I L Digitized by Google 98 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxwell'schen Theorie. curl zur Stammgrösse zurückgelangt. Bei der Ausführung dieser Operation wäre^ wenn man sie in einem bestimmten Falle wirklich durchführen wollte, bei der Wahl der Integrations- constanten zu beachten, dass div S" überall Null sein muss. Der erste und Haupttheil ®' des Verschiebungsflusses kann nun ebenso wie der Eraftfluss mit einer Massen- und einer aus ihr hervorgehenden Potentialverth eilung in Ver- bindung gebracht werden. Für diese Massen hat Hertz die Bezeichnung der wahren Elektricitätsmengen eingeführt. — Durch Definition setzen wir fest (vgl. Gleichung 118) Qu> = diY3> = KQf + ^i&''7K=-^^ (119) und nennen q^, die räumliche Dichte der wahren Elektricität. Dabei ist an Stelle der früher mit einfachem q bezeichneten Dichte der freien Elektricität zur besseren Unterscheidung hier q/ geschrieben. Zu beachten ist^ dass q^ und q/ sich nicht nur der Grösse und der räumlichen Vertheilung nach unterscheiden, sondern dass sie auch eine ganz verschiedene physikalische Bedeutung besitzen. Wir sind nämliph keineswegs berechtigt, die Dielektricitäts- constante Z, die wir durch die sie definirende Gleichung (115) einführten, als eine absolute Zahl anzusehen. Vielmehr spricht alle Wahrscheinlichkeit gegen diese allerdings oft ge- machte Annahme. Wenn aber die beiden Factoren ® und 6, aus denen sich die Energie zusammensetzt, von verschiedener Art sind, trifiPt dies ebenso auch für die aus ihnen abgeleiteten Massen Qy, und q/ zu. Dass überhaupt zwei ganz von einander verschiedene Werthe vorkommen, die nach dem herkömmlichen Gebrauche des Wortes beide mit demselben Rechte auf die Bezeichnung als Elektricitätsmengen Anspruch erheben können, weist schon darauf hin, mit welcher Vorsicht von diesem Begriffe der elektrischen Massen Gebrauch zu machen ist. Für die Max- welFsche Theorie sind die Elektricitätsmengen blosse Bechnungs- grössen, die zur Erleichterung der analytischen Behandlung •in die Formeln eingeführt werden. Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der ElektriciiS,tslebre vorkommenden Vectoren. ' 99 § 42. Vergleloh mit der Femwirkiingstheorie. Die Fernwirkungstheorie gründet sich auf das Coulomb'sclie Gesetz und baut die ganze Elektricitätslelire anf dem Funda- mente der Elektrostatik auf. Im Gegensatze dazu hat man heute vielfach die MaxwelFsche Theorie so dargestellt; dass die Elektrodynamik vorausgeht und das Coulomb'sche Gesetz als letzte Consequenz der ganzen Theorie abgeleitet wird. Der Nachweis ; dass dies möglich ist, ist gewiss von Werth. Wenn man darin aber den natürlichen Entwickelungsgang der Theorie erblickt, vermag ich dem durchaus nicht zu- zustimmen. Man sagt wohl, dass ein höherer Grad der Gewissheit erreicht würde, wenn die ganze Theorie ausschliesslich auf die Lagrange'schen Gleichungen begründet wird. Aber auch hier laufen Voraussetzungen mit unter, vor allem schon die, dass überhaupt ein Substrat vorhanden ist, für das die Lagrange'schen Gleichungen gelten, die ursprünglich doch nur für die ponderable Materie bewiesen sind. Ich glaube daher nicht, dass diese Methode der Darstellung einen solchen besonderen Vorzug für sich in Anspruch nehmen darf: auch sie vermag nicht a priori den zwingenden Nachweis für die Richtigkeit des ganzen Systems zu führen und ist wie jede andere auf die Bestätigung durch die Erfahrung an^ gewiesen. In der Vertheilung der Beweislast auf diese oder jene Gruppe von Behauptungen unter Einführung dieser oder jener Voraussetzungen, für deren Zulässigkeit in letzter Instanz doch immer nur die Erfahrung den Ausschlag geben muss, vermag ich überhaupt nur eine Aeusserlichkeit und nicht den Kern der Mazweirschen Theorie zu erblicken. Ich halte es daher nicht nur für zulässig, sondern aus didaktischen Gründen auch für geboten, bei der Darstellung dieser Theorie von vornherein an elektrostatische Probleme und an die gewohntere Behandlung anzuknüpfen, die diesen von der Fernwirkungs- theorie zu Theil wird. Der Vergleich der auf beiden Wegen Digitized by Google 100 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxwell sehen Theorie. erhaltenen Ergebnisse kann nur zu klareren Anschauungen verhelfen. Zu diesem Zwecke leite ich zunächst den Green'schen Lehrsatz ab. Aus Gleichung (78) S 61 folgt, wenn man für Ä hier U und fQr ö hier VF schreibt, wo U und Fzwei beliebige scalare Veränderliche sind div(üVF)= ?7.V*F+Vf7.VF Dabei war noch Gleichung (68) zu beachten. — Ich multiplicire jetzt diese Gleichung mit dem Kaumelemente dv und integrire sie über einen Theil des Raumes, der von einer bestimmten Fläche eingeschlossen wird. Bei der Ausführung dieser Integration erhält man auf der linken Seite einen Werth, für den man nach Gleichung (101) S. 77 setzen kann fdiY(U'S/r}dv = -j1:?7- VF)«i . df und daher schliesslich ß7ü'Vr'dv+fU'Wdv+f(üS7V)9lidf=0 (120) Diese Gleichung, in der die Integrale auf die Oberfläche und das Volumen des beliebig abgegrenzten Raumes auszudehnen sind, spricht den Green'schen Lehrsatz oder richtiger gesagt, einen der in enger Beziehung zu einander stehenden Green' sehen Sätze aus. Voraussetzung für seine Anwendung ist die Stetigkeit in der Aenderung von J7, F, VJ7, VF. Im andern Falle sind die Unstetigkeitsstellen auszuscheiden und das Oberflächenintegral ist auf die diese Ausscheidung be- wirkenden Flächen mit zu erstrecken. Ich wende diesen Satz jetzt auf ein elektrostatisches Feld an, das von einer Vertheilung positiver und negativer freier Ladungen herrührt, deren Summe gleich Null ist. Damit ist schon ausgesprochen, dass geschlossene Kraftlinien nicht vor- kommen sollen und dass daher @ von einem Potentiale ü abgeleitet werden kann. Wie wir früher sahen, können da- gegen geschlossene Verschiebungslinien vorkommen. Wir zerlegen aber dann 3), wie in § 41, in zwei Componenten S)' Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslebre vorkommenden Yectoren. 101 und S", von denen 3)" zu den gescblossenen Linien gehört. Za S' lässt sich dagegen ein Potential angeben^ das v^ir mit V bezeichnen, so dass @ VJ7, 3)' VF ist. Wir wenden nun Gleichung (120) auf den ganzen un- endlichen Baum an, indem wir uns Unstetigkeitsstellen im Innern des Raumes durch continuirliche üebergänge, wie es in § 40 erläutert wurde, vermieden denken. Da alle Kraftlinien und Verschiebungslinien im Innern des Baumes yerlaufen (ausserdem auch Uin unendlicher Entfernung zu Null wird), verschwindet in diesem Falle das Oberflächen- integral in Gleichung (120). Wenn wir noch V*F oder — div ® durch — Qu, (Gleichung 119) ersetzen, geht daher Gleichung (120) über in f%'i&dv=fUqu>dv (121) Die Integrale beziehen sich auf den ganzen unendlichen Raum; dabei ist wohl zu beachten, dass zwar die ganzen Integrale, nicht aber ihre einzelnen, zu demselben dv gehörigen Elemente untereinander gleich sind. Nach Gleichung (116) ist die im ganzen Raum aufgespeicherte elektrostatische Energie T = i C^^dv = y f^'^dv + \J%"i&dv. Von diesen Ausdrücken unterscheidet sich die Hälfte der linken Seite von Gleichung (121) demnach durch das Fehlen des Gliedes \ 1 ^''(&dv. Ich werde aber jetzt beweisen, dass dieses den Werth Null hat. Zunächst erinnere man sich, dass der von S abgetrennte Verschiebungsfluss ®" nur zu geschlossenen Kraftlinien gehört, dass also div ®" überall ist. Um das Raumintegral von S"(S zu bilden, zerlege ich den ganzen Raum in geschlossene Rohren, deren Oberflächen aus Verschiebungslinien ®" zu- sammengesetzt sind. Der Querschnitt einer solchen Rohre L Digitized by Google 102 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. sei rf/J ein Längenelement der Mittellinie sei als Vector be- trachtet mit dB, dessen Tensor mit ds bezeichnet. Zunächst tritt nun an die Stelle des Baumelementes dv das Product dfds. Für das Integral f^''(Sdfds kann ferner, da nach der erfolgten Baumzerlegung dB überall in die Bichtung von ®" fällt, auch fD"(&dfdi geschrieben werden, wobei nun Z)" der Tensor von ®" ist. Für die ganze Bohre ist aber, nach ihrer Construction, der Verschiebungsfluss D^'df durch alle Querschnitte constant. Er kann daher, wenn wir zunächst die Integration auf den ringförmigen Innenraum der Bohre ausdehnen, als constanter Factor vor das Integralzeichen gesetzt werden, so dass wir als Beitrag der Bohre zum ganzen Baumintegral erhalten B^'dffi&di, Nun sollte aber nach Voraussetzung ($ zu einem rein elektrostatischen Felde gehören, also sein curl Null sein. Nach § 30 ist aber dann das über die geschlossene Bingmittellinie erstreckte Integral Ji&d% gleich Null. Dies gilt für alle Bohren, in die sich der Baum zerlegen lässt und damit ist die vorhin aufgestellte Behauptung bewiesen. In Gleichung (121) gibt also die linke Seite für sich den doppelten Betrag der im Baume aufgespeicherten elektro- statischen Energie (wenn auch nicht in der richtigen Ver- theilung auf die einzelnen Yolumenelemete) an. Dies gilt daher auch von dem Werthe auf der rechten Seite und wir erhalten = ^JtJq. dv (122) Diese Gleichung zeigt uns, dass ausser der nach der Maxweirschen Theorie vorausgesetzten Vertheilung der ganzen Energie auf die einzelnen Baumelemente noch eine zweite möglich ist, die im Einzelnen völlig von der vorigen abweicht, Digitized by Google E rstes Gapitel. Die in der Elektricitätslehre Torkommenden Vectoren. 103 im Ganzen aber zu demselBen Werthe führt. Es ist das die von der Pemwirkungstheorie angenommene Vertheilung. Um nämlich die elektrische Ladung herbeizuführen, kann man sich yorstellen, dass zuerst überall nur in davon vorhanden ist, wo n eine sehr grosse Zahl bedeutet. Dann führen wir das zweite ntel an seinen Platz u. s. f. Wenn dieser Process so weit vorgeschritten ist, dass die Ladung überall das rcfache der Endladung beträgt, ist auch das Potential gleich x U, und um die nun folgende Erhöhung von xqu, um d»Qw durch- zuführen, muss für jedes Raumelement die Arbeit xü - dxQo,dv aufgewendet werden. Integriren wir dies nach x von bis 1, so werden wir unmittelbar zu dem oben stehenden Werthe von T geführt. Diese Betrachtung lehrt uns aber noch mehr als die blosse Möglichkeit, auf Grund der Pemwirkungstheorie den gesammten Energieinhalt zu berechnen. Sie zeigt uns nämlich auch, dass für die Bildung des Potentials U die freie Elektricität zu Grunde zu legen ist^ während als Massen, auf die die daraus hervorgehenden Kräfte (& einwirken, die wahren Elektricitätsmengen angesehen werden müssen. Vertauscht man in der vorhergehenden Betrachtung die* Bedeutungen von 27 und V miteinander, so erhält man f9>'mv fv^^ Vdv ^fUAitQfdv und nach Gleichung (119) Q^ = div»' = div(- VC9 -= — V^K Die Lösung der Gleichung \J'^U= ^ Qw gibt aber nach Gleichung (111) S. 86 und daher schliesslich T = lffj^.,,dv (123) was auf dasselbe hinaus kommt wie Gleichung (122). Digitized by Google 104 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. Man hat also entweder wie vorher das Potential von den freien Elektricitätsmengen zu bilden und die wahren Ladungen als Substrate der daraus her- vorgehenden Kräfte anzusehen oder umgekehrt, von den wahren Mengen das Potential zu nehmen und dieses auf die freien Ladungen anzuwenden. In dem zuletzt erwähntem Falle erhalten wir zwar bei Ausdehnung der Integration über den ganzen Raum den richtigen JVerth der ganzen Energie T] die Vertheilung auf die einzelnen Raumelemente weicht aber von der im anderen Falle ab, da die geschlossenen Verschiebungslinien ®" aus dem Potentiale der wahren Elektricitätsmengen nicht ableitbar sind. Dies zeigt uns, dass wir zur Ermittlung der Vorgänge an einzelnen Stellen des Raumes immer nur das Potential der freien Ladungen zu nehmen und die wahren Ladungen als die zugehörigen Substrate anzusehen haben. Wenn JST überall constant ist, wird nach Gleichung (119) Qu, = KQ/ und man kann dann für (123) schreiben ^ = T^fß-^9fä- = Aff~9.äv. (124) Stehen sich also zwei elektrisch geladene HoUundermark- kügelchen z. B. in Petroleum gegenüber und man soll angeben, wie sich die zwischen ihnen auftretende Kraft zu der in der freien Luft verhält, so muss unterschieden werden, ob sich dies auf gleiche freie oder auf gleiche wahre Ladungen der Kügelchen bezieht. § 43. Leiter der Elektricitat. Elektrische Leiter sind solche Körper, die sich selbst über- lassen einen elektrostatischen Zwangszustand nicht dauernd auf- recht zu halten vermögen. War dieser zuerst auf irgend eine Weise herbeigeführt, so geht er, wenn der Körper dann sich selbst überlassen wird, langsamer oder schneller wieder zurück, Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der Elektricitatfllehre vorkommenden Vectoren. 105 wobei sich die damit verbundene Energie in Wärme verwandelt. Der Körper leitet um so besser, je scbneller das Zurückgehen erfolgt. — Nach einiger Zeit ist Alles so ausgeglichen, dass im ganzen Innern des Leiters ® und daher auch 6 gleich Null sind. Man vermag aber auch solche Bedingungen herzustellen, die es verhindern, dass 6 im Innern eines Leiters verschwindet. Der dem @ entsprechende Zwangszustand S ist dann wegen der Eigenschaften des Leiters in fortwährendem Zerfall, zu- gleich aber unter dem Einflüsse der äusseren Bedingungen, durch die wir das Verschwinden von @ verhüten in stetiger Neubildung begriffen. Im Ganzen vermag er daher zwar ungeändert zu bleiben; aber auch in diesem Falle unter- scheidet sich der Leiter erheblich von einem Dielektricum. Der immer noch stetig fortdauernde Zerfall des Zwangs- zustandes, der mit derselben Geschwindigkeit erfolgt, als wenn die im entgegengesetzten Sinne wirkenden Ursachen gar nicht vorhanden wären, bedingt eine Wärmeentwickelung, während mit diesen Ursachen selbst eine stetige Arbeits- leistung zur Neuschaffung der elektrostatischen Energie ver- bunden sein muss. Je besser der Körper leitet, d. h. je schneller der Zwangszustand im Dahinschwinden begriffen ist, desto grösser ist die Wärmeentwickelung und um so grösser muss daher auch die von jenen Ursachen gelieferte Energie sein, um die Kraft ß dauernd auf einer gegebenen Höhe zu erhalten. § 44. Elektrostatik. Man spricht von einem Gleichgewichte der Elektricität gewöhnlich in dem Sinne, dass man dabei an eine Masse ähnlich der ponderablen Materie denkt, an der sich Kräfte im Gleichgewichte halten. Wenn man aber diese materialistische Vorstellung aufgibt, bedarf der Gleichgewichtsfall einer be- sonderen Definition. — Ein Dielektricum ist im elektro- statischen Gleichgewichte, wenn sich @ und daher auch S im Laufe der Zeit nicht ändern. Bei einem Leiter müssen wir das Gleichgewicht aber anders definiren» Würden sich Digitized by Google 106 Zweiter Abschnitt. Gnmdlinien der Maxwell'schen Theorie. nämlich @ und S nicht ändern^ so mtlsste; wie aus der im vorigen § gegebenen Definition des Leiters hervorgeht, der betreffenden Stelle, auf die sich 6 und ® beziehen, fort- während Energie zugeführt werden, die sich dort in Wärme verwandelte. Wir können nun zwar einen solchen Zustand als einen constanten oder stationären, aber nicht wohl als einen Gleichgewichtszustand bezeichnen. Unter dem elektro- statischen Gleichgewichte versteht man vielmehr überall, gleichgültig welche Vorstellung man sonst mit diesem Worte verbindet, einen Zustand, bei dem keine Energieübertragungen oder Verwandlungen elektrostatischer Energie in Wärme vor- kommen. Nach der Definition des Leiters besteht der für diesen allein mögliche Gleichgewichtszustand darin, dass @ und S im ganzen Inneren des Leiters gleich Null sind. Damit ver- schwinden auch die Divergenzen dieser Vectoren, d. h. im Gleichgewichtszustande kann im Innern eines Leiters weder freie noch wahre Elektricität enthalten sein. Wenn ein Leiter eine elektrische Ladung im Gleichgewichte enthält, kann sie daher nur an der Oberfläche ausgebreitet sein. Wenn wir uns für den Augenblick auf den Boden der materialistischen Auffassung der Elektricitätsmengen stellen wollen, können wir die Schwierigkeit, die sich für diese Auf- fassung durch die Concentrirung der elektrischen Massen auf Flächen ergibt, durch die folgende Betrachtung umgehen. Dabei sei die wahre Elektricität jene Grösse, die wir uns für den Augenblick als etwas Materielles vorstellen wollen. Nach Gleichung (119) ist Qu, == div®. Nehmen wir nun an, dass S wörtlich eine Verschiebung einer den ganzen Baum ausfüllenden Masse, etwa des Aethers, bedeute, so dass die durch ein Plächenstück df hindurchgetretene Aethermenge = ^9tdf wäre, so folgt aus Gleichung (101) S. 77, dass eben- soviel Aether aus einer geschlossenen Fläche herausgetreten ist, als wahre Elektricität in den umschlossenen Baum auf irgend eine Weise hereingebracht wurde. Wir werden dann dazu geführt, die wahre Elektricitätsmenge selbst als eine Digitized by Google I Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre vorkommenden Vectoren. 107 solche Aethermenge aufzufassen, die wir durch besondere Mittel genöthigt haben, in den betreffenden Baum einzutreten und können Gleichung (101) dahin aussprechen, dass der Aether sich stets wie eine incompressible Flüssigkeit bewegt. Wahre Elektricität ist dann nicht ein Aetherüberschuss über den normalen Inhalt des Baumes, denn ein solcher kann überhaupt nicht zu Stande kommen, wenn der Aether sich nur wie eine unzusammendrückbare Flüssigkeit yerschieben kann. Es ist vielmehr jener Aetherinhalt, der durch äussere Ursachen in den Baum eingedrängt wurde und der sich durch Verdrängung des früher dort befindlichen in die Nachbarschaft unter üeberwindung einer dieser Verdrängung sich widersetzenden elastischen Kraft Platz schaffen musste. In den Leitern treten im ersten Augenblicke ebenfalls ela- stische VerschiebuDgswiderstände auf, die aber bei guten Leitern in sehr kurzer Zeit verschwinden, so dass im Gleich- gewichtsfall der Aether im Innern der Leiter nirgends an solchen in der Nachbarschaft angrenzt, der in elastischer Weise den früheren Ort wieder einzunehmen sucht. In dieser Lage ist nur der an den Grenzflächen zwischen dem Leiter und dem dielektrischen Medium vorhandene Aether. Wird der Leiter entladen, so wird die Verschiebung im Dielektricum überall rückgängig, dadurch tritt wieder Aether an den Grenzflächen in den Leiter zurück und zwar genau so viel, als auf andre Art durch die Entladung aus ihm entnommen wurde. Betrachten wir nun ein Stück df der Oberfläche eines kugel- förmigen Leiters vom Badius r und grenzen wir von df aus einen scheibenförmigen Baum ab, der sich um d\ in den Leiter und um d\ in das Dielektricum hinein erstreckt, so dass d\ und dh^ senkrecht zu df stehen und das Volumen der Scheibe = {dh^ + dh^ df ist. Wird die wahre Ladung der Kugel mit e bezeichnet, so kommt auf df der Betrag ^^fj^nr^. Der scheibenförmige Baum enthält genau soviel Aether wie im unelektrischen Zustande. Der in der äusseren Hälfte ent- haltene Aether sucht aber zum Theil in die innere Hälfte zurückzutreten und aus dieser die Menge ^^fl^ttr^ zu ver- Digitized by Google 108 Zweiter Absoliniti Grundlinien der Maxweirachen Theorie. drängen. Es steht uns nun völlig frei; ob wir yon dem Aetherinhalte der inneren Scheibenhälfte einen Theil^ der gleich «^//49rr* ist, als die wahre Elektricität bezeichnen wollen, oder ob wir darunter eine ebensogrosse Aethermenge der äusseren Scheibenhälfte verstehen wollen, die in den Leiter zurücktreten muss, um den unelektrischen Zustand wieder herzustellen. Unter der Voraussetzung, dass dh^ und dh^ von vornherein gross genug gewählt waren, um mindestens die angegebene Menge ^dfj^^f^ zu umschliessen, ist es ganz gleichgültig, wie gross sie im üebrigen gemacht waren. Verliert die geladene Eugel plötzlich die Eigenschaften .eines Leiters und wird selbst zu einem Dielektricum, so hört die Möglichkeit der Entladung auf. Der elektrische Zustand bleibt dauernd erhalten, also sowohl die Verschiebung als die elektrostatische Energie im äusseren Dielektricum. Den Sitz des ganzen Zustandes bildet also offenbar dieses äussere Medium und das ist ein Grund dafür, dass wir besser die wahre Ladung in dieses Medium verlegen. Diese ganze Betrachtung soll aber nur dazu dienen, ein anschauliches Bild zu geben und dadurch die Vorstellungen zu erleichtern, — vielleicht auch, was sich ja bei allen solchen Versinnlichungsmitteln niemals ganz umgehen lässt, sie bis zu einem gewissen Grade zu leiten. Dagegen soll keineswegs damit behauptet werden, dass der Vorgang wirk- lich in der geschilderten Weise erfolgt. Die Betrachtung rührt in ihren Grundzügen von Maxwell selbst her und dieser Schöpfer der modernen Elektricitätslehre hat sich zweifellos bei allen seinen Untersuchungen von der Vorstellung leiten lassen, dass S eine elastische Verschiebung des Aethers ist und dass daher der Aether sich stets nur so zu bewegen vermag, dass sich seine Dichte nirgends ändert. § 45. Fortsetzung. Zur weiteren Verdeutlichung des Unterschiedes zwischen wahrer und freier Elektricität betrachte man eine Metall- Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre vorkommenden Vectoren. 109 kugel, die zunächst von einer Kugelschale aus einem dielek- trischen Stoflfe von der Dielektricitätsconstanten K^ eingehüllt ist^ während der ganze ausserhalb dieser Eugelschale liegende Baum bis auf weite Entfernungen von einem zweiten Medium mit der Constanten K^ eingenommen wird. Der Metallkugel sei die wahre Elektricitätsmenge 6^ mit- getheilt. Die dielektrische Verschiebung ist dann in beiden Medien radial gerichtet und im Abstände r vom Centrum gleich ^u'l^nr^. Sie erleidet keine Stetigkeitsunterbrechung beim Uebergange aus dem inneren in das äussere Medium und die Grenzfläche beider Medien ist daher frei von wahren Ladungen. Die wahre Ladung ist vielmehr aus- schliesslich auf die Grenzfläche zwischen der Metallkugel und dem an diese angrenzenden inneren Medium vertheilt. Die Verschiebungslinien strahlen von ihr nach allen Richtungen gleichmässig aus und treten im weiteren Verlaufe ohne jede Aenderung in das äussere Medium über. Die elektrische Kraft 6 erleidet dagegen beim üeber- gang aus dem inneren in das äussere Medium eine Stetig- keitsunterbrechung, unmittelbar vor der Grenzfläche (deren Radius = r^ sei) im inneren Medium ist sie gleich ^^JK^r^^ (Gleichung 115; S. 91) und auf der anderen Seite nimmt sie den Werth ^ojK^r^^ an. Daraus folgt, dass die Grenzfläche der Sitz einer Ladung mit „freier" Elektricität ist. Die Flächen- dichte dieser freien Ladung ergibt sich aus Gleichung (117) S. 93, wenn man sie auf einen scheibenförmigen Körper, wie er in § 44 betrachtet war, anwendet, gleich Wenn r^ der Radius der Metallkugel ist, lässt sich für die Flächendichte der freien Ladung an der Oberfläche dieser Kugel in derselben Weise der Werth ableiten 4«ri* ^1 Digitized by Google 110 Zweiter AbBchnitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. Die Summe der freien Ladungen beider Oberflächen oder die gesammt^ freie Ladung des ganzen Systems ej wird hiernacli ^f-i •■■■■■• (125) d. h. das Verhältniss zwischen der wahren und der freien Ladung des ganzen Systems ist gleich der Dielektricitäts- constanten des äusseren Mediums. Wie gross die des inne- ren schalenförmigen Körpers ist, kommt hierfür gar nicht in Betracht. Ist das äussere Medium Luft und setzt man für diese (durch passende Wahl der Einheiten, in denen @ und 3) aus- zumessen sind) Z^ = 1, und- fügt ferner noch die Annahme hinzu, dass K eine absolute Zahl, 3) und @ also Grössen gleicher Art seien, so kann man Gleichung (125) dahin aus- sprechen, dass die freie Ladung des ganzen Systems in diesem Falle gleich der wahren Ladung ist. Wie ich aber schon früher bemerkte, ist die erwähnte Annahme nicht nur will- kürlich, sondern auch durchaus unwahrscheinlich. Sie bildet ein üeberbleibsel der Pernwirkungstheorie, das die Bildung klarer Begriffe erschwert und die Auseinanderhaltung von Grössen ganz verschiedener Art unmöglich macht. Was von den Ladungen gesagt war, gilt ebenso auch von den zu ihnen gehörigen Potentialen. Das Potential der wahren Ladungen ist überall ausserhalb der Metallkugel gleich ^w/r^ Das der freien Ladungen ist im inneren Medium gleich e^^/r^ . (1/^^ — l/x^) + ^to/K^r und im äusseren gleich «//t; d. h. gleich ^w/K^r. Für r = r^ werden beide Ausdrücke einander gleich; die Dififerentialquotienten erleiden aber an der Grenzfläche eine Stetigkeitsunterbrechung. § 46. Der Condensator. Wir erhalten einen Condensator, wenn wir das äussere Medium des im vorigen § betrachteten Systems durch einen Leiter ersetzen. Es ist nicht nöthig, den ganzen äusseren Digitized by Google Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre vorkommenden Vectoren. Hl Raum mit diesem Leiter auszufüllen; sondern es genügt schon^ wenn wir das innere Medium mit einer dünnen Metallschicht bedecken^ an die dann weiter nach aussen wieder Luft angrenzen kann. Die Zwischenschicht wollen wir uns sehr dünn im Vergleiche zu den Kugelradien r^ und r^ vorstellen. Der zu einem kleinen Oberflächenstück df gehörige Theil des Con- densators kann dann ebensogut auch als Bestandtheil eines aus zwei benachbarten unendlich grossen ebenen Platten ge- bildeten Condensators angesehen werden. Durch experimentelle Hülfsmittel (Elektrisirmaschine oder galvanische Säule u. s. f.) ist es möglich, eine wahre Elek- tricitätsmenge 6«, von der äusseren Belegung auf die innere zu übertragen. Die wahre Ladung des ganzen Systems ist dann gleich Null. Der Verschiebungsfluss geht in radialer Richtung und in symmetrischer Vertheilung von der inneren zur äusseren Belegung durch die dielektrische Zwischenschicht. Im ganzen übrigen Räume sind 2) und @ Null. Für einen Punkt des Dielektricums im Abstände r vom Centrum hat die dielektrische Verschiebung wieder wie vorher die Grösse ^to/^^nr*» Wir achten hier, wie in den vorigen Fällen, wieder nur auf die Tensoren, da die Richtungen von vornherein gegeben sind. Für E finden wir daher ^wJK^ ^a und für das Linienintegral von ®, d. h. für den Potentialunter- schied der freien Elektricitäten zwischen beiden Belegungen ^«/^i • (Vn — V^s)- D^® ^^®^® Elektricität der ganzen inneren Belegung ist ««/iTi und die der äusseren ebensogross, aber negativ. Bezeichnen wir diesen Werth mit C/, so ist der Potentialunterschied auch gleich Cf (l/r ^ — i/r^ ). Li § 42 war gezeigt, dass man entweder die Potentiale von den freien Elektricitätsmengen nehmen upd als Massen, die der Wirkung der daraus hervorgehenden Kräfte unter- liegen, die wahren Elektricitätsmengen ansehen muss, oder umgekehrt, wenn die Potentialtheorie zur richtigen Darstellung der aufgespeicherten Energie führen soll. Wenden wir dies auf den Condensator an, so können wir sagen, dass die wahre Ladung e^, einem Potentialunterschiede von der Grösse Digitized by Google 112 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxwell' sehen Theorie. ««/ffj • (Vfi — Vfj ) entspricht. Bezeichnen wir also als die Capacität des Condensators jene Grosse C^ die mit dem von den freien Ladungen herrührenden Potentialanterschiede der Belegungen multiplicirt die Grösse der wahren Ladung an- gibt, so erhalten wir für den betrachteten Kugelcondensator C=ir^i^^=.^r,.y .... (126) wenn zu^ Abkürzung das Verhältniss zwischen dem äusseren Kugelradius und der Dicke des Dielektricums mit y be- zeichnet wird. Allgemein empfiehlt es sich, woran hier nochmals er- innert werden soll, die Potentiale stets von den freien Elektricitätsmengen zu nehmen und als Massen, die den Kräften (& unterliegen, demnach stets die wahren Elektricitäts- mengen anzusehen. Zunächst empfiehlt sich eine solche Pestsetzung schon um Verwechselungen vorzubeugen. Ab- gesehen von der zu ihren Gunsten sprechenden Erwägung, die in § 42 erörtert wurde, ist aber die hier getroffene be- sonders noch dadurch gerechtfertigt, dass an der Grenzfläche von zwei dielektrischen Medien durch »die blosse Ausbildung des elektrostatischen Feldes (durch Influenz), solange also nicht durch Vermittlung eines Leiters, der vorher an die Stelle gebracht wurde, eine Ladung unmittelbar durch Berührung mitgetheilt war, niemals wahre Ladungen auftreten können. Ferner sei noch darauf hingewiesen, dass G = Kr^^ wird, wenn rg = cx) ist. Man drückt dies gewöhnlich so aus, dass für K=^ 1 die Capacität einer Kugel gleich dem Radius sei; indessen ist hierbei das über die Dimensionen von K Gesagte wohl zu beachten. Dass die algebraische Summe der wahren Ladungen für ein vollständiges System stets gleich Null sein muss, geht schon unmittelbar aus dem Grundsatze hervor, dass die Aether- massen, durch deren Verschiebung wir [uns die Ladungen hervorgebracht denken können, unzusammendrückbar sind. Von der Capacität einer isolirt aufgestellten leitenden Kugel kann Digitized by Google E rstes Capitel. Die in der Elektricitatslehre vorkommenden Vectoren. 113 man daher nur in dem Sinne reden, dass sie die eine Be- legung eines Condensators bildet, dessen andere Belegung sich in grosser Entfernung befindet. Um ein vollständiges System zu erhalten, müssen wir diese äussere Belegung noth- wendig mit in Rechnung ziehen. Bei der Art, wie das Experiment zur Bestimmung der Capacität der Kugel aus- geführt wird, bilden die Wände des Zimmers bezw. die im Zimmer vorhandenen Leiter die andere Belegung. § 47. Das Gesetz von Coulomb. Das Coulomb'sche Gesetz bildet die experimentelle Grund- lage der Femwirkungstheorie. In der Maxweirschen Theorie kann es dagegen als eine Folgerung aus den Annahmen ab- geleitet werden, die dieser eigenthümlich sind. Es sind dies zwei Annahmen, nämlich erstens die Vorstellung über die Energievertheilung im elektrostatischen Felde, auf der die Auf- stellung von Gleichung (116) beruhte und zweitens die in § 44 dargelegte Ajischauung über die Eigenschaften des Vectors 3), die in der Aussage gipfelt, dass innerhalb eines Dielektricums der Verschiebungsfluss durch eine geschlossene Fläche gleich Null ist, d. h. dass er die solenoidale Bedingung erfüllt. Wenn diese beiden hypothetischen Grundlagen gegeben sind, gelangt man daraus zunächst zum Begriffe der freien und der wahren Elektricitätsmengen als Quellen für den Fluss der Vectoren (B und 3) und dann auch, freilich mit Benutzung einer dritten Hypothese, zum Coulomb'schen Gesetze; Hierzu ist nämlich nur nöthig, den Ausdruck für die Energie des Feldes aufzustellen, das durch zwei sich gegenüber stehende Ladungen erzeugt wird und die Variation dieses Ausdruckes zu bilden, die durch eine kleine Lagenänderung der einen Ladung herbeigeführt wird. Nach dem Gesetze von der Er- haltung der Energie ist die berechnete Energieänderung ebensogross wie die Arbeit, die man zur Herbeiführung jener Lagenveränderung aufwenden muss, oder die man dabei ge- winnt. Damit ergibt sich die ponderomotorische Kraft zwischen Föppl, MaxweU'sche Theorie der Elektricität. 8 Digitized by Google 114 Zweiter Abschnitt. Grandlinien der Maxweirechen Theorie. den Ladungen. Als dritte Hypothese kommt bei diesem Schlüsse^ wie man sieht, noch die hinzu^ dass andere Energie- Umwandlungen ausser der zwischen der elektrostatischen Energie des Feldes und der geleisteten mechanischen Arbeit bei dem ganzen Vorgänge nicht im Spiele sind. Darum ist aber das CoulomVsche Gesetz für die Max- weirsche Theorie nicht minder wichtig als für die Pern- wirkungstheorie. Es bestätigt^ wenn auch nur in indirecter Weise, die Zulässigkeit der Hypothesen, die ihr zu Grunde liegen. Jede Theorie, die nicht zum CoulomVschen Gesetze fährte, müsste von vornherein verworfen werden. Anderer- seits ist es aber natürlich auch nicht als ein Vorzug der MaxwelFschen Theorie aufzufassen, dass sie das CoulomVsclie Gesetz nicht als Hypothese oder als Erfahrungsthatsache, sondern als Folgerung aus anderen Annahmen einführt. Ein Vorzug würde dies nur dann sein, wenn sich damit die Zahl der Hypothesen im Ganzen verminderte. Dagegen ist es als ein entschiedener Vorzug dieser Ab- leitung zu betrachten^ dass der Einflüss des Mediums, in dem sich die beiden Elektricitätsmengen gegenüberstehen, dabei sofort zur Geltung gelangt. Die Fernwirkungstheorie vermag zwar auch anzugeben, wie gross z. B. die zwischen 2 geladenen Hollundermarkkügelchen auftretenden elektrostatischen Kräfte sind, die sich im Petroleum gegenüber stehen. Sie bedarf aber dazu einer verwickelten Betrachtung, die sich auch wieder auf eine Hypothese über die Constitution der Dielektrica stützen muss. Um die schon in ihren Umrissen beschriebene Herleitung wirklich auszuführen, stützen wir uns auf den in § 42 be- wiesenen Green'schen Satz, Gleichung (120). Dabei verstehen wir, wie dort, unter U das Potential der freien und unter V das der wahren Elektricitätsmengen. Die Energie des elektro- statischen Feldes ist nach Gleichung (116), mit Beachtung des in § 42 über den zu S" gehörigen Antheil Gefundenen, Digitized by Google Erstes Capitel. Dieinder Elektricitäts] ehre vorkommenden Vectoren. 115 Wenn keine Leiter vorkommen; lässt sich dies, wie schon in § 42 gezeigt wurde, nach Gleichung (123) (bezw. mit Ver- tauschung in der Reihenfolge der Integration) auf ijf Qtodv zurückführen. Bei einer Verschiebung, die wir dem einen HoUundermarkkügelchen so ertheilen, dass der Abstand a vom andern sich um da vergrössert, erhalten wir die Variation von T Die Ladungen, bezw. ihre Raumdichten Q/ und p^, haben sich bei der Verschiebung nicht geändert. Wenn das Medium nach allen Seiten unbegrenzt und K constant ist, brauchen wir nur auf die Ladungen zu achten, die an die HoUundermarkkügelchen selbst gebunden sind. Die Energie T besteht dann aus 4 Gliedern. Das erste Glied wird erhalten, wenn wir die Integrationen für die p/ und p«, ausführen, die beide zum ersten Eügelchen gehören. Dieses Glied trägt nichts zn 8T bei, da sich die Abstände r zwischen diesen Q/dv und Qu,dv nicht ändern. Dasselbe gilt von dem zweiten Gliede, das durch die Combination der Ladungen des zweiten Kügelchens unter sich gewonnen wird. Zn öT tragen daher nur die beiden anderen Glieder von T bei, bei denen die freie Ladung des ersten Kügelchens mit der wahren Ladung des zweiten und umgekehrt combinirt ist. Wenn die Eügelchen klein genug im Vergleiche zu ihrem Abstände a sind, können wir bei der Ausrechnung von dT die Entfernung r zwischen je einem Q/dv des einen und Qu,dv des anderen Kügelchens gleich a setzen und umgekehrt. Wird dann noch die ganze freie Ladung des ersten Kügelchens mit e} be- zeichnet u. s. w., so wird für eine in der Richtung von a er- folgende Verschiebung *^=-(i^ + l^>«. 8* Digitized by Google 116 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der MaxwelPschen Theorie. Für ein positives da wird 8T negativ, es wird also bei einer Vergrösserung des Abstandes eine äussere Arbeit ge- wonnen, d. h. die ponderomotorische Kraft besteht in einer* Ab- stossung. Beachtet man noch, dass nach Gleichung (125) Cf = ^^JK ist, so erhalten wir für die Grösse dieser abstossenden Kraft F ^ = f^ = ^V^ • • • • (127) Führen wir die Kügelchen, die sich zuerst in Luft gegen- über standen, nachher in Petroleum über, ohne dass sie mit einem Leiter in Berührung kommen, so verkleinert sich dem- nach die ponderomotorische Kraft zwischen ihnen, da K für Petroleum (und überhaupt für alle flüssigen Dielektrica) grösser als für Luft ist. Bei der Ueberführung bleiben nämlich die wahren Ladungen c«, ungeändert. Dagegen vergrössert sich die elektrostatische Kraft F in demselben Maasse wie X, wenn wir die Kügelchen nachher wieder auf dasselbe Potential bringen, das sie in* der Luft hatten. Denn das Potential ist von den freien Ladungen zu nehmen (§ 46) und für dieselbe Potentialvertheilung müssen daher die freien Ladungen, die sich in Folge des Eintauchens vermindert hatten, wieder auf den früheren Betrag gebracht werden. Gleichung (127) spricht das Coulomb'sche Gesetz in seiner verallgemeinerten Fassung aus. Die ganze Betrachtung ändert sich etwas, wenn die Kügelchen als Leiter aufzufassen sind. Diese Aenderung be- zieht sich indessen nur auf die Beweisführung, während das Schlussergebniss davon nicht berührt wird. In diesem Falle wenden wir den Green^schen Satz auf den ganzen E.aum mit Ausschluss der Leiter an. Im Innern des Dielektricums ist dann überall V^ F = zu setzen und Gleichung (120) ergibt hier T^\j^%dv = \Nv\JYdv = \JTJ%%df. Digitized by Google r Erstes Capitel. Die in der Elektricitätslehre yorkommenden Yectoren. 117 Das letzte Integral ist auf die beiden Flachen zu erstrecken, voD denen die Leiter eingehüllt werden. Aus iB = — Vt7 folgt V^J7= — 4:7t Qf und U = I -^ — . Da der Durchmesser der Kugeln sehr klein sein sollte, können wir bei der Inte- gration über eine jener Flächen U als constant ansehen. Da ferner J%%df gleich der wahren Ladung der betreffenden Engel ist (denn 9li war bei der Anwendung 4es Green'schen Satzes die „innere'' Normale für das Dielektricum, bedeutet also für den Eugelraum die nach aussen hin gehende), so folgt Bei Ausführung der Variation an den Mittelwerthen V^ und XJ^ von U an den Eugeloberflächen kommt man genau wieder auf den früher für ST angegebenen Werth. Das Coulomb'- sche Gesetz ist demnach auch für diesen Fall eine Consequenz der MaxwelFschen Theorie. Man hätte diese ganze Betrachtung erheblich vereinfachen können, wenn man sofort auf die Definition zurückgegriffen hatte, durch die der Vector } (157) § 67. Der magnetisclie Strom. Von den drei Arten elektrischer Ströme, die ich in dem Vorhergehenden behandelte; hat nur einer, der Verschiebungs- strom, ein Analogon auf der magnetischen Seite. Magnetische Leitungsstrome sind bisher niemals beobachtet worden und wahrscheinlich aus einem uns bisher verborgen gebliebenen Grunde, der mit dem Mechanismus dieser Vorgänge zusammen- hängt, an sich unmöglich.. Ein magnetischer Leitungsstrom wäre dann vorhanden, wenn der magnetische Zwangszustand allmählich unter Ver- wüstung der Energie dahinschwände, so dass, um. ihn dauernd zu erhalten, dem betreffenden Körper unausgesetzt Energie zugeführt werden inüsste. Manche Vorgänge können bei oberflächlicher Betrachtung den Apschein erwecken, als wenn dieser Fall in der That bei den in der Technik verwendeten Magneten zuträfe. So wird bei dem Magnetsysteme einer Dynamomaschine thatsächlich dauernd Energie aufgewendet, um d^n magnetischen Inductionsfluss aufrecht zu erhalten. Das geschieht aber nicht deshalb, weil der Zwangszustand im Zerfall begriffen wäre, sondern weil er das elastische Be- streben zur Eückbildung hat und weil solche Bedingungen geschaffen werden müssen, die dies verhindern. Es ist so, als wenn man ein Gewicht frei schwebend erhalten will. Man braucht dazu keine Arbeit aufzuwenden und erspart sich jede Anstrengung, wenn man es in geeigneter Weise auf- hängt (wie dies der Verwendung permanenter Magnete ent- spricht). Geht dies nieht an, so vefursacht das Halten zwar eine Anstrengung, also auch einen Energieverbrauch in unserem Muskelsystem, auf das getragene Gewicht geht aber nichts von dieser Energie über. Föppl, MaxweU'sche Theorie der Elektricität. 11 Digitized by Google 162 Zweiter Abschnitt. Grandlinien der Mazweirschen Theorie. Noch näher liegt die Versuchung ^ einen magnetischen Leitungsstrom anzunehmen bei dem Kern eines Transformators oder überhaupt bei altemirenden Magneten. Denn bei diesen muss nicht nur Energie zugeführt werden, um den magne- tischen Zustand in der gewünschten Weise pulsiren zu lassen, sondern diese Energie wird, wenigstens zum Theil, auch wirklich dem Eorperyolumen zugeführt, um dessen Zustands- änderung es sich handelt und dort verwüstet. Selbst wenn man die Foucault'schen Ströme, von denen es klar ist, dass sie nur in secundärer, von dem Hauptvorgange ganz un- abhängiger Weise Energie verzehren, durch passende Unter- theilung des Eisens vermeidet, bleibt noch eine aufs Engste von dem magnetischen Cykel abhängige Energieverwüstung übrig, die mit der Hysteresis zusammenhängt. Aber auch die durch Hysteresis verursachte Wärmeent- wicklung darf nicht mit jener verglichen werden, die einen magnetischen Leitungsstrom anzeigen würde. Abgesehen von allem anderen, besteht hier der grundsätzliche Unterschied, dass die Wärmeentwicklung durch Hysteresis eine Aenderung der Induction zur Bedingijng macht und von dem Maasse dieser Aenderung abhängt, während ein magnetischer Leitungs- strom Energie ebenso bei constanter Induction verwüstete und von der Aenderung überhaupt nicht direct beeinflusst würde. Man muss daher annehmen, dass es in der Natur keine magnetischen Leiter gibt; dies führt dann von selbst weiter zu dem Schlüsse, dass kein wahrer Magnetismus zu Stande kommen kann. Dass von Anfang an solcher schon vorhanden gewesen sei, wird nicht angenommen. Damit fallen* auch die magnettschen Convectionsströme im eigentlichen Sinne, wenn man auch von fingirten magnetischen Convectionsströmen in demselben Sinne, wie im zweiten Capitel dieses Abschnitts von fingirten magnetischen Massea reden kann, die auf der Oberfläche oder im Innern der Magnete zur Erklärnng der äusseren Wirkung angenommen wurden. Die Erfahrungen sind vielleicht bisher nicht ausgedehnt Digitized by Google Drittes Cap. Wechselbeziehung, zwisch. Elektricität u. Magnetismus. 163 und vielseitig genug, um die geschilderte Auffassung in allen Theilen sicher zu bestätigen. Jedenfalls bildet aber die An- nahme eine der Hauptgrundlagen der neueren Maxwell'schen Theorie, dass magnetische Leiter und wahre magnetische Massen in der Natur überhaupt nicht vorkoinmen. Die ganze Passung der Theorie würde sich bis in das innerste Gefüge hinein ändern müssen, wenn der Nachweis eines magnetischen Leiters gelingen sollte. Dem elektrischen Verschiebungsstrome steht aber der magnetische Liductionsstrom (oder der magnetische Strom kurzweg, da ein solcher anderer Art nicht vorhanden ist), durchaus voUwerthig gegenüber unß. er bringt auch, wie aus der Erfahrung bekannt ist, genau analoge Wirkungen hervor. Für den Verschiebungsstrom fanden wir früher den Werth £; für den magnetischen Strom haben wir daher analog den Werth ÜJ zu wählen. Bezeichnet also g die Intensität des magnetischen Stromes an einer bestimmten Stelle des Raumes, so ist g definirt durch 9 = » (158) Für den magnetischen Strom G durch eine bestimmte Quer- schnittsfläche setze ich ähnlich wie in* Gleichung (142) S. 149 G ^y^yidf =fmdf (159) Denkt man sich so, wie es früher auseinandergesetzt war, die Vertheilung des Vectors 8 durch ein System von Inductionslinien dargestellt, so bedeutet ^ö 81 d/* die Zahl der durch die betreffende Querschnittsfiäche gehenden Inductions- linien und 6r gibt daher die Aenderung dieser Zahl, bezogen auf die Zeiteinheit, an. Nebenbei bemerkt, wird gerade bei den Betrachtungen, die wir jetzt im Auge haben, das Wort Inductionslinie häufig durch „magnetische Kraftlinie^^ ersetzt. Man ist dazu dadurch geführt worden, dass im magnetischen Maasssysteme die Con- stante ft für die Luft = 1 gewählt und damit für den Luft- 11* Digitized by Google 1 164 Zweiter Abschnitt. Grandlinien der Maxweirschen Theorie. räum 8 = § gemacht wurde, so dass in der Luft Kraft- und Inductionslinien sich völlig decken. Es ist aber nicht genug vor solchen Ungenauigkeiten in der Ausdrucksweise zu warnen, da sie nur zu leicht zu einer Verwischung der zugehörigen Be- griffe führen. In Worten lässt sich Gleichung (159) schliesslich noch .dahin zusammenfassen: Der magnetische Strom durch ein gegebenes Flächenstück ist gleich der auf die Zeiteinheit bezogenen Aenderung des Inductions- flusse^ durch das Flächenstück. Da der miagnetische Strom nur aus dem Inductionsstrome besteht und die Inductionslinien an sich schon stets geschlossene Linien bilden, gilt dies auch Yon den magnetischen Strom- linien. Gerade wie dies von dem elektrischen Strome von vornherein vorausgesetzt wurde, gilt daher auch von. dem magnetischen Strome,. dass er überall die solenoidale Bedingung erfüllt, d. h. dass stets div 9 = (160) ist. § 68. Das Inductionsgesetz. So wie der elektrische Strom mit einem magnetischen Felde, steht der magnetische Strom mit einem elektrischen Felde in nothwendigem Zusammenhange. Der ersten Haupt- gleichung ist daher eine zweite zur Seite zu stellen, die das Differentialgesetz dieses Zusammenhangs, oder, wie man es auch ausdrückt, das Differentialgesetz der elektrodynamischen Induction ausspricht. Das Wort Induction hat hier, wie be- kannt, eine durchaus verschiedene Bedeutung von der mag- netischen Induction. Mit Hülfe dea Energieprincips kann man zwar die Inductionsgesetze als Correlate der Gesetze über die elektro- magnetischen und elektrodynamischen Kräfte ableiten. Dabei läuft aber in jedem Falle die Voraussetzung mit unter, dass andere mit Energieübertragungen oder Energieanhäufungen verbundene Vorgänge als die in Aussicht genommenen nicht Digitized by Google ,.J Drittes Cap. Wechselbeziehung, zwisch. Elektricität u. Magnetismus. 165 vorkommen. Es scheint mir daher, dass die apriorische 6e- wissheit der auf diesem Wege gewonnenen Aussage über die Nothwendigkeit des Auftretens von inducirten Kräften nicht überschätzt werden darf. In jedem Falle bedarf vielmehr auch sie der Bestätigung durch die Erfahrung. Andererseits spricht aber das Faraday'sche Inductions- gesetz eine so sicher und einwurfsfrei festgestellte Erfahrungs- thatsache aus^ dass der Physiker^ der seine erste Aufgabe in der möglichst getreuen und unmittelbaren Erfassung und Dar- stellung der Naturerscheinungen erblickt, nicht zu zögern braucht, sie ganz unabhängig von jedem weiteren Zusammen- hange in sein System aufzunehmen. Gewiss gehört es ebenso auch zu den Aufgaben des Physikers, die nothwendigen Be- ziehungen der einzelnen Erscheinungsgruppen zu einander auf- zudecken. Er vermag dieser aber ebensogut gerecht zu werden, wenn er in unserem Falle .nachträglich den Nachweis fuhrt, dass das Energieprincip durch das Zusammenwirken aller mitwirkenden Vorgänge befriedigt wird. Ich werde daher die zweite Hauptgleichung hier unmittelbar aus dem Faraday'- schen Inductionsgesetze ableiten. In einem veränderlichen magnetischen Felde sei ein ge- schlossener linearer Leiter gegeben. Dieser Leiter bilde die Umfangslinie eines Flächenstücks, das so gelegt ist^ dass jede Inductionslinie des Feldes die Fläche nicht mehr als ein- mal durchschneidet. Nach dem Faraday'schen Inductions- gesetze wird dann iu dem Leiter ein elektrischer Strom in- ducirt, dessen Stärke proportional der Aenderung der Zahl der Inductionslinien durch die Fläche, d. h. proportional dem mag- netischen Strome durch die Fläche ist. üeber die Richtung dieses inducirten Stromes werden nachher weitere Angaben folgen. Wir erkennen hieraus zunächst, dass der magnetische Strom in nothwendigem Zusammenhange mit dem Auftreten elektrischer Kräfte in seiner Umgebung steht, dass er also von einem elektrischen Felde begleitet wird. Ferner lehrt uns jene Thatsache, dass das Linienintegral der elektrischen Digitized by Google 166 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. Kraft 6 längs der geschlossenen Curve proportional dem mag- netischen Strome durch die Fläche ist. Eine Aenderung der Gestalt der Fläche bringt, so lange 'wir die Umfangslinie bei- behalten^ keine Aenderung in dem Betrage des magnetischen Stromes herbei, da der magnetische Strom, wie wir sahen, die solenoidale Bedingung erfüllt (vgl. § 33). Auch der in dem Inductionsgesetze vorkommende Proportionalitätsfaotor kann, soweit es sich um seine numerische Grösse handelt, der Er- fahrung entnommen werden, üeber die Dimension, die ihm zukommt, gibt aber das, was aus den vorhergehenden Be- trachtungen über die Dimensionen der übrigen Grössen her- vorgeht, hinreichenden Aufschluss. Auf Grund dieser Vorbemerkungen lässt sich das Faraday'- sche Inductionsgesetz für unseren Fall durch. die Gleichung Po r{&d% = -G (161) zum Ausdrucke bringen. Sie ist in allen Stücken analog der Gleichung (141) S. 147, die den experimentell festgestellten Zu- sammenhang zwischen dem elektrischen Strome und der ihm zugehörigen magnetischen Kraft zum Ausdruck brachte. Es fehlt zunächst nur der Factor 47r, was in der unsymmetrischen Wahl der den Zusammenhang zwischen 8 und § einerseits und ® und ß andererseits vermittelnden Coefficienten be- gründet ist. Für die- früher eirwähnten rationellen Einheiten Heavisides verschwindet dieser Unterschied. Von fundamentaler Bedeutung ist dagegen die Aenderung des Vorzeichens auf der rechten Seite. Dies wird sich sofort näher zeigen, wenn auf die Betrachtung der Richtungen der vorkommenden Vectoren näher eingegangen wird. Der Proportionalitätscoefficient, von dem vorher die Rede war, hat in Gleichung (161) den Werth 1 erhalten. Wir betrachten dies als Ausdruck der Erfahrung fQr den Fall,, dass alle Grössen im C.-G.-S.-System ausgesprochen sind. Da, wie sich sofort zeigen wird, Gleichung (161) schon ohne Bei- fügung eines solchen Factors in Bezug auf die Dimensionen Digitized by Google Drittes Cap. WechselbezichuDg. zwisch. Elektricität u. Magnetismus. 167 • homogen ist, hat er die Dimension Null und ist daher in jedem Maasssystem gleich der Einheit^ wenn es in einem zu- trifft. Der vermuthete Proportionalitätsfactor ist daher, wie es in Gleichung (161) schon geschehen ist, ganz zu unter- drucken. Selbstverständlich müssen indessen alle. Grössen in Gleichung (161) auf dasselbe Maasssystem bezogen werden, wenn dies zutreffen soll. Im sog. praktischen Maasssysteme tritt d^r Factor 10""® in die Gleichung des Inductionsgesetzes, wie sie gewöhnlich angeschrieben wird nur deshalb ein, weil diese unerlässliche Forderung nicht erfüllt ist. Nach § 49 hat nämlich (S die Dimensionen und nach § 57 sind die von fß Zwischen den unbekannten Dimensionen von fi und K besteht der durch Gleichung (139) S. 146 ausgesprochene Zu- sammenhang. Führen wir der Einfachheit wegen fi auf K zurück, so wird ft = (^-ii-2T2) und wenn man dies in ® einführt Nach Gleichung (158) ergibt sich damit für die speci- fische Intensität g des magnetischen Stromes 8 = \M^L ^T ^K und hieraus weiter für den totalen magnetischen Strom G nach Gleichung (159) (wobei zu beachten ist, dass die Ein- heitsnormale 81 die Dimension Null hat) G = {m^l^t^k 0" Digitized by Google 168 Zweiter Abschnitt. Grandlinien der Maxwell' sehen Theorie. « In der That hat also^ wie man aus dieser Zusammen- stellung erkennt, das Linienintegral von @ dieselbe Dimension wie G und die Gleichung (161) ist an sich schon homogen, so dass ein auf der rechten Seite etwa hinzutretender Factor nur eine absolute Zahl sein dürfte, wie es oben an- gegeben war. § 69. Ableitung der zweiten Hanptgleichnng« Hierzu verfolgen wir genau denselben Weg, der schon aus dem Integralgesetze der Gleichung (141) zu der ersten Hauptgleichung geführt hatte. Wie in § 58 finden wir bei Anwendung von Gleichung (161) auf ein unendlich kleines Flächenstück und dessen Umgrenzung, mit Berücksichtigung des Stokes'schen Satzes, wonach Ji&d% durch curl @ • 9idf ersetzt werden kann: curl«. « = — 9«. Das Minuszeichen auf der rechten Seite wurde hier ein- fach aus Gleichung (161) übernommen, obschon es in jener Formel noch gar keine Rechtfertigung erfuhr und, wenn Gleichung (161) für sich geblieben wäre, auch ebensogut weg- gelassen werden konnte. Wir werden aber jetzt erkennen, dass es eingeführt werden musste, wenn in der vorstehenden Gleichung 81 auf beiden Seiten dieselbe Normalenrichtung be- deuten soll. Zu diesem Zwecke muss eine der Ampere'schen Schwimmer- regel analoge Yorzeichenregel über die Eichtung der mit einem magnetischen Strome verbundenen elektrischen Kräfte zu Hülfe genommen werden. Am besten eignet sich .dazu das Lenz^sche Gesetz, wonach der inducirte elektrische Strom selbst eine magnetische Induction hervorruft, die dem er- regenden magnetischen Strome entgegengesetzt gerichtet ist. — Die beste üebersicht über diese Vorzeichenverhältnisse wird man aus den nachstehenden vier Figuren erhalten, von denen Abbildung 11* die Ampere'sche Schwimmerregel für einen geradlinigen Strom vor Augen führt. Abbildung 11^ Digitized by Google 1 Drittes Cap. Wechselbeziehung, zwisch. Elektricität u. Magnetismus. 1 69 zeigt y was aus der Ampere'schen Regel für die Richtung der von einem elektrischen Ereisstrome ausgeübten magnetischen CD O i •O Achse : elektr. Strom. Kreis: elektr. Strom. Achse: magn. Strom. Kreis: magn. Särom. Kreis: magn. Kraft. Achse: magn. Kraft. Kreis: elektr. Kraft. Achse: elektr. Kraft Abb. IIa. Abb. IIb. Abb. 11c. Abb. 11 d. Kraft folgt. Die beiden folgenden Abbildungen 11° und 11*^ stellen den entsprechenden Zusammenhang zwischen dem magnetischen Strome und der elektrischen Kraft dar und zwar ergibt sich die Richtung der beigesetzten Pfeile^ um deren Feststellung es sich handelt^ für Abbildung 11° un- mittelbar auf Grund des Lenz'schen Gesetzes aus Abbildung 11^ und ebenso gebt Abbildung 11^ aus Abbildung 11^ als Folgerung des Lenz'schen Erfahrungsgesetzes hervor. Die Gedächtnissregeln zur Feststellung der Richtung des unter gegebenen Umstanden inducirten Stromes lassen meist viel zu wünschen übrig. Es möge daher hier darauf hin- gewiesen werden ; dass sie durch die einfache Bemerkung er- setzt werden können^ dass für den magnetischen Strom und die ihm zugehörige elektrische Kraft die Ampere'- sche Schwimmerregel sich genau umkehrt, d.h. dass die von einem magnetischen Strome ausgehende elektrische Kraft entgegengesetzt gerichtet ist wie die von einem elek- trischen Strome ausgehende magnetische Kraft. Allerdings • lässt sich dies unmittelbar nur auf geschlossene elektrische Stromkreise und nicht auf einzelne Leitertheile, die sich in einem magnetischen Felde bewegen zur Anwendung bringen. Aber auch hier kann man sich immer leicht in der Weise Digitized by Google 170 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der MaxweU'schen Theorie. helfen, dass man den bewegten Leitertheil mit beliebig ge- führten ruhenden Leitern, mit denen der bewegte Theil durch Schleifcontacte verbunden ist, zu einem geschlossenen Strom- kreise ergänzt. Man ermittelt dann nach der Ampere'schen Regel unter Berücksichtigung der (nach dem oben Be- merkten) vorzunehmenden ümkehrung die Richtung der in dem geschlossenen Kreise inducirten Kraft und beachtet^ dass diese, wenn das Feld selbst unveränderlich ist, nur von dem bewegten Leitertheile herrührt. Nach meiner Erfahrung ist dieser Modus allen bisher vorgeschlagenen Gedächtnissregeln unbedingt vorzuziehen- Nach dieser Abschweifung kehre ich zur Prüfung der Vorzeichen in unserer Gleichung zurück. Der Fall, auf den sich die Gleichung unmittelbar bezieht, wird durch Abbildung 11® dargestellt. Nennen wir wieder, wie früher, a einen vom Mittelpunkt der Fläche df nach dem Umfange hingehenden Radiusvector, so ist die auf der linken Seite der Gleichung vorkommende Normale Ä in solcher Richtung zu wählen, dass a, d^, jtt oder auch a, ®, Ä ein Rechtssystem im Räume bilden, denn diese Normale jtt kam durch die Anwendung des Stokes'schen Satzes in die Gleichung (vgl. § 30). Ein Vergleich mit Abbildung ll"* zeigt, dass diese Normalen- richtung der des magnetischen Stromes g entgegengesetzt ist. Behalten wir diese Bedeutung von Jll^ei, so erhält die linke Seite der Gleichung jedenfalls, wie aus den Entwickelungen in § 30 hervorgeht, einen positiven Werth. Das scalare Product 9 81 andererseits würde einen positiven Werth an- nehmen, wenn man für Ä die mit dem magnetischen Strome gleichgerichtete Normale setzte. Soll also auf beiden Seiten der Gleichung Ä dieselbe Bedeutung besitzen (und zwar gleich- gültig, welche von beiden), so muss auf der einen Seite jtt durch — Ä ersetzt werden. Auf diese Weise kommt in der That das Minuszeichen in die Gleichung. Beachten wir nun ferner noch, dass die Gleichung für jede Normalenrichtung, also für jede beliebige Stellung des Flächenstücks gültig bleibt, so können wir, wie in § 60, Digitized by Google Drittes Cap. Wechselbeziehung, zwisch. Elektricitat u. Magnetismus. 171 schliessen, dass die Gleichung auch noch richtig bleibt, wenn wir den Factor 9t auf beiden Seiten streichen. Damit erhalten wir die zweite Hauptgleichung curl e = — 9 (162) Ersetzen wir hierin g nach GL 158 durch ©, so erhalten wir auch curie = - » (i§ . . . . (163) Die Symmetrie der Formeln beim Vergleiche der beiden Hauptgleichungen wird dadurch etwas gestört, dass in Gleichung (153) der Factor 4ä vorkommt, der in Gleichung (162) fehlt. Dies liegt aber nur an der wenig glücklichen Wahl der heute eingeführten Maasseinheiten, wie* schon aus den Bemerkungen nach Gleichung (161) hervorgeht. § 70. Zusammenstellung der Dimensionen der in diesem Abschnitte eingeführten Grössen. Bei allen unseren Formeln ist auf den Einfluss des Mediums gebührend Rücksicht genommen, d. h. es ist nirgends (i oder K vernachlässigt worden. Wollte man dies nachträg- lich goch thnn, so würde man dadurch auf das im elektro-, magnetischen bezw. elektrostatischen Maasssjsteme ange- nommene System der Dimensionen gelangen. Wir thun dies aber nicht und erheben darum den Anspruch, dass die von uns ermittelten Dimensionen dem wahren physikalischen Character dieser Grössen entsprechen. Allerdings bleibt dabei vorläufig eine unbekannte Dimension in dem Systeme zurück. Man wird die wichtigsten Aufschlüsse davon erwarten dürfen, wenn es einst gelingt, diese fest- zustellen, und damit alle Dimensionen fehlerfrei (und nicht willkürlich, wie in den alten Systemen) auf die drei Grund- einheiten zurückzuführen. . Man kann geradezu sagen, dass die Ermittelung dieser einen, -uns noch unbekannten Dimension mit der anderen Aufgabe zusammenfällt, das Wesen der elektrischen Er- Digitized by Google 1 172 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. a o • pH QQ a a f-4 08 H 3. b4 i. oq|m <\^ .^ \q 1^ - I" • -h|« a. -K -.i" -1"^. I ^ t4 Im !^ I ^ H co|m I 1^ -I? w|^ ,^ !^ -! !^ ^ i^ bd M M k I, M i«! n s i I Ol 'S S ts^ 'S ^ a ^ o ^ 4» I d5 cd bej ^ o o P na a d I iS ^ S ^ tu a CO I i d ^ Digitized by Google Drittes Cap. Wechselbeziehung, zwisch. Elektricität n. Magnetismus. 173 1 7 'i M 1 1 T M 1 ^ 1 CLj '^ 't. 'e. es «Im 1 es E-i - «^ ^ «h «jIm «1« ^|m ^JM ih|m i-i|m 'h «Im -1« - «^ L i, 1 iH M t4 |m ^ Im -^1« rHJM 1-1 |m ^|m -1» H S3- 3. -'\ U 1^ ' a. U ':. '«. :l -^'^ «1« « T 1 M 0« M 1 i-i 1 f 1 Es 1 1 _i Iah 'eh »Im ^ ,^ «1« - " r-l|M 00 Im coJM 1 ^|m 7 ^ 7 "'"^> ^^ ^1« *h|m «hIm 1 ^iM -1« ^ -H 1 1^ ' . 'HM 1 ^1« »hIw ^|m w|m MM ^ ^i "^li 'm ^ ^ rH|M 'm 'm 73 a 03 1^ u 2 a o OQ 'S I ''S 1 I I o o '■1 o> g -g 33 S ^ s 1 Sä. §• a O .3 1 5 ■■§ 00 o 03 (I) Digitized by Googk 174 Zweiter Abschnitt. Grundlinien der Maxweirschen Theorie. schein uDgen zu ergründen. Beide Fragen werden zu gleicher Zeit ihre Beantwortung finden. Die Aufstellung der Dimensionen bildet daher eine Angelegenheit von nicht zu unterschätzen- der Wichtigkeit. Es wird sich daher rechtfertigen, wenn ich hier nochmals alle bisher in diesem Abschnitte aufgestellten Dimensionen zusammenstelle und daran die bisher noch nicht aufgeführten anschliesse. Für jede Dimension werde ich der bequemeren üeber- sicht und Vergleichbarkeit wegen, zwei Ausdrücke geben, indem ich einpal K und das andere Mal fi als die eine Grösse ansehe, über deren Dimension sich bisher nichts ent- scheiden liess. Die dritte Spalte harrt noch ihrer Ausfüllung. Ich habe sie herstellen lassen, obschon ich sie nicht auszufüllen ver- mag, theils um dem Leser Gelegenheit zu geben, dies nach- träglich zu thun, sobald die Frage • entschieden ist (oder auch hypothetisch nach den Conjecturen, die sich gei:ade über diesen Punkt so leicht anstellen lassen), namentlich aber um einstweilen den Leser stets, wenn er die Tafel zu Eathe zieht, daran zu erinnern, dass uns die wahre Abhängigkeit aller dieser Grössen von jeder der drei Grundeinheiten vorläufig noch unbekannt ist. I Digitized by Google Dritter Abschnitt. Weiterer Ansban des Systems. Erstes Capitel. Die elektrod^amisclien nnd die magnetodynamisclien Kräfte. § 71. Fonderomotorisohe Kraft an einem Stromelemente. Wie im vorigen Abschnitte knüpfe ich auch in diesem wieder unmittelbar an die Erfahrung an. Dass die Erfahrung nothwendig zu den von ihr gelieferten Ergebnissen führen musste^ wenn das Gesetz von der Erhaltung der Energie im Zusammenhange mit den früher festgiestellten Beziehungen befriedigt werden sollte, wird sich dann nachträglich zeigen. — Es ist gewiss besser, die Zahl der Ausgangspunkte bei der Darstellung einer Theorie möglichst zu beschränken, wenn diese Ausgangspunkte hypothetischer Natur sind und durch jeden ein neues Element der Ungewissheit in das System hineingetragen wird. Das trifft aber hier keineswegs zu, wo nur ein mit aller Sicherheit festgestelltes Naturgesetz in Frage .kommt. Ein Tadel über die von mir gewählte Behandlung kann sich daher höchstens gegen die Eleganz der Form richten und kann nicht zu einem Zweifel an der thatsächlichen Be- rechtigung der gewählten Grundlagen führen. Man bedenke aber dabei, dass ich mir die möglichst elementare und leicht- verständliche Behandlung des Gegenstandes zur obersten Richt- schnur machte, wenn ich dabei auch durchaus nicht gesonnen war, ihr die strenge Durchführung des ganzen Systems in irgend einem Punkte zum Opfer zu bringen. Das ganze Digitized by Google 176 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau dea Systems. Lehrgebäude kann aber nur an Klarheit und Durchsichtigkeit und zugleich wohl auch an Zuverlässigkeit gewinnen ; wenn es sich überall möglichst unmittelbar auf die eigentlichen Erfahr ungsthatsachen, mit denen Jedermann wohl vertraut ist, stützt Das Ampere'sche Gesetz über die ponderomotorische Kraft zwischen zwei Stromelementen, das der Darstellung der Elektrodynamik sonst gewöhnlich zu Grunde gelegt wird, dürfte ich freilich nicht zu einem solchen neuen Ausgangs- punkte wählen. Denn dieses sogenannte Gesetz ist keineswegs der unmittelbare Ausdruck einer wirklichen Erfahrung, es ist nur eine auf hypothetischem Wege gewonnene Abstraction aus einer solchen. Die ponderomotorische !ffiraft zwischen zwei Stromelementen oder überhaupt zwischen zwei Strom- theilen ist der Beobachtung gar nicht zugänglich, da, wenigstens im Sinne der Maxweirschen Theorie, ungeschlossene Ströme überhaupt nicht vorkommen. Schon der umstand, dass das Grassmann'sche Gesetz der Pernwirkung zwischen Strom- elementen die wirklich beobachteten Erscheinungen ebensogut zu erklären vermochte, wie die Ampere'sche Hypothese, zeigt dies deutlich genug. — Aber auch selbst wenn diese Unsicher- heit nicht hinzukäme, wäre das Ampere'sche Gesetz ein durch- aus ungeeigneter Ausgangspunkt für die Darstellung der Maxwell'schen Theorie, da es sich nur auf die letzte Aeusserung und nicht auf die Art des Zustandekommens der pondero- motorischen Kraft durch die Vermittelung des Mediums bezieht. Ganz anders ist es mit der ponderomotorischen Kraft, die an einem Stromelemente wirkt, wenn sich dieses in einem, magnetischen Felde befindet, das auf beliebige Art zu Stande gekommen sein kann. Deren Grösse und Bichtung wird in der That unmittelbar durch den Versuch bekannt. Zwar muss auch hier das Stromelement noth wendig zu einem ge- schlossenen Stromkreise gehören, wir können es aber mecha- nisch von dessen Rest so isoliren, dass die an ihm angreifende ponderomotorische Kraft der Messung unmittelbar zugänglich wird. Dazu ist nur nöthig, den betreffenden Stromtheil Digitized by Google Erstes Capitel. Die elektrodynamiscb. u. magnetodynamiflch. Kräfte. 177 mit dem Beste des Stromkreises durah Gleitstellen .zu ver- binden: elektrisch hängen dann beide zusammen, mechanisch sind sie aber völlig getrennt. Verwirklicht wird diese An- ordnung in dem bekannten Ampere'schen Fundamental versuch. Das Ejgebniss der auf diesem Wege gewonnenen Er- fahrung lässt sich ohne jede -Hypothese wie folgt zusammen- fassen. Stellt zunächst die Richtung des Stromelementes d% senkrecht zur Richtung des Feldes ö, so greift an ihm eine Kraft f^ an, rechtwinklig zu d^ und fß und zwar so, dass die Aufeinanderfolge äl, fß, % ein Rechtssystem im Räume bildet, deren Tensor F ferner gleich IdsB ist, wenn mit I die Stromintensität bezeichnet wird. Vorausgesetzt wird dabei, dass d% in demselben Sinne wie die Stromrichtung gezählt wird. Wenn 8 zu äl gleich oder entgegengesetzt gerichtet ist, wird f^ zu Null. Bei beliebiger Richtung von 18 und d§ ist der Veclor ö in zwei Componenten zu zerlegen, von denen eine in die Richtung von d^ fallt und nichts zu f^ beiträgt, während die andere zu d% senkrechte Componente eine sich nach .der vorhergehenden Regel bestimmende Kraft fj hervorbringt. Alle diese Aussagen werden durch die folgende vereinigt wiedergegeben: 5 = /..Vrf8» (164) Aus dem Begriffe des Vectorproducts (§ 7 S. 15) geht nämlich sofort hervor, dass die Gleichung das verlangte Resultat liefert, wenn 8 rechtwinklig zu d^ steht. Ebenso wird, wenn 8 und d% gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind, ihr Vectorproduct zu Null. Bildet schliesslich fß irgend eine Winkel mit d8, so geht das Vectorproduct bei der oben filr fß angewendeten Zerlegung in V^^ö' + V^^ö' (über, wovon das erste Glied, falls fß' die mit d% gleichgerichtete Com- ponente bedeutet, verschwindet. In jedem Falle wird daher die Kraft % nach Grösse und Riohtung durch Gleichung (164) ib Uebereinstimmung mit der Erfahrung angegeben. Man könnte nur insofern im Zweifel sein, ob fß oder $ zur Messung der Intensität des maguetischen Feldes zu ver- Föppl, Maxwell'sche Theorie der Elektricität. 12 Digitized by Google 178 Dritter Abscknitt. Weiterer Aasban des Systems. wenden* sei. Denn die Erfahrungen ^ um die.es sich hier handelt, sind, wenigstens der überwiegenden Mehrzahl nach, durch Beobachtungen im Lufträume gewonnen und in diesem . ist unter Zugrundelegung des gewöhnlich gebrauchten elektro- magnetischen Maasssystems ^ von gleicher Grosse mit S. Das gilt aber nur für dieses willkürliche Maasssystem, während Gleichung (164) ein von jeder derartigen Wahl unabhängiges Naturgesetz ausspricht. Man kann also leicht entscheiden, ob fß oder $ in Gleichung (164) einzufahren ist, indem man prüft, ob sie in dem einen oder anderen Falle homogen in Bezug auf die Dimensionen ist. Setzt man die in § 70 zu- sammengestellten Dimensionen in Gleichung (164) ein, so erkennt man sofort, dass sie in dieser Form in der That homogen ist, während dies nicht zuträfe, wenn man S durch ^ ersetzen wollte. Zugleich folgt aus dieser Betrachtung weiter, dass Gleichung (164) ftlr jedes Medium gilt, welches auch die ihm zukommenden Werthe von K und ft sein mögen. Im anderen Falle, wenn ö durch § ersetzt würde, könnte «ie nur für ein bestimmtes Medium und für ein bestimmtes Maasssystem zutreffen. § 72. Umformung von Gleiehtmg (164). Gleichung (164) bezieht sich auf lineare Leiter und stellt, da I bei der Anwendung auf einen bestimmten Fall stets ein Oberfläciienintegral über den Leiterquerschnitt bedeutet, kein eigentliches Differentialgesetz dar. um ein solches aus Gleichung (164) abzuleiten, ist es nur nöthig, diese Gleichung auf ein körperliches Stromelement anzuwenden. In der Rich- tung der Strömung i denke ich mir in dem elektrisch durch- strömten Körper einen unendlich kleinen Cylindar von der Länge dl (scalar genommen) und dem Querschnitte df ab- gegrenzt. Für dieses Stromelement geht Id^ in idfdl über und Gleichung (164) liefert ^ = dfdlYi». Digitized by Google 1 J Erstes Capitel. Die elektrodynamiscb. u. magnetodynamisch. Kräfte. 179 Das Product ,dfdl kann durch das Volumenelement dv ersetzt werden. Sobald dies geschehen ist^ bleibt die vor- stehende Gleichung aber auch für jedes beliebig abgegrenzte Yolumenelement gültig. Denn ein solches lässt sich stets in Elemente höherer Ordnung von der früheren Abgrenzungsart zerlegen und die elektrodynamische Kraft an dem ganzen Elemente ist gleich der Vectorsumme der % an allen Theilen. Allgemein ist daher 5 = dt;Vi». Wir wollen aber von jetzt ab dem Buchstaben $ eine^ andere Bedeutung beilegen^ nämlich die auf die Volumen- einheit bezogene ponderomotorische Kraft an der betreffenden Stelle des elektrisch durchströmten Leiters darunter verstehen. Hierbei ist nur zu beachten ^ dass % dann nicht mehr die Dimension MLT—^y sondern ML-~^T-^ hat und dass die mechanische Kraft aus ihm erst durch Multiplication mit einem Volumen gefunden wird. Man könnte daher % in seiner neuen Bedeutung als die specifische elektrodynamische Kraft bezeichnen. Unter diesen Festsetzungen erhalten wir aus dem Vor- hergehenden als das Differentialgesetz der an Leitungd'- strömen angreifenden elektrodynamischen Kräfte: 5=Vi» ........ (165) § 73. Erweiterung des Satzes. Nach der MaxwelFschen Theorie stellt i nicht die wahre elek- trische Strömung, sondern nur einen Theil davon dar. Um den wahren Strom zu erhalten^ müssen wir noch den Verschiebungs- ström ® und den Convectionsstrom q^ • tt mit einrechnen. Es ist eine der fundamentalen Hypothesen der ganzen Theorie, dass die beiden anderen Theile in jeder Hinsicht mit { gleich- werthige Grössen bilden und dass daher von ihnen überall, wo es sich um ihre Beziehungen zu den elektrischen, mag- netischen und elektrodynamischen . Feldern handelt, dasselbe 12* Digitized by Google 180 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. wie von i gilt. Auch Gleichung (165) bedarf daher einer Erweiterung; sobald neben i noch die anderen Bestandtheile des wahren Stromes auftreten. Die erweiterte Gleichung bildet dann allerdings nicht mehr wie Gleichung (165) den Ausdruck einer experimentell festgestellten Thatsache. Sie beruht daneben auf der genannten Hypothese: sie steht und fällt mit dieser, d. h. mit der MaxwelFschen Theorie überhaupt. Nach der MaxwelVschen Theorie ist demnach Gleichung (165) zu ersetzen durch (vgl. § 66) 5=Vc»=Vi»+V»» + div2)Vtt» . (166) wofür auch mit Bücksicht auf die erste Hauptgleichung (Gleichung 153, S. 158) gesetzt werden kann »=iV<'»''^» (167) Durch AnwenduDg der in den Gleichungen (85) und (86), S. 64 ausgesprochenen Bechengesetze kann man diese Gleichung noch auf eine der beiden folgenden Formen bringen: Diese Gleichung gilt übrigens, wie die erste Haupt- gleichung in der ihr im vorigen Abschnitte gegebenen Forin nur im Innern magnetisch weicher Körper (vgl. die Schluss- bemerkung von § 60). Femer ist zu beachten, dass in iso- tropen Körpern zwar ö mit ^ gleichgerichtet und das Vector- product aus ihnen daher gleich Null ist, dass aber die Ausführung der partiellen Operation curl^ daran trotzdem ein von Null verschiedenes Besultat liefert. Für das scalare Product §8 kann man nach Gleichung (129), S. 123 StcT schreiben, wenn unter T die auf die Volumeneinheit bezogen» magne- tische Energie verstanden wird. Nun ist für isotrope Körper 85 = ft§, und überall wo ft constant ist B^dJ^i/dx «= H^^^i/dx u. s. f., daher auch V^§85 = V©§85. Die Summe beider Aus- drücke liefert aber das totale V$93. Beachtet man schliess- Digitized by Google Erstes Capitel. Die elektrodynamisch, u. magnetodynamiscli. Kräfte. 181 lieh noch, dass div8 überall Null und für eonstantes fi daher auch div ^ =« ist, so folgt aus Gleichung (168) ferner noch ?J = Ä(»V)$-VT = ^curl^V§«-VT (169) Diese Gleichungen gelten indessen nur für das Innere magnetisch weicher und isotroper Körper mit constanter Permeabilität. § 74. Magtietodynamisehe Kräfte. Nach der zwischen den elektrischen und magnetischen Erscheinungen bestehenden Dualität müssen wir erwarten, dass auch an den von magnetischen Strömen durchflossenen Körpern ponderomotorische Kräfte auftreten. Allerdings be- stehen die magnetischen Ströme nur aus den Inductions- strömen, also jenen, die den Verschiebungsströmen der elek- trischen Seite entsprechen. Gerade für diese war aber das Gesetz der elektrodynamischen Kräfte nicht unmittelbar aus der Erfahrung bekannt, sondern erst auf Grund der Maxwell'- schen Hypothese über die Zusammensetzung des wahren Stromes erschlossen. Die jetzt aufzustellenden Gleichungen beruhen daher ebenfalls auf dieser Hypothese und auf dem Principe der Dualität zwischen den beiden Seiten des Elektro- magnetismus (man kann dieses der Kürze halber das Heavi- side^sche Princip nennen). Einer Prüfung durch die Erfahrung sind die „magnetodynamischen*^ Kräfte nicht zugänglich, da ihre aus der Theorie hervorgehende Intensität zu gering ist, um ^sich bemerklich machen zu können. Doch kann man, wie s.ich^^^päjie]|^^ zeigen wird, die Nothwendigkejt ihres Auftretens ebenso a&dem.jBnergieprincip ableiten wie die der elektro- dynamischen Kräfte 'aus den inducirten elektromotorischen ^äftfen-oder umgeke6rt,^^fiföbald nur zugegeben wird, dass Digitized by Google 182 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. die elektrischen Yerschiebungsstrome ein magnetisches Feld hervorbringen; d. h. dass sie Bestandtheile des wahren elek- trischen Stromes sind. — Die Fernwirkungslehre kennt natürlich keine magnetodynamischen Kräfte, ebensowenig wie elektrische Yerschiebungsstrome oder magnetische Ströme. Nach dieser Umschreibung der Stellung, die dem Gesetze der hypothetischen magnetodynamischen Kräfte in dem ganzen Systeme zukommt, schreibe ich in Anlehnung an Gleichung (165) bezw. (166) die Gleichung an, die es in Form eines DiflPe- rentialgesetzes zum Ausdrucke bringt. Dabei ist nur zu beachten, dass, wie sich schon früher ergab, die von mag- netischen Strömen erzeugten elektrischen Kräfte gerade ent- gegengesetzt gerichtet sind wie die von elektrischen Strömen herrührenden magnetischen Kräfte (vgl. § 69). Man muss daher auch eine entgegengesetzte Richtung der pondero- motorischen Kräfte erwarten. Mit dieser Directive erhalten wir nach dem Dualitätsprincipe aus Gleichung (166) r = -V9»=v»9=v»» . . . (170) Diese Gleichung und namentlich auch das in ihr gewählte Vorzeichen wird späterhin noch eine weitere Rechtfertigung erhalten. Die magnetodynamische Kraft ist hier zum Unterschiede von der elektrodynamischen mit ^' bezeichnet. Wenn in einem Körper gleichzeitig magnetische Inductions- und elek- trische Verschiebungsströme vorkommen, wie beim Fort- schreiten einer elektromagnetischen Störung in einem Dielek- tricum, haben wir im Ganzen die ponderomotorische Kraft S^ + S^' auf die Volumeneinheit bezogen. Aus Gleichung (166) und Gleichung (170) ergibt sich dafür (vgl. Gleichung 28, S. 33) f^ + f^'=V»»+Vä)» = ^Jä)« . . (171) Unter Berücksichtigung der zweiten Hauptgleichung, Gleichung (162), S. 171 kann man für f^' ferner schreiben 5'=Vcurie.2) ..... (172) Digitized by Google . Erstes Gapitel. Die elektrodynamisch, a. magnetodynamiscli. Kräfte. 183 woran sich wiederam weitere analytische Umformungen knüpfen lassen, genau wie im vorigen § %^ Gleichung (167). Es ge- nügt, zu bemerken, dass Gleichung (168) und (169) bei Unter- drückung des Factors 43r die Werthe von .5' angeben, wenn man darin die magnetischen^ Grössen durch die entsprechenden elektrischen ersetzt. Vorher war schon bemerkt, dass %' sich wegen seiner Kleinheit nicht beobachten lasse. Ein Zahlenbeispiel möge dies naher begründen. Die elektrische Starke der Luft kann auf etwa 30 000 Volt für 1 cm gesetzt werden, d. h. wenn das elektrische Potentialgefall diesen Werth übersteigt, tritt eine disruptive Entladung ein. (Nebenbei bemerkt, ist diese dis- ruptive Entladung im Sinne der Maxweirschen Theorie zweifel- los als ein Leitungsstrom zu bezeichnen). Wir haben daher schon ein sehr hohes elektrostatisches Feld, wenn wir iS gleich 10000 Volt für 1 cm, d. h. in elektromagnetischen C.-G.-S. Einheiten gleich 10^^ setzen. . 3> wird dann nach Gleichung (115) gleich lO^^K/iJt. Nun ist aber, wenn wir, wie hier, das elektromagnetische Maasssystem gebrauchen, fi für die Luft gleich 1 gesetzt, und da in der Luft die in Gleichung (140), S. 146 vorkommende Geschwindigkeit vzu etwa 3 • 10^® ermittelt ist, erhalten wir für K nach Gleichung (140) K=j' 10~^®. Für ein anderes Dielektricum ist K zwar grösser als für Luft;, es wird aber nicht leicht den Werth 10""^® übersteigen können. Es ist ferner mit Schwierigkeiten' ver- bunden, eine Induction fß hervorzubringen, die merklich grösser als 10* C.-G.-S. Einheiten ist (der grösste auf geringe Aus- dehnung hin überhaupt bisher erzielte Werth von ö beträgt davon das 3 bis 4-fache). Nehmei^ wir nun an, dass 8). im hundertsten Theile einer Secunde von diesem Werthe bis auf Null abnimmt, so ist g = 10^ zu setzen. Führt man diese Werthe in Gleichung (170) ein, so erhalt man für ^' bei günstigster (nämlich rechtwinkliger) Lage zwischen g und S ungefähr den Werth 0,0008 Dynen pro ccm des Mediums. Das macht, wenn Mas Medium das specifische Gewicht 1 hat, Digitized by Google 184 Dritter Abschnitt, Weiterer Ausbau des Systems. etwas weniger als den Millionsten Tbeil von dem Gewichte des Körpers aus und diese «Kraft wirkt nur den hundertsten, bezw. fünfzigsten Theil einer Seeunde auf den Körper ein. Dabei waren alle Bedingungen so gewählt, um einen möglichst grossen Werth der magnetodynamischen Kraft zu erzielen. Nur ein Mittel würde es geben, die Kraft f^' nocli über den berechneten Werth hinaus erheblich zu steigern, nämlich wenn man eine schnellere Aenderung von 83 wählte. Man brauchte in der That unter den vorher angegebenen Umständen ö nur 100 Millionen solcher Viertelschwingungen in der Seeunde ausführen zu lassen, um zu magnetodynamischen Kräften zu gelangen, die von gleicher Grössenordnung mit dem Gewichte der davon betroffenen Körper wären. Da diese Kräfte aber nur für so kurze Zeit andauern und dann in die entgegengesetzte Bichtung verkehrt werden, können sie auch unter diesen Umständen keinen bemerkbaren mechanischen Effect hervorbringen. . Auf die durch elektrische Verschiebungs- und Convections- ströme hervorgerufenen elektrodynamischen Kräfte lässt sich natürlich diese Betrachtung ebenfalls anwenden: auch diese Kräfte fallen so gering aus gegenüber den durch elektrische Leitungsströme hervorgerufenen, dass es sehr schwierig ist, sie durch den Versuch unmittelbar nachzuweisen. Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrischen und magnetischen Kräfte. § 75. Definition der eingeprägten Kräfte. Schon die Mechanik der wägbaren Materie kennt den Begriff der eingeprägten oder, wie sie hier gewöhnlich ge- nannt wird, der äusseren Kraft. Man versteht darunter eine Kraft, die nicht durch die Bedingungen, denen das betrachtete System an sich unterworfen ist, mit bestimmt wird, sondern Digitized by Google Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 185 die in willküilicher- Weise mit Hülfe von Mitteln, die in keinem noth wendigen Zusammenhange mit dem Systeme stehen, daran angebracht werden. So stehen in einem aus elastischen Körpern aufgebauten Systeme die darin auftretenden Spannungen oder inneren Kräfte in einem gesetzmässigen Zusammenhange unter sich und unter den elastischen Deformationen und den Beschleunigungen; äussere Kräfte können aber in ganz will- körlicher Weise daran angebracht werden. Geschieht dies, so wirken sie allerdings auf den ganzen Verlauf der inneren Kräfte bestimmend ein, aber nur in dem Sinne, dass dadurch die Bedingungen, denen das System unterworfen ist, eine Aenderung erfahren haben. Die äusseren Kräfte stehen daher den Vorgängen im Systeme in dem Verhältnisse von Ursache und Wirkung gegenüber. Oft wird freilich auch in dem als Beispiel angeführten Falle eine äussere Kraft nur zu dem .Zwecke eingeführt, eine Bedingung anderer Art, der das System unterworfen is4, bei der Behandlung der Aufgabe zu ersetzen. So wird, wenn ein Punkt des Systems genothigt ist, auf einer gegebenen Fläche zu bleiben, die Aufgabe oft so behandelt, als wenn diese Bedingung beseitigt wäre, dafür aber eine zur Fläche normale äussere Kraft an dem . Punkte angenommen, deren Grösse nachträglich so gewählt wird, dass die Bedingung erfüllt wird. Hier fällt die Willkür in der Wahl der äusseren Kraft zuletzt wieder fort, die ganze Behandlung der Aufgabe erfolgt aber docb in der Art, dass die äussere Kraft ohne Rücksicht auf die übrig bleibenden Systembedingungen gewählt werden kann. Eine solche. Behandlung hat sich in vielen Fällen auch in der Elektricitätslehre als vortheilhaft erwiesen. Wir be- trachten daher von jetzt ab auch solche Fälle, bei denen aus Veranlassungen, über die wir keine Rechenschaft geben wollen oder geben können, also gewissermaassen von aussen her, elektrische oder magnetische Kräfte in dem Systeme auftreten, die ohne Rücksicht auf die übrigen Systembedingungen be- liebig gegeben sein können. Diese sKräfte werden eingeprägte genannt. Digitized by Google 186 Dritter AbscliDitt. Weiterer Ausbau des Systems. Wenn es uns bei der Einführung der. eingeprägten Kräfte nur darum zu, thun ist^ die Aufgaben zu vereinfachen; wenn wir also zwar im Stande wären, die Umstände näher dar- zulegen, die zum * Auf treten der Kräfte führten und führen mussten, und nur der vereinfachten Behandlung wegen davon absehen, eine nähere Rechenschaft darüber abzulegen^ ist die Sache offenbar ganz unbedenklich.. Misslicher ist es, wenn wir keine Rechenschaft darüber geben können. Die Ein- führung der eingeprägten Kräfte bildet dann ein Zugeständniss dafür, dass die Theorie in den wahren Zusammenhang dieser Dinge noch nicht einzudringen vermochte. Wir finden uns auf diesem* Wege mit experimentell festgestellten Thatsachen, für die wir keine zureichende Erklärung haben, in summa- rischer Weise ab. Die eingeprägten Kräfte bilden daher in solchen Fällen nur einen Behelf bis auf Weiteres, bis es nämlich dem Portschritte der Wissenschaft gelingen wird, weitexe Aufschlüsse über sie zu geben. *Auch für die äusseren Kräfte an dem vorhin betrachteten Systeme elastischer Körper trifft dies zu. Sind die äusseren Kräfte, z. B. Lasten, die wir in beliebiger Yertheilung auf- bringen können, so bildet die Veranlassung für ihr Auftreten . die Thatsache der allgemeinen Gravitation der Körper in ihrer Anwendung auf die Schwerkraft. Wir haben ihr Auftreten hiermit auf eine allgemeinere Ursache zurückgeführt, die freilich selbst noch der weiteren Aufhellung harrt. Aus diesen Betrachtungen geht hervor, dass das Operiren mit eingeprägten Kräften grosse Vorsicht erheischt. Es bildet aber das einzige Mittel, um beim gegenwärtigen Zustande unseres Wissens die experimentell festgestellten Thatsachen im Rahmen einer Theorie möglichst vollständig wiederzugeben. § 76. Auffassung der indueirten elektrischen Kräfte als eingeprägte Eräfte. Unter allen elektriscben Kräften sind es die in ruhenden Leitern durch Veränderungen des magnetischen Feldes in- Digitized by Googie Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 187 ducirten Kräfte ^ für die wir die Bedingangen des Auftretens am besten kennen. Bei ihnen liegt daher am wenigsten Ver- anlassung dazu Yor^ sie als eingeprägte Kräfte zu behandeln. Freilich ist auch gerade darum diese Behandlung am wenigsten •bedenklich, wenn sie nur zur Vereinfachung der Darstellung gewählt wird, denn wir sind in jedem Augenblicke, falls es sich als wünschenswerth herausstellt; im Stande, auf die tiefer liegenden Ursachen zurückzugehen. Sobald wir die in einem Stromkreise inducirten Kräfte als eingeprägte einführen, können wir den Stromverlaaf in diesem Kreise in jedem Augenblicke auf Grund des Ohm'schen Gesetzes in seiner einfachsten Gestalt angeben, indem wir dabei weiterhin nur noch auf die PotentialdiflFerenzen Rücksicht nehmen, die Aufgabe also so behandeln, als wenn gar keine Induction in Frage käme. An der Stelle, wb die eingeprägten Kräfte auftreten, fingiren wir dabei elektromotorische Kräfte von derselben. Art, wie sie in einer galvanischen Batterie auftreten. In dieser Art wird die Aufgabe sogar gewöhnlich behandelt. Daher kommt es, dass die Schriftsteller der elektro- technischen Litteratur so häufig die elektromotorische Kraft einfach als ein Synonym der Potentialdifferenz ansehen. In Wirklichkeit wird dabei freilich eine ihren Wirkungs- bedingungen nach vergleichsweise sehr gut bekannte elektrische Kraft durch eine andere, nämlich die galvanische Kraft, ersetzt, deren Wesen weit mehr in Dunkel gehüllt ist. Im Allgemeinen empfiehlt es sich desshalb nicht, die inducirten Kräfte als eingeprägte zu behandeln, wenigstens soweit es sich um die in ruhenden Körpern handelt. Dagegen dient es zuweilen zur Vereinfachung der Darstellung, die durch Bewegung von Körpern in magnetischen Feldern inducirten elektrischen Kräfte zu den eingeprägten hinzuzuschlagen. ^ § 77. Die elektrische Contaotkraft. Die Erfahrung lehrt, dass ein Zink- und ein Kupferstück (oder überhaupt zwei Leiter verschiedener Art) die in innige Digitized by Google 188 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. Berührung zu eiDander gebracht, also etwa an der Berührungs- stelle zusammengeschmolzen werden, ein verschiedenes elektro^ statisches Potential annehmen. Dabei sind noch die Fälle zu unterscheiden, dass entweder beide Körper rnetallische Leiter oder dass mindestens einer voü ihnen ein Ektrolyt ist Im letztern Falle wird die Contactkraft speciell als hydroelektrische Kraft bezeichnet. Nach der (besonders von Exner vertretenen) Ansicht mancher Physiker sind zwar beide Fälle ajs identisch zu betrachten, indem auch bei der Berührung von Metallen eine (durch den Sauerstoff der Luft u. s. f. eingeleitete) chemische Umsetzung die Veranlassung zum Auftreten des elektrischen Spannungsunterschiedes bildete. Sollte diege Ansicht richtig sein, so würde die hier getroflfene Unterscheidung hinfällig werden: Es scheint jedoch schwer möglich zu sein, ohne die Annahme einer elektrischen Contactkraft auszukommen, die von chemischen Umsetzungen unabhängig wäre. Wir werden daher hier voraus- setzen, dass solche Contactkräfte, die wir mit Mo bezeichnen, wirklich auftreten und sie sorgfältig von den hydroelektrischen Kräften ®a unterscheiden, die an chemische Umsetzungen ge- bunden sind. In diesem § soll nur von den Kräften @c die Rede sein. Ueber das Auftreten der Kräfte 6c haben sich bisher zwei verschiedene Anschauungen geltend gemacht, auf die etwas näher eingegangen werden soll. Die eine gipfelt in der V. Helmholz'schen Theorie der Doppelschichten, die andere rührt von 0. Heaviside her. Man setze den Fall, dass die Elektricität — sei es die freie oder die wahre — materielle Existenz habe und dass diese Materie von dem einen Stoffe auf molekulare Abstände hin mehr angezogen werde als von dem anderen. Unter diesen Umständen wird an der Löthstelle eines vorher un- elektrisch gedachten Zink-Kupfer-Stabes eine Kraft auftreten, die eine elektische Strömung nach der einen Seite (nach der des Zinks) hin bewirkt. Den Oberflächen beider Vheile des verbundenen Körpers werden dadurch elcÄ*ri^lifej'^lJÄ«ftfaigen zugeführt, so lange bis Gletd&g^i^ibht ieifi]geh(64»fii<'*lilt. '^'4^ Digitized by Google Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 189 Gleichgewichtsfalle, mit dem wir uns zu beschäftigen haben, ist im Innern beider Metalle (B sowohl als S überall Null. In den äusseren Raum erstreckt sich dagegen ein Kraft- und Yerschiebungsfluss und vielleicht geht ein solcher auch an der Löthstelle zwischen den Grenzschichten hindurch. Anstatt an die Existenz eines elektrischen Fluidums an- zuknüpfen, wie es im Zusammenhange mit diesen Betrachtungen üblich ist, braucht man übrigens nur vorauszusetzen, dass an den Uebergangsstellen eingeprägte, also nicht durch irgend eine andere bekannte Ursache, sondern nur durch den Wechsel in der chemischen Natur des Körpers hervorgerufene elektrische Kräfte auftreten. Man ändert dadurch gar nichts an dem ganzen Zusammenhange und kann ebensogut wie vorher alle weiteren 'Folgerungen der Theorie* der Doppelschichten daraus ableiten. Diese eingeprägten Kräfte sind die Contactkräfte (S^ Zur besseren Yeranschaulichung sei angenommen, dass der Uebergang des einen Metalls in das andere ganz allmählich erfolge, dass er also durch eine der procentischen Zusammen- setzung nach continuirlich veränderliche Legirung aus beiden Metallen gebildet werde. Die Contactkräfte sind dann über eine endliche Länge hin vertheilt. Ab- bildung 12 bringe diese Vertheilung zur Darstellung. DieAbscissenachse gibt die Längs- ausdehnung des Körpers an; links von A haben wir reines Zink, rechts von C reines Kupfer und in der Mitte ein nach rechts hin immer zinkarmer und kupferreicher werdendes Messing. Die Ordinate zeigt die Grösse der Contactkraft (Bc an der betreffenden Stelle an. Die Richtung yon 6c fällt natürlich in Wirklichkeit mit der Richtung der Abscissenachse zusammen. Auf den Maassstab und die absolute Grösse der Kräfte kommt es jetzt nicht an; die durch die Abb. 12. Digitized by Google 190 Dritter Abschnitt. Weiterer Ansbau des Systems. Abbildung willkürlich angegebene Art der Vertheilung der Kräfte ftc oder irgend eine ähnliche wird aber jedenfalls durch entsprechende Wahl der Art des Uebergangs zwischen beiden Metallen (also die Aenderungsgesch windigkeit in der Zusammen- setzung der Legirung) herbeigeführt werden können. Bezeichnen wir die elektrostatische Kraft mit S, und nehmen wir an, dass neben (Sg und (Sc keine elektrischen Kräfte anderen Ursprungs vorkommen, so ist die gesammte elektrisclie Kraft @ zu setzen « = «, + «,...*.., (173) Hier ist nun die Frage aufzuwerfen, ob die elektrische Verschiebung S durch das ganze (& oder nur durch den Be- standtheil 6, bedingt sein wird. Wenn man bedenkt, dass @c anfanglich allein bestand, dass es* dann zu elektrischen Strömungen, die nothwendig durch Verschiebungen $ ein- geleitet werden mussten, führte und dass sich erst in Folge dieses Vorgangs der Kraftfluss 6^ zu @c hinzugesellte,* kann man kaum im Zweifel sein, dass die Verschiebung an jeder Stelle durch das ganze 6 bedingt ist Der Leser wird vielleicht sogar den Eindruck erhalten, dass die Antwort so selbst- verständlich sei, dass es sich gar nicht lohne, die Frage überhaupt aufzuwerfen. Man bedenke aber, dass es sich hier um die eingeprägten Kräfte &c handelte, von denen nicht ohne Weiteres angenommen werden darf, dass sie sich allen Gesetzen ebenso fügen wie die anderen, besser bekannten elektrischen Kräfte. Durch die angeführte üeberlegung wird aber wohl jeder Argwohn nach dieser Richtung zerstreut. Sobald nun Gleichgewicht eingetreten ist, muss im Innern des Leiters nothwendig ® und daher, nach den vorhergehenden Bemerkungen auch (S überall Null sein. Wir finden also 6, = — 6c, d. h. Abbildung 12 gibt zugleich auch die Ver- theilung der elektrostatischen Kräfte in der üebergangsstelle an. Nun beachte man, dass nach §39 div 6« «= 49r(»/ ist. Dort, wo C und 6c ihren gröbsten Werth BD angenommen haben (Abb. 12), hat ®, keine div, die elektrische Ladung ist Digitized byLjOOQlC Zweites Gapitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 191 daher dort gleich Null. Links von B haben wir, da ftc vom Kupfer zum Zink hin wirkt und daher 6, nach rechts gerichtet ist^ eine positive div von @« und daher positive Ladungen mit freier Elektricität, die räumlich über das Innere der Legirung vertheilt sind. Auf der rechten Seite von B ist dagegen div @« und daher ebenso .die freie Ladung überall negativ. Die Raumdichte dieser Ladung ist der trigono- metrischen Tangente des Winkels a proportional^ den die geometrische Tangente an die Gurve der Abbildung 12 bei der zugehörigen Stelle mit der Abscissenachse bildet. Von Wichtigkeit ist die Bemerkung, dass trotz dieser Ladungen mit freier Elektricität^ weil S überall Null ist, nirgends im Innern Ladungen mit wahrer Elektricität vorkommen. Man muss gerade in diesem Zusammenhange auf das Sorgfaltigste zwischen diesen, ehemals für identisch gehaltenen Begriffen unterscheiden, wenn man nicht zu irrigen Schlüssen geführt werden will. Nach alledem haben wir also links von B eine Schicht freier positiver Elektricität von dep Dicke BÄ, die sich bis in das reine Zink hinein (bei einfachem Zusammenschweissen der beiden Metalle aber wenigstens auf molekulare Distanzen hin) erstreckt und rechts davon ebenso eine Schicht negativer Elektricität. Beide zusammen machen die v. Helmholtz'sche Doppelschicht aus. Von den dadurch gebildeten Kraftcentren strahlen durch die Uebergangsschicht hindurch elektrostatische Kräfte aus, die vom Zn zum Cu hin gerichtet sind und sich, zusammen mit den von den Ladungen der freien Oberflächen beider Stabhälften herrührenden elektrostatischen Kräften, ins Gleichgewicht mit den eingeprägten Kräften 6c setzen. Die V. Helmholz^sche Theorie der Doppelschichten lässt sich nach dieser Betrachtung im Allgemeinen ganz wohl in Einklang mit der MaxwelFschen ElektricitätslehrQ bringen. Es bleibt nur die eine Schwierigkeit zurück, dass im Innern der Leiter an der Berührungsstelle freie Elektricitätsmengen auftreten, die an diesen Stellen»gar nicht von wahren Ladungen begleitet sind. Dieser umstand kann aber, wie mir scheint, Digitized by Google 192 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. nicht als ein durchschlagender Grund gegen die Annahme der Doppelschichten geltend gemacht werden. — Beröhrt sich ein Metall mit einem schlechten Leiter, wie Glas (das unter ge- wöhnlichen .Umständen als Isolator angesehen werden darf, in diesem Zusammenhange aber ausdrücklich als schlechter Leiter bezeichnet werden, muss), so wird, nachdem man beide Körper trennte, das Glas in den Berührungsschichten wahre Elektricität enthalten. Das Metall zeigt sich nach der Trennung zwar ebenfalls mit einer gleich grossen Menge von wahrer Elektricität entgegengesetzten Vorzeichens geladen; diese stammt aber nicht von der Beriihrungsstelle, sondern von der vorher frei gebliebenen Oberfläche her. Auch die Erscheinungen der elektrischen Endosmose fuhren, so weit ich sehe, nicht zu unlösbaren Widersprüchen zwischen der Hypothese der Doppelschichten und den Grundlagen der Maxwell'schen Theorie. Von ganz anderen Gesichtspunkten geht die Heaviside'- sche Darstellung aus. Die Einwürfe, die dieser bedeutende Forscher gegen die Lehje von den Doppelschichten erhebt, vermag ich allerdings nicht als gerechtfertigt anzuerkennen. Sie beruhen nach meiner Ansicht auf Verwechselungen der Rollen, die den Bestandtheilen von @ zukommen, bezw. auf der Verwechselung der wahren mit der freien Elektricität. So kann man zwar auf dem IJoden der Maxweirschen Theorie kaum zugeben, dass sich in einem metallischen Leiter (bei Elektrolyten ist dies anders, vgl. § 79) wahre Elektricitäts- mengen ansammeln könnten; wenn man daraus aber, wie Beaviside, ein Argument gegen die Doppelschichten ableiten will, übersieht man, dass wahre Elektricitätsmengen in diesen Schichten überhaupt nicht ins Spiel kommen, sondern nur freie. Ebenso ist es, wenn gesagt wird, dass nach der Lehre von den Doppelschichten beim üebergange eines elektrischen Stromes durch die Löthstelle eine Anhäufung oder Entziehung von Wärme analog dem Peltier^schen Phänomen, aber von entsprechend grösserer Intensität stattfinden müsse. Denn dies widerlegt sich dadurch, dass das ganze @, auf das es Digitized by VjOOQIC / Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 193 hier allein ankommt^ fiberall im Innern Null ist und dass daher keine Energieumsetzung erwartet werden kann. Wenn ich aber auch dieser Kritik der Doppelschichten nicht zustimmen kanu^ so muss ich doch die Heayiside'sche Auffassung der Kräfte $c als gleichberechtigt neben der V. Helmholtz'schen anerkennen. Man findet sie, wie hier be- merkt sein mag, in 0. Heavisides Electr. Papers Bd. I, 1892, S. 348 u. f. ausführlich behandelt. Unmittelbar aus der Erfahrung ist ja über die Sache selbst in der That nur dies bekannt, da^s sich ausserhalb des Zinkkupferkörpers ein elektrostatisches Feld ausbildet. Dazu kommt, dass nach dem, was wir über die Eigenschaften der Leiter wissen, der elektrostatische Zwang S und daher auch die ihm entsprechende elektrische Kraft im Gleichgewichts- falle überall im Innern des Leiters verschwinden muss. Verfolgen wir nun eine Kraftlinie in ihrem Verlaufe von der Zinkoberfläche durch die Luft zur Kupferoberfläche und schliessen sie durch eine willkürlich durch die Metallmasse gezogene Verbindungslinie ihrer beiden Endpunkte. Wir er- halten so einen geschlossenen Integrationsweg, für den das Linienintegral der elektrischen Kraft nothwendig von Null verschieden und zwar positiv ist, wenn wir die Richtung der Linie im Lufträume vom Zn zum Gu hin zählen. Für sich genommen, würde dieses Verhalten dem Ißnergieprincipe zu widerstreiten scheinen, denn man erhielte offenbar ein Per- petuum mobile, wenn man eine wahre Elektricitätsmenge auf der geschlossenen Bahn unter dem Einflüsse des be- sprochenen Kraftfeldes fortwährend kreisen Hesse. Es muss also noch etwas hinzukommen, was diesen Widerspruch aufhebt. Zunächst ist klar, dass die wahre Elektricitätsmenge bei dem geschilderten Laufe einmal aus dem Zink in die Luft und dann wieder aus der Luft in das Kupfer übertreten müsste, wobei neue Contactkräfte, nämlich solche zwischen Luft und Metall in Frage kommen, von denen bisher nicht die Rede war. um deren Betrachtung zu umgehen, denke man sich aber eine Höhlung von kleinem Föppl, Maxwell'sche Theorie der Elektricität. 13 Digitized by Google 194 Dritter Abschnitt. Weiterer Aasbau des Systems. Durchmesser längs des Integration swegs im Metalle aus- gebohrt. Die wahre Elektricitätsmenge (also etwa ein ge- ladenes Hollundermarkkügelchen) kann jetzt den yorher be- schriebenen Kreislauf gauz in der Luft vollenden. Dabei fallt aber bei der üebergangsstelle zwischen beiden Metallen in der Röhre die Kraft (Sc jetzt fort, während der Fluss der elektrostatischen Kraft (Bg keine merkliche Aenderung erfuhr. Vorher compensirten sich ß^ und ®,, jetzt bleibt nur 6, und die Bedingungen sind hiermit so geändert, dass das Liuieu- integral für den geschlossenen Luftweg zu Null wird^ wie es von dem Energieprincipe gefordert wird. So gestaltet sich die Betrachtung nach der Theorie der Doppelschichten. Die Veranlassung, die wir zur Erklärung der Erscheinungen suchen, braucht aber ihren Sitz gar nicht unmittelbar an den Löthflächen zu haben, sondern sie kann auch über deren Grenzlinie vertheilt sein, also über die Linie, längs deren Zink, Kupfer und Luft zusammenstossen. Man fingire längs dieser Linie einen magnetischen Strom und die Erscheinungen sind vollständig erklärt. Der geschlossene Litegrationsweg, von dem vorher die Rede war, umschlingt, wenn wir zunächst von dem Ausbohren eines Hohlweges ab- sehen, den magnetischen Strom und das Linienintegral von S muss daher nach Gleichung (161) S. 166 in der That von Null ver- schieden seiu. Zugleich folgt, dass für jede andere Litegrations- linie zwischen Zink- und Kupferoberfläche das Linienintegral denselben Werth annehmen muss, d. h. dass eine constante PotentialdifFerenz zwischen Zink und Kupfer besteht. Haben wir dagegen, wie vorher, einen Canal ausgebohrt, so tritt dort, wo die Lothfläche von der Canalwandung geschnitten wurde, abermals eine Linie auf, in der die 3 Medien (Zink, Kupfer, Luft) zusammenstossen. Wir müssen daher diese Linie gleichfalls als Bahn eines fingirten magnetischen Stromes von derselben Intensität, wie bei dem früheren betrachten, der aber wegen der geänderten Aufeinanderfolge der Medien im entgegengesetzten Sinne umläuft. Der durch die Höhlung geführte geschlossene Integrationsweg umschlingt daher zwei Digitized by Google Zweited Capitel. Die eingepi^gten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 195 magnetische Ströme^ deren Summe Null ergibt und das Linien- integral der elektrischen Kraft wird, wie es von dem Energie- principe gefordert wird, wiederum zu Null. Erfolgt der Uebergang vom Zink zum Kupfer nicht plötzlich^ sondern wie bei der Besprechung von Abbildung 12 angenommen war^ allmählich, so ist der fingirte magnetische Strom natürlich in entsprechender Oberflächenvertheilung über die ganze an die Luft grenzende Oberfläche - des Uebergangs- stückes anzunehmen. An der Zulässigkeit der vorhergehenden Betrachtungen wird dadurch nichts geändert. Dieser fingirte magnetische Strom bildet übrigens, wie man leicht erkennt, in jeder Hinsicht und im Sinne des Dualitätsprincips das Gegenstück zu den fingirten elektrischen Strömen, die von Ampere zur Erklärung des Magnetismus angenommen wurden. So wie nach der Pemwirkungslehre ein geschlossener elektrischer Strom einer magnetischen Schale, also einer magnetischen Doppelschicht äquivalent ist, vertritt hier der magnetische Strom die supponirte elek- trische' Doppelschicht So wenig aber aus der Aequivalenz der Fernwirkungen geschlossen werden darf, dass den Erscheinungen des Magnetis- mus thatsächlich elektrische Strömungen zu Grunde liegen, so wenig wird in unserem Falle behauptet, dass dem fingirten magnetischen Strom eine reale Existenz zukomme. Er soll vielmehr nur eine Veranschaulich ung dafür bilden, wie sich die Kräfte de iiach der Heaviside'schen Hypothese vertheilen. Die Ausgangsstelle für den Kraftfluss (Bc — und dies allein wird von dieser Hypothese wirklich ausgesagt — wird von der Linie bezw. Fläche gebildet, mit der die Uebergangsstelle zwischen beiden Metallen an die Luft angrenzt. Durch Wirkungen, über die wir zunächst keine weitere Rechenschaft zu geben vermögen, jedenfalls aber in Folge des Zusammen- trittes der drei Medien (Zink, Kupfer, Luft) wird an dieser Stelle ein curl von (&c (also ein Wirbel) hervorgerufen. Von der Erregungsstelle aus pflanzt sich Qtc in den übrigen von den drei Medien eingenommenen Raum fort, so dass es sonst 13* Digitized by Google 196 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. überall den Bedingangsgleichnngen curl (Sc^'O l^nd div S« = genügt. Diese Vertheilung und die Art der Erregung ist genau identisch mit der^ die von einem magnetischen Strom ausgehen müsste. Zu (Sc tritt dann noch allenthalben die von den freien Ladungen herrührende elektrostatische Kraft Otg und die Ladungen vertheilen sich so, dass in den metallischen Medien die Vectorsumme 6« + 6, zu Null wird. Da femer überall 9 div @c Null ist, hat daher im Innern der Metalle auch Hg überall die div Null; d. h. freie Ladungen kommen im Innern der Metalle^ auch an den Uebergangs- oder Lothstellen nirgends vor. Die Heaviside'sche Hypothese ist daher in der That von der Hypothese der Doppelschichten durchaus verschieden. In allen der Beobachtung zugänglichen Fällen führen beide Anschauungen über die Vertheilung der Contactkräfte de im Wesentlichen zu Ergebnissen derselben Art. Eine ex- perimentelle Entscheidung zwischen beiden wird sich daher zunächst schwerlich herbeiführen lassen. Eine Abweichung würde sich zwar ergeben ^ wenn das eine Metall von dem anderen völlig eingeschlossen wäre. Im Gegensatze zu V. Helmholtz müsste man nach Heaviside annehmen , dass in diesem Falle kein Potentialunterschied Zwischen beiden ent- steht. Durch die Beobachtung lässt sich dieser Fall aber nicht prüfen ; denn sowie etwa von dem eingeschlossenen Metalle ein Draht zu einem Elektrometer, geführt würde, kämen nothwendig Grenzlinien vor, in denen drei Medien zu- sammenstiessen. Aehnlich verhält es sich, soweit ich sehe, bei anderen Yersuchsanordnungen, die etwa zur Entscheidung dieser Frage gewählt werden konnten. Ich habe mich bei der Besprechung dieser Frage länger aufgebalten, als es durch den Zweck dieser Schrift gerecht- fertigt erscheinen könnte. Die Frage hat aber eine grössere Tragweite als man zunächst anzunehmen geneigt sein möchte. Nur wenn man sich mit ihr hinreichend vertraut gemacht hat, wird man deutlich verstehen, wie es kommt, dass es bei den periodisch veränderlichen elektromagnetischen Vorgängen Digitized by Google Zweites Capitel. Die eiDgeprägien elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 197 weniger auf die Grösse der eingeprägten Kräfte selbst, als auf ihren curi ankommt. Ausserdem wird man nur dann zur weiteren Befestigung der MaxwelFschen Lehre in unserer AufiFassung der Vorgänge gelangen können, wenn man ihre Consequenzen in allen solchen Fällen streng verfolgt. Im üebrigen lasse ich es hier une.ntschieden, welche der beiden jLnnahmen über die Vertheilung der Kräfte Qtc das Rechte trifft. In jedem Falle rechne ich (&e stets zu den ein- geprägten Kräften. § 78. Die thermoelektriBclie Kraft. Ausser den vorher besprochenen Gontactkräften treten an der Berührungsstelle von zwei Leitern noch andere Kräfte auf, die thermoelektrischen, die mit jenen nicht verwechselt werden dürfen. Die Vermuthung liegt zunächst allerdings nahe genug, dass die thermoelektrischen Kräfte mit den Gontactkräften identisch seien, so nämlich, dass diese mit der Temperatur veränderlich wären nnd ihre Differenz für zwei auf verschiedener Temperatur gehaltene Lothstellen die im Thermoelemente beobachtete elektromotorische Kraft hervorriefe. Wer an den Gegenstand neu herantritt, wird zunächst stets versuchen, ob er mit der soeben geschilderten Auffassung ausreichen kann. Von selbst drängt sich ja die Annahme auf, dass die elektrische Gontactkraft von der Temperatur der Löthstelle abhängig sei und dass daher in einem aus zwei Metallen gebildeten Kreise, sobald die beiden Lothstellen auf verschiedenen Temperaturen gehalten werden, ein Strom zu Stande kommen müsse. Das ist aber gerade, was die Erfahrung bestätigt. Nur mit Widerstreben und unter dem Drucke der zwingendsten Gründe wird man daher diese so einfache Vor- stellung zu opfern bereit sein. Solche Gründe liegen aber vor und zwar werden sie durch das Peltier'sche Phänomen geliefert. Wenn die Löthstelle von ^wei Metallen von einem elektrischen Strome durchsetzt Digitized by Google 1 198 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. wird, tritt je nach der Stromrichtung eine Wärmebindung oder umgekehrt eine Wärmeentwickelung ein, die der Menge nach von der Temperatur der Löthstelle abhängig, der Strom- stärke proportional und im Sinne des Energieprincips der Arbeit der thermoelektrischen Kräfte äquivalent ist. Hier- durch verräth sich aber die Grösse des durch die thermo- elektrischen Kräfte verursachten Potentialsprungs an jeder Löthstelle gesondert und zwar entspricht nach der Erfahrung die Menge der Peltier'schen Wärme stets Potentialunterschieden von derselben Grössenordnung, wie sie der resultirenden thermo- elektrischen Kraft eines Thermoelements zukommt. Käme der Strom nur durch eine Differenz der elektrischen Contactkräfte an beiden Löthstellen zu Stande, so müsste die Peltier'sche Wärme an jeder Löthstelle einer elektrischen Arbeit äquivalent sein, wie sie einem Potentialunterschiede von der Grössen- ordnung eines Volt entspricht. Anstatt dessen ist aber in den meisten Fällen der durch die Peltier'sche Wärme an- gezeigte Potentialsprung nur gleich einigen Tausendsteln eines Volt. Die thermoelektrische Kraft Ott unterscheidet sich daher von der Contactkraft Qto durchaus darin^ dass mit ihrem Auf- treten in elektrisch durchströmten Leitern ein Energieumsatz verbunden ist, der neben der durch den Zerfall und die stetige Neubildung des elektrischen Zwangszustandes bedingten Energie- verwüstung (der Joule'schen Wärme) unabhängig nebenherläuft. Im Gegensatze zur Joule'schen Wärmeentwickelung stellt dieser Energieumsatz einen umkehrbaren Process dar. Der Mechanis- mus, durch den diese umkehrbare Verwandlung ermöglicht und bedingt wird, ist bisher noch vollständig in Dunkel ge- hüllt; ebenso fehlt uns bisher jede zuverlässige Kenntniss über die Vertheilung der Kräfte Ott im Linem der Körper an der Löthstelle und fem von derselben. Ein zweiter Grund, der gegen die Identificirung der thermo- elektrischen Kräfte mit den Contactkräften spricht, fliesst aus dem zweiten Hauptsatze der Thermodynamik. Ein Thermo- element kann nämlich als eine Vorrichtung angesehen werden. Digitized by Google J Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 199 durch die Wärme in elektrische Energie und damit in Arbeit (da, von nebensächlichen Verlusten abgesehen, elektrische Energie mit Hülfe eines Elektromotors jederzeit vollständig in Arbeit verwandelt werden kann) umgewandelt wird, während zugleich, wie bei allen calorischen Maschinen, durch den Arbeitsprocess Wärme von der heissen zur kalten Löthstelle übergeführt wird. Wendet man auf diese calorische Maschine unter der Annahme, dass die thermoelektrische Kraft einfach gleich der Differenz der Gontactkräfte zu setzen sei, den zweiten Hauptsatz an, so gelangt man zu dem Schlüsse, dass der Potentialsprung an der Lothstelle zweier Metalle der absoluten Temperatur proportional sein müsse. Das wird aber von der Erfahrung abermals nicht bestätigt. Freilich führt die zuletzt erwähnte Betrachtung, auf deren eingehendere Wiedergabe verzichtet werden kann, nicht nur zu dem Schlüsse, dass die Thermokräfte von den Gontact- kräften verschieden sein müssen, sondern sie nothigt zugleich auch dazu, die Löthstellen nicht als den alleinigen Sitz der thermoelektrischen Kräfte anzusehen, sondern solche auch zwischen verschieden warmen Stellen desselben Metalles, also überall in einem Metalle, dessen Temperatur mit dem Orte wechselt, anzunehmen. Dem Peltiereffecte gesellt sich so der Thomsoneffect hinzu, der von W. Thomson (Lord Kelvin) zuerst theoretisch erschlossen und dann experimentell bestätigt wurde. Der geordneten .Einfügung der thermoelektrischen Kräfte in das System der eingeprägten elektrischen Kräfte steht die Schwierigkeit entgegen, die Möglichkeit der Energieumwandlung nachzuweisen. In der That muss ja, wie früher (S. 190) für die Kräfte Qte, so jetzt für die Ott geschlossen werden, dass sie solche Bestandtheile der ganzen Kraft Qt ausmachen, die an der Herstellung des elektrostatischen Zwanges S betheiligt sind. Im Gleichgewichtsfalle ist also an der Lothstelle das ganze (& gleich Null zu setzen und damit föUt jeder Anlass für eine elektrische Arbeitsleistung, also für einen Energie- umsatz fort. Dieselben Erwägungen, die uns lehrten, dass für die Gontactkräfte Qtc kein Anlass zu einer Energieum Wandlung Digitized by Google 200 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. vorhanden sei, bleiben auch hier zunächst unverändert gültig, führen aber hier zu einem der Erfahrung widersprechenden Ergebnisse. Wenn man auch ganz auf die speciellere Untersuchung der Thermoelektricitat verzichten will, bleibt man bei der Darstellung der allgemeinen Theorie nach dem MaxwelFschen Schema unter diesen Umständen doch mindestens verpflichtet, die Möglichkeit der Hebung dieses Widerspruches auf irgend eine Art nachzuweisen. Gleichgültig ist dabei, ob die gegebene Erklärung auch wirklich zutrifft: sie hat ja nur den Zweck, zu zeigen, dass die Schwierigkeit, die sich ergab, nicht un- überwindlich ist und dass daher aus ihr kein Argument gegen die MaxwelPsche Theorie abgeleitet werden kann. Zu diesem Zwecke greife ich auf die im vorigen § ge- gebene Heaviside'sche Darstellung über die Vertheilung der Kräfte @c zurück. Der Draht sei also an den Löthstellen und überall, wo wegen des bestehenden Temperaturgefö>lles in jedem der beiden Metalle thermoelektrische Kräfte auf- treten, von magnetischen Strömen umgeben, die wir jetzt als Erreger der thermoelektrischen Kräfte betrachten wollen. Damit ist schon ausgesagt, dass die Stärke der magnetischen Oberflächenströme an jeder Stelle in fester Abhängigkeit von der Temperatur stehen muss. Wird nun der Draht von -einem elektrischen Strome durchflössen, so geht von diesem eine magnetische Kraft aus, die je nach der ^tromrichtung gleich oder entgengesetzt mit der Richtung des magnetischen Ober- flächenstromes läuft. Sie kann aber nicht dazu dienen^ den magnetischen Oberflächenstrom unmittelbar zu verstärken oder zu schwächen, da dieser nach Voraussetzung mit der Wärme- beweguug an der betreffenden Stelle in fester Verkuppelung steht. Durch den Mechanismus der Verkuppelung wird also die Arbeit der vom elektrischen Strome ausgehenden mag- netischen Kraft zunächst in Wärmebewegung umgesetzt und nur insofern, als damit zugleich eine Temperaturerhöhung er- zielt wird, zum Theile zur Aenderung des magnetischen Stromes selbst verwendet. Digitized by Google Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 201 Die verlangte Erklärang ist hiermit geliefert. Man er- kennt die Möglichkeit einer umkehrbaren Energieabgabe oder -Aufnahme an der Lothstelle u. s. w.^ ohne dass eine resultirende elektrische Kraft (S oder ein elektrostatischer Zwang ® während des Gleichgewichtszustandes angenommen werden müsste. Von den zur Veranschaulichung der Vertheilung der Contactkräfte (Bc fingirten magnetischen Strömen unterscheiden sich die hier betrachteten wesentlich dadurch^ dass von jenen anzunehmen ist^ dass sie von der magnetischen Kraft des elektrischen Leitungsstromes gar nicht beeinflusst werden. Mit anderen Worten heisst dies, dass die dort fingirten Ströme eben nur für die kurzgefasste bildliche Wiedergabe einer bestimmten Vertheilungsart der Kräfte Qte dienen^ konnten, mit wirklichen magnetischen Strömen aber sonst gar nichts zu thun hatten^ während die für die Erklärung der Kräfte (St angenommenen sich vollständiger mit dem wirklichen Verhalten magnetischer Strome decken^ indem sie auf magnetische Kräfte reagiren. — Constante und dauernde magnetische Ströme, wie sie hier verwendet wurden, sind uns in der Natur allerdings nicht bekannt. Als Demonstrationsmittel wird man sie aber etwa mit demselben Rechte wie die Ampere'schen Molekularströme benutzen können. § 79. Die hydroelektrische Kraft. Wie die thermoelektrische unterscheidet sich die hydro- elektrische Kraft von der gewöhnlichen elektrischen Contact- kraft zwischen zwei Metallen dadurch, dass sie einen umkehr- baren Energieumsatz zur Folge hat, sobald der Raum, in dem sie auftritt, von einem elektrischen Strome durchflössen wird. Der Mechanismus, durch den dies ermöglicht wird, ist aber nicht in demselben Maasse in Dunkel gehüllt, wie im vorigen Falle. Wir sind nicht genöthigt, einen Zu- sammenhang frei zu ersinnen, nur um die Verträglichkeit der Erscheinung mit den Grundlagen der Theorie überhaupt darzuthun, sondern können uns dabei auf allgemein an- Digitized by Google 202 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. genommene Anschauungen stützen, deren Wahrscheinlichkeit durch eine Reihe von Thatsachen in hohem Maasse ver- bürgt ist. Von vornherein könnte man ebensogut eine Coexistenz der hydroelektrischen mit der gewöhnlichen Contactkraft er- warten, wie dies bei der thermoelektrischen Kraft angenommen werden musste. Der Vergleich , der an den Elektroden um- gesetzten Energiemengen mit den dort erzeugten Potential- unterschieden lehrt aber, dass die hydroelektrische Kraft in der That identisch mit der Contactkraft sein muss, sobald mindestens der eine der beiden Leiter ein Elektrolyt ist. Wenn dies nicht zuträfe, hätte der Versuch, die Potential- differenz aus den thermochemischen Zahlen und den chemischen Aequivalenten zu berechnen, fehlschlagen müssen. Man kann dies wohl auch so ausdrücken, dass die gewöhnliche Contact- kraft fortfällt, wenn Elektrolyte ins Spiel kommen und dass daftir die hydroelektrische Kraft eintritt. Die Thermokräfte bestehen aber daneben weiter. Zugleich bildet dieser Zusammen- hang das gewichtigste Argument für die früher erwähnte Anschauung, dass den „gewöhnlichen" Contactkräften über- haupt keine reale Existenz zukomme, dass vielmehr die ihnen zugeschriebenen Erscheinungen in Wirklichkeit durch hydro- elektrische Kräfte bedingt seien. Zu der gewöhnlichen Contactkraft, wie sie in § 77 be- handelt wurde, verhält sich die hydroelektrische Kraft wie die Constitution des elektrischen Stromes in Metallen zu der in Elektrolyten. Es ist daher nöthig, zunächst auf diese etwas näher einzugehen. Im Lichte der Dissociationstheorie ist der elektrische Strom in den Elektrolyten der Hauptsache nach ein Convectionsstrom, indem die Ionen die an sie un- veränderlich gefesselten Ladungen mit sich fort führen. Mit dem Convectionsstrome combinirt sich aber, wie aus den Be- trachtungen in § 66 hervorgeht, stets noch ein Verschiebungs- strom, der diesen so ergänzt, dass der sich aus beiden zusammen- setzende wahre Strom auch im Innern der Elektrolyte überall die solenoidale Bedingung erfüllt. Das Lösungsmittel des Digitized by Google Zweites Capitel. Die eiDgeprägten elektrisch, u. magnetisob. Kräfte. 203 Elektrolyten (also etwa das chemisch reine Wasser) haben wir als ein Dielektricum zu betrachten. In einem Leiter von dieser Zusammensetzung steht offenbar der Grundsatz der Maxwell'schen Theorie , dass die Elektricität sich stets wie eine incompressible Flüssigkeit be- wege^ nicht in Widerspruch mit einer Ansammlung wahrer Elektricität im Innern des Leiters, worauf schon früher hin- gewiesen war. Besteht ferner ein elektrostatischer Zwang S im Medium (also im Lösungsmittel), so gleicht er sich nicht in derselben Weise wie in den Metallen, falls er nicht an- dauernden Ersatz findet, durch allmählichen Zerfall aus, sondern dadurch, dass die Ionen von der zugehörigen elektrischen Kraft Bewegungsantriebe erhalten und dadurch Verschiebungen erfahren, womit eine Aenderung des elektrischen Kraft- und Verschiebungsflusses yerbunden ist, die so lange anhält, bis die Polarisirung des Mediums verschwunden ist. Die Joule'sche Wärme hat in diesem Falle in der zur Verschiebung der Ionen in der gedachten Richtung erforderlichen Reibungsarbeit ihren Ursprung. Im Gleichgewichtszustande muss zwar auch hier die resultirende elektrische Kraft ft gleich Null sein. Unter (S ist aber jetzt der Durchschnittswerth der elektrischen Kraft für ein Raumelement zu verstehen, dessen Dimensionen gross sind im Vergleiche zu den Abständen zwischen den Ionen. In kleineren Bezirken besteht auch im Gleichgewichtsfalle (diesen für den ganzen Leiter betrachtet) ein Kraft- und Verschiebungs- fluss, der stetem Wechsel unterworfen ist, der sich dabei aber stets so vertheilt, dass keine Richtung im Räume bevorzugt ist, dass also der Durchschnittswerth für jeden Bezirk höherer Grössenordnung verschwindet. Die Entnahme von Ionen derselben Art aus einem solchen Bezirke bedeutet nicht nur einen elektrischen Strom, sondern zugleich auch einen chemischen Process, bei dem die molekulare Energie des chemischen Zu- sammenhanges frei wird. Betrachten wir nun eine Elektrode, von der ein unendlich kleiner Strom ausgeht. Der Strom soll unendlich klein sein. Digitized by Google 204 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. weil wir dann die elektrische Kraft und den elektrostatischen Zwang S nahezu als Null betrachten, d. h. nahezu elektrisches Gleichgewicht voraussetzen können. Anstatt dessen könnte man die ins Auge zu fassende Zustandsänderung auch als eine virtuelle in dem aus der Mechanik bekannten Sinne be- trachten, die während des vollkommenen Gleichgewichts- zustandes ins Werk gesetzt wird. Die elektrische Kraft Ü ist nun zwar im Mittel überall Null, die blosse Ueberführung eines Ion würde daher keinen Arbeitsaufwand verursachen, wohl aber die Loslösung aus dem molekularen Zusammenhange und der Eintritt in einen neuen, die für die Ueberführung der mit dem Ion verbundenen Ladung an die Elektrode nothwendig verbunden sind. Man versteht nun vollkommen, dass die be- trachtete virtuelle Zustandsänderung mit einem Energieumsatze verbunden, dass dieser Umsatz umkehrbar ist und dass er, wenn eine Tendenz zu dem chemischen Processe nach einer bestimmten Bichtung hin vorliegt, zu einer hydroelektrischen Kraft und damit zu einer PotentialdifiPerenz der beiden Körper führt. Wenn durch diese Betrachtung der innere Zusammenhang des ganzen Vorgangs auch verständlich gemacht und der Unterschied gekennzeichnet ist, der zwischen der hydro- elektrischen Kraft und der gewöhnlichen Contactkraft besteht, so sind wir doch von einer vollständigen Aufhellung der hier vorliegenden Beziehungen immer noch weit entfernt. Namentlich steht eine sichere Entscheidung über den Zusammenhang zwischen der chemischen Kraft und der elektrostatischen Kraft zwischen den Ionen noch aus, wenn auch bis zu einem gewissen Grade eine einfache Identität beider wahrscheinlich gemacht ist.*) § 80. Eingeprägte Kräfte der inneren Magnetisiiung. Auf der magnetischen Seite vermag man ohne eingeprägte Kräfte auszukommen, die den hydroelektrischen, thermo- *) Durch die neueren Arbeiten des Herrn H. Ebert wurde diese Annahme noch weiterhin bestätigt. Digitized by Google Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 205 elektrischen oder Contactkräften analog wären. Der Grund für das Fehlen der entsprechenden magnetischen Kräfte liegt darin^ dass keine magnetischen Leitungsströme vorkommen, während auch die erwähnten elektrischen Kräfte sich immer nur im Zusammenhange mit dem Auftreten von elektrischen Leitungsströmen bemerkbar machen. Nur zu der Contactkraft zwischen zwei dielektrischen Körpern wäre ein magnetisches Gegenstück möglich. Ob zwischen zwei im strengen Sinne nichtleitenden Körpern über- haupt eine elektrische Contactkraft auftritt, ist indessen noch sehr zweifelhaft; die der Wirkung der Contactkraft zuzu- schreibenden Erscheinungen derBeibungselektricität bei Körpern, wie Gl?is, Seide, Harz u. s. f. werden zweifellos nur dadurch ermöglicht, dass die an die Contactfläche unmittelbar an- grenzenden Theile dieser Körper in geringem Grade elektrisch leiten. Andererseits könnte sich aber, selbst wenn beim Contacte von zwei Körpern eingeprägte magnetische Kräfte §c vorkommen sollten, da jede magnetische Leitung in der Natur ausgeschlossen zu sein scheint, deren Auftreten für uns über- haupt nicht bemerklich machen. Nur eine Gruppe von Erscheinungen fügt sich auf der magnetischen Seite der Theorie nicht ohne Weiteres in den gegebenen Bahmen und fordert daher zur Aufstellung ein- geprägter magnetischer Kräfte heraus. Das sind die Er- scheinungen des remanenten und permanenten Magnetismus. Allerdings ist auch hier die Einführung der eingeprägten Kräfte, wie ich früher zeigte, entbehrlich, um die Erscheinungen zu erklären. Man braucht dazu nur zwischen weichen und harten Körpern zu unterscheiden und, wie es in § 55 besprochen wurde, unter den harten solche Körper zu verstehen, für die sich die elektrische Kraft ^ bei elektrischem Gleichgewichte nicht von einem Potentiale ableiten lässt. Die Entstehung des remanenten Magnetismus erklärt sich dann leicht durch die folgende Betrachtung. Zuerst sei unser System ganz frei von magnetischen, Kraft- und Inductionslinien. Wir schliessen nun einen Stromkreis. Sowie der elektrische Digitized by Google 206 Dritter Abschnitt. Weiterer Ansban des Systems. Strom entsteht, gehen von der Strombahn Inductionslinien auS; die diese zuerst eng umketten, bei wachsender Stromstärke sich dann allmählich erweitern, indem sie neu entstehenden Platz machen und sich so in den ganzen Raum ausbreiten. Wenn der Beharrungszustand erreicht ist, hat sich ein magnetisches Feld ausgebildet von der Art, dass in allen Theilen des Baumes, die von magnetisch weichen Körpern eingenommen sind, die Gleichungen ««=|[i§: div« = 0; curl§ = befriedigt sind. Die zweite von diesen Gleichungen kann man als das DifiPerentialgesetz der longitudinalen und die dritte als das der transversalen Fortpflanzung des magnetischen Feldes bezeichnen. Nur daraus, dass diese Gleichungen an jedem Orte erfüllt sein müssen, folgt die Fortpflanzung durch den ganzen Baum von einem Erregungscentrum aus und zwar in der Art, dass immer nur immittelbar benachbarte Gebietstheile bestimmend auf einander einwirken und jede directe Femwirkung vermieden ist. Der veränderliche Zustand, während dessen neue Inductions- linien aus der Strombahn hervorquellen und die alten ver- drängen und erweitern, stellt eine magnetische Welle dar. Die jeweilige Veränderung schreitet mit der Lichtgeschwindigkeit durch die Medien fort und macht sich an einem weiter ab- gelegenen Orte erst nach Verlauf der entsprechenden Zeitdauer bemerkbar. Die Fernwirkungstheorie nimmt in solchen Fällen, wie bekannt, eine instantane Uebertragung der Wirkung durch das ganze magnetische Feld an. So lange keins von den magnetischen Metallen im Baume vorhanden ist und so lange die Entstehung anderer elektrischer Leitungsströme neben dem Erregungsstrome vermieden ist, schreitet di6 magnetische Welle fast genau ebenso durch den Baum, alsL wenn dieser ein Vacuum darstellte oder nur von Luft erfüllt wäre. Sowie aber die Liductionslinien bei ihrer Aus- breitung auf Eisen treffen, wird der weitere Verlauf dadurch geändert. Wäre das Eisen absolut weich, so käme nur die Digitized by Google Zweites Capitel. Die eingeprägten elektrisch, u. magnetisch. Kräfte. 207 Aenderung der Permeabilität ft zur Geltang. Der durch die vorher genannten drei Gleichungen regierte Vorgang müsste sich dann so gestalten, dass sich die Inductionslinien im Eisen mehr zusammendrängen, — eine Erscheinung, die jetzt nicht weiter erörtert zu werden braucht. Sobald das Eisen magnetisch hart ist, ändert sich aber auch die letzte der drei Gleichungen. Gerade der umstand, dass ein curl von § nicht bestehen konnte, veranlasste an jeder Stelle, an der die magnetische Welle anlangte, dass auch die benachbarten Inductionslinien etwas ausweichen mussten, bestimmte also mit anderen Worten die Fortpflanzung in den weiteren Raum. Da diese Fortpflanzung hier recht- winklig zur Richtung der Inductionslinien erfolgt, bezeichnete ich vorher schon curl ^ = als die Gleichung der trans- versalen Fortpflanzung des Kraftflusses. Inductionslinien, die bei ihrer Expansion auf absolut harte Körper auftrefiPen, werden an dieser Stelle einfach festgehalten. An der Grenzfläche bildet sich ein beim weiteren Auftreffen der nachfolgenden Inductionsliaien immer mehr anwachsender curl von $ aus, ohne dass der betroffene Körper reagirte. Er vermag eben einen beliebig grossen Wirbel der Kraft § vermöge der Art seiner Zusammensetzung in seinem Innern (oder in der an die Luft angrenzenden Schicht) aufrecht zu erhalten. In Körper dieser Art vermöchte überhaupt kein magnetisches Feld einzudringen; sie wären vollständige Schirme gegen magnetische Wirkungen. Absolut harte Körper gibt es, soviel uns bekannt ist, nicht. Aehnlich verhält sich indessen harter Stahl, so lange die darauf auftreffenden Inductionslinien nur zu geringen Feldern gehören. Es findet dann nur ein Eindringen in die oberflächlichsten Schichten statt. Sowie die Feldstärke an- wächst, findet ein Eindringen in immer grössere Tiefen statt: der Stahl vermag zwar vermöge seiner magnetischen Härte an jeder Stelle einen gewissen Werth des Wirbels der mag- netischen Kraft (oder von curl ff) zu ertragen, aber doch immer nur einen endlichen Werth, so dass die transversale Digitized by Google 208 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. Fortleitung des Kraftflusses zwar beschränkt, aber nicht ganz verhindert ist. Wir müssen indessen schon grosse Kräfte aufwenden, um überhaupt eine merkliche Zahl yon Kraftlinien in Körper aus "hartem Stahle einzudrängen. Bei sehr um- fänglichen Stahlstücken gelingt dies überhaupt nicht; man vermag dann nur die oberflächlichen Schichten einigermassen mit Inductionslinien zu sättigen. Desshalb muss man grössere Stahlmagnete aus einer Anzahl von dünnen Lamellen herstellen, die einzeln magnetisirt werden. Wenn es uns nun durch den erregenden Strom auf diese Weise gelungen ist, eine grössere Zahl von Inductionslinien durch einen magnetisch harten Körper zu treiben, wollen wir den Strom wieder vermindern und ihn dann ganz eingehen lassen. Der Strom hielt dort, wo er floss, einen Wirbel von ^ aufrecht. Dieser das ganze Feld erregende Wirbel ver- mindert sich zugleich mit dem Strome: die Kraftlinien ziehen sich zusammen und lösen sich gewissermassen im Leiter auf, indem sie die ihnen zugehörige Energie an den Strom zurück- erstatten (Selbstinduction). Zunächst beginnt dieser Process unmittelbar am Leiter, die weiter folgenden Inductionslinien drängen aber nach und ziehen sich ebenfalls zusammen. Der Grund besteht wieder darin, dass das Medium ausserhalb keinen Wirbel der Kraft § ertragen kann. Die Gleichung curl $ = gibt auch jetzt wieder die Eigenschaft des Mediums an, durch die die Uebertragung der magnetischen Welle nach rückwärts bedingt wird. Nur vor den magnetischen harten Körpern macht die Entmagnetisirungswelle Halt oder sie verändert wenigstens ihre Form. Vorher schützte den Stahl die Eigenschaft, dass er einen gewissen Werth von curl $ zu ertragen vermochte vor einem stärkeren Eindringen des Inductionsflusses; jetzt wird dadurch umgekehrt der einmal eingedrungene Inductions- fluss zum grossen Theile zurückgehalten. Nach dem Er- löschen des erregenden elektrischen Stromes haben wir einen remanenten Magneten zurückbehalten. Nachdem ein solcher einmal gewonnen ist, vermögen wir Digitized by Google • Zweites Capitel. Die eingeprägten elektriscli. n. magnetisch. Kräfte. 209 leicht auch ohne Dazwischenkunft eines elektrischen Stromes andere damit herzustellen. Im Allgemeinen werden sich ja die in dem ersten Magneten zurückgebliebenen Kraftlinien durch die Luft hindurch schliessen. Bringen wir nun in diesen Luftraum ein zweites Eisenstück, so wird dieses wieder, wie vorher das erste/ zunächst temporär, und wenn es mag^ netisch hart ist, auch permanent mag^etisirt. Aus dieser Darlegung erkannt man, dass die Ein- führung eingeprägter Kräfte zur Erklärung des remanenten Magnetismus in der That vollständig entbehrlich ist. Allerdings müssen wir den magnetisch harten Korpern zu diesem Zwecke solche Eigenschaften bei- legen, die Verhindern, dass die magnetische Kraft § in ihnen von einem Potentiale abgeleitet werden kann und die ferner auch die Anwendung der ersten Hauptgleichung (§ 60, Schluss- bemerkungen) auf solche Körper nicht ohne Weiteres gestatten. Ich werde aber trotzdem jetzt eine, wenigstens formell, von der vorigen völlig verschiedene Darstellung der Er- scheinungen des remanenten Magnetismus geben, indem ich eingeprägte Kräfte zu Hülfe nehme. Damit ist nicht gesagt, dass diese Darstellung mit der vorigen concurrire. Die Zu- Jiülfenahme eingeprägter Kräfte ist ja, wie man sich erinnern wird, nur ein Auskunftsmittel, durch das wir Erscheinungen in unser System mit aufnehmen, für die sich bisher keine eigentliche Erklärung gefunden hat. Betrachten wir daher die vorhergehende Darlegung, die freilich noch der experimentellen Bestätigung bedarf, als die richtige Erklärung, so ist die Be- handlung mittelst eingeprägter Kräfte daneben trotzdem zu- lässig. Die eingeprägten Kräfte sind dann nur die Symbole, die in unseren Gleichungen diQ als magnetische Härte be- zeichnete Eigenschaft zum Ausdrucke bringen sollen. Daneben hat diese Behandlung den Vorzug, dass die Frage formell, d. h. in der Gestaltung unserer Gleichungen zu einem gewissen Abschlüsse gebracht wird, ohne dass damit weiteren Unter- suchungen über das Wesen des remanenten Magnetismus der Weg versperrt würde. Denn jede andere eigentliche Erklärung Föppl, MaxweU'sche Theorie der Elektrioität. 14 Digitized by Google 210 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. des Thatbestandes, wie etwa die Ampere'sche Hypothese der Molekjilarströme, neben der vorher gegebenen würde ebenso durch die eingeprägten Kräfte gedeckt werden, wenn den Symbolen selbst in diesem Falle auch eine andere Deutung zu geben wäre. Zum Unterschiede von anderen eingeprägten wollen wir die Kräfte, um die es sich hier handelt, die eingeprägten Kräfte der inneren Ma^netisiruug nennen und sie mit ^i bezeichnen. Wir nehmen in diesem Zusammenhange ferner an, dass der von elektrischen Strömen unmittelbar herrührende, sowie überhaupt jeder von angrenzenden Gebietstheilen über- tretende (also auch der von anderen mit remanentem Mag- netismus behafteten Gebietstheilen ausgehende) Kraftfluss sich durch magnetisch harte Körper nach denselben Gesetzen ver- breite wie durch magnetisch weiche, dass also, wenn ^t den aus diesen Ursachen herrührenden oder, vne man sagen kanu, den durch longitudinale und regelmässige transversale Fortleituug zu Stande kommenden Bestandtheil bezeichnet, curl §( = ist. Femer setzen wir # = §i + §r; curl § = curl §r, « = ft§==ft§i + f*§i=»i+»i; div»==div«i=div«( = 0. Nehmen wir ftn, dass zunächst überall § = war und führen wir jetzt in einem einzigen Volumenelemente eine ein- geprägte Kraft §1 ein, so kommt in diesem Volumenelemente der Inductionsfluss fßi = ^§i zu Stande. Dieser bedeutet eine innere Magnetisiruug des Volumenelementes, die nur durch eine in ihm selbst wirkende (fingirte) Ursache ^t bedingt ist. Daraus erklärt sich die für §i gewählte Bezeichnung. Der durch ^i erzeugte Inductionsfluss pflanzt sich dagegen weiter- hin in regelmässiger Weise fort, falls sich nicht in Folge davon auch an anderen Stellen des Körpers Kräfte ^i ein- stellen. Durch passende Verfügung über die Kräfte ^i können wir offenbar einen vorher ohne solche gegebenen Inductions- fluss in beliebiger Weise modificiren und uns dadurch jedem Digitized by Google Zweites Gapitel. Die eingeprägten elektrisch* u. magnetisch. Kräfte. 211 beobachteten^ von dem regelmässigen abweichenden Verhalten eines Körpers anpassen. Wenn es zweckmässig erschiene^ köimte man dadurch sogar die Veränderlichkeit der Permea- bilität aus der Darstellung der Theorie entfernen. Man brauchte nur anzunehmen, dass das wechselnde Verhältniss zwischen f8 und ^ durch das Hinzutreten eingeprägter Kräfte bedingt wäre. Diese weitgehende Verwendbarkeit des Hülfs- begriflPs der eingeprägten Kraft hängt von der Willkür ab, die mit der Einführung eingeprägter Kräfte überhaupt ver- bunden ist. Man darf aber nicht vergessen, dass es sich dabei nicht um eine wirkliche Erklärung der Erscheinungen, sondern nur um einen Rechenbehelf handelt, mit dem wir die Lücke in unserer Erkenntniss des wahren Zusammenhanges verdecken. Der wahre Zusammenhang ist auf diesem Gebiete noch keineswegs so vollständig aufgehellt, dass man die definitive Fassung der Theorie mit einiger Sicherheit voraussehen könnte. Nach der im Eingange dieses § gegebenen Dar- stellung, die mir den Thatsachen vorläufig am besten gerecht zu werden scheint, wenn sie auch für die Veränderlichkeit der Permeabilität in den magnetischen Metallen und für den auffallend hohen Werth, den sie in diesen annimmt, keine Erklärung liefert, kommt es nicht auf ^i selbst, sondern auf dessen curl an. Durch curl^i wird nämlich ein Maass dafür gegeben, bis zu welchem Grade und in welcher Richtung sich die Eigenschaft der magnetischen Härte in einem gegebenen Falle und an der betreffenden Stelle des Körpers geltend macht. In jedem Falle müssen wir annehmen, dass entweder ^j selbst, oder, was auf dasselbe hinauskommt, der curl davon nicht nur von der Art des Körpers, sondern auch von dem in ihm bestehenden Inductionsflusse abhängig ist. Für die nähere Bestimmung des Gesetzes dieser Abhängigkeit fehlt aber bis jetzt jeder Anhaltspunkt. Den besten Weg zu seiner Erforschung scheint die Beobachtung der magnetischen Schirm- wirkungen darzubieten. Ein absolut weicher Eisenmaütel um U* Digitized by Google 212 Dritter Abschnitt. - Weiterer Ausbau des Systems. einen geradlinigen Strom vermöchte den sich aussen an- schliessenden Luftraum gar nicht gegen den von dem Strome ausgehenden Inductionsfluss zu schirmen. Der Inductionsfluss würde überall in der Umgebung genau so gross, als wenn der Eisenmantel gar nicht vorhanden wäre. Ein magnetisch absolut harter Mantel würde im Gegensatze dazu gar keine Kraftlinien in den Luftraum übertreten lassen. Die Beobachtung des thatsächlichen Verhaltens (etwa mit Hülfe einer Prüfungs- spirale im äusseren Baume) bietet keine Schwierigkeiten und stellt nähere Aufschlüsse über diese wichtige Frage in Aussicht. § 81. Eingeprägte Kraft der inneren Elektrisirung. Der Kraft ${ stellen wir ihr Analogon ßi zur Seite^ freilich mit der ausdrücklichen Bemerkung , dass in isotropen und homogenen Korpern vermuthlich di überall gleich Null zu setzen ist. Denn aus den Untersuchungen in § 55 folgte, dass wir die nichtleitenden Körper als dielektrisch weich be- trachten müssen. Es ist also wenigstens die Einführung einer eingeprägten Kraft % zur Berücksichtigung einer regelwidrigen transversalen Fortpflanzung des elektrischen Kraftflusses hier nicht wie bei den Problemen des remanenten Magnetismus erforderlich. — In Uebereinstimmung damit steht* es, dass nach den vorliegenden Erfahrungen Bückstandsbildungen (wie sie bei den Entladungen eines Condensators beobachtet werden) in isotropen und homogenen Dielektricis nicht vorzukommen, dass diese vielmehr stets durch eine heterogene BeschafiTen- heit (Einschluss leitender Partikelchen u. s. f.) des Mediums bedingt zu sein scheinen. Den bei der Erwärmung und bei einseitigem Drucke in krystallinischen Körpern auftretenden pyroelektrischen und piezoelektrischen Erscheinungen, — deren blosse Erwähnung hier genügen muss — denken wir uns dagegen stets durch die Einführung eingeprägter Kräfte in entsprechender Ver- theilung Rechnung getragen und betrachten diese als Bestand- theile von so genügt, wie aus Gleichung (111) S. 86 und (106) S. 82 hervorgeht, V der Laplace'schen Gleichung V^F^ — 4äp. Wir übertragen jetzt den Begriff des Potentials und den durch die letzte Gleichung ausgesprochenen Satz auf den Fall, dass an die Stelle des Sealars q eine stetig im Baume vertheilte Vectorgrösse tritt. Von vornherein wollen wir hierzu die Intensität c des wahren elektrischen Stromes wählen, obschon von jedem stetig im Räume vertheilten Vector im Allgemeinen dasselbe gilt. Durch Definition setzen wir also fest, dass unter dem Vectorpotentiale V eines vollständigen Systems elektrischer Sinrome der Ausdruck « =/^ (176) verstanden werden soll. Wie früher bedeutet dabei r den scalar aufgefassten Abstand zwischen dem Raumelemenle dv und dem Punkte des Raumes, für den 9L berechnet werden soll. Im Anschlüsse an eine von Boltzmann eingeführte Be- Digitized by Google l 6 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. Zeichnung wollen wir diesen Punkt in der Folge kurz den Auf- punkt nennen. Die durch das Integralzeichen vorgeschriebene Summirung ist über den ganzen Raum zu erstrecken, in dem c vorkommt und bedeutet, da das Element unter dem Integral- zeichen ein Yector i«t, eine geometrische Summirung, die wieder zu einer Vectorgrösse führt, wie auch schon durch die Schreibweise von V angedeutet ist. Um Missverständnisse bei dem Verweise auf die im ersten Abschnitte entwickelten Rechengesetze zu vermeiden, bemerke ich noch, dass Ä dort überall einen beliebigen Vector bedeutete (es war dort desshalb gewählt, weil K als erster Buchstabe des Alphabets am nächsten lag), mit dem hier eingeführten K also nicht verwechselt werden darf. Die Wahl des Buchstabens V für das Vectorpotential rührt von Maxwell selbst her. Allerdings ist der von ihm damit verbundene Begriff nicht völlig mit dem hier eingeführten identisch. Wenn Maxwell auch gelegentlich selbst in der Definition des Vectorpotentials etwas schwankte, so ist doch überwiegend bei ihm das (i-iache des durch Gleichung (176) angegebenen Werthes daruntöt zu verstehen. Bei allen Auf- gaben,' in denen die Permeabilität ft überall als constant zu betrachten ist, wie bei den von der Fernwirkungslehre ge- wöhnlich behandelten Problemen, macht dies zwar keinen Unterschied, wohl aber in allen anderen Fällen. Nur schwer entschloss ich mich zu dieser Aenderung in der Definition von K. Ich hielt mich zuerst in einer zur Einführung des Lesers in die MaxwelFsche Theorie bestimmten Schrift nicht für berechtigt, von der herkömmlichen Definition dieses wichtigen Hülfsbegriffs abzuweichen imd hatte desshalb das ganze vorliegende Capitel zunächst auf Gruud der MaxwelP- schen Definition von V bearbeitet. Die Bücksicht auf die beträchtlich vereinfachte Darstellung im anderen Falle bewog mich aber schliesslich Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 217 zu einer Neubearbeitung des Capitels auf Grund der vorher angegebenen Definition. Die Behandlung der Probleme, bei denen veränderliche Werthe von ft in Betracht kommen, wird dadurch ungemein erleichtert und zugleich die Analogie des Vectorpotei^tials mit dem scalaren Potential, die so viel zum Verständnisse der Sache beiträgt, viel klarer vor Augen ge- führt. Am Wesen der Sache selbst wird dadurch natürlich nichts geändert; man hat nur im Auge zu behalten, dass die hier gegebenen Werthe von K nachträglich überall noch mit fi zu multipliciren sind, um das MaxwelFsche Vectorpotential zu erhalten. Ausserdem habe ich auch das MaxwelFsche Vectorpotential nach Gleichung (176*) bezw. in der etwas ab- geänderten Definition von Gleichung (200) überall mit geführt. Eine sorgfältige Unterscheidung beider Werthe erwies sich dabei als unerlässlich und ich habe daher überall, wo ich 91 in dem Sinne Maxwell's gebrauchte, dies durch die Schreib- weise ÄMaxw. angegeben. § 84. Die Laplace'sche Gleichung für das Vectorpotential. Ersetzen wir die Vectoren K und c durch ihre Com- ponenten Ä^Ä^A^ und CiC^c^, so zerfällt Gleichung (176) in die- 3 scalaren Gleichungen A=/^, A-'f-^, A=f^ . (177) Die in irgend einer Richtung genommene Gömponente des Vectorpotentials bildet demnach das scalare Potential (oder das Pojbential im gewohnlichen Sinne) der in derselben Bichtung genommenen Stromcomponenten. In der That konnte z. B. Ai als ein elektrostatisches Potential betrachtet werdeo, wenn man untef c^ die Baumdichte einer elektrischen Massen- vertheilung verstehen wollte. Daraus folgt ohne Weiteres, dass der durch die Laplace'sche Gleichung ausgesprochene Zusammenhang zwischen V und q auch zwischen Ä^ und c^ u. s. f. besteht. Man hat also VMi = -4äCi (178) Digitized by Google 218 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbaa des Systems. neböt den zwei entsprechenden GleichuDgen für die beiden anderen Achsenrichtungen. Multipliciren wir diese Gleichungen der Reihe nach mit i; |; t und addiren^ so erhalten wir nach Gleichung (70) S. 58 V^« = - 4jrc (179) d. h. die Laplace'sche Gleichung gilt für das Vector- potential elektrischer Ströme ebenso wie für das scalare Potential von Massen, die sich nach dem Coulomb'schen Gesetze abslossen. § 85. Die div des Vectorpotentials. Durch Ausführung der Operation V an dem scalaren Potentiale gelangt man nach Gleichung (104) S. 82 zur Kennt- niss der in dem Felde auftretenden Kraft. Um den innigen Zusammenhang beider Arten von Potentialen zu erkennen, müssen wir jetzt untersuchen, welche Eigenschaften des Vector- potentials dieser gegenüber zu stellen sind. Hierbei ist zu beachten, dass die Operation V an dem Vector V nach § 20 auf zwei verschiedene Arten ausgeführt werden iann und jenachdem diö div oder den curl davon liefert. Zunächst bilden wir hier die div von Ä. Bei dieser Ermittelung wollen wir aber von vornherein darauf Rücksicht nehmen, dass % nicht das Potential eines beliebigen Vectors bedeutet, der nur stetig im Baume ver- theilt zu sein braucht, sondern dass der Vector, von dem es genommen wird, die wahre elektrische Strömung r ist, der ausserdem die besondere Eigenschaft der solenoidalen Ver- theilung zukommt. Die Gleichung divr = 0, durch die dies ausgesprochen wird, bildet ja 9ie fundamentale Voraussetzung der ganzen MaxwelFschen Theorie. Die be- sondere Bedingung, der c unterworfen ist, führt auch zu be- sonderen Eigenschaften des Vectorpotentials elektrischer Ströme, die dem ganz allgemein aufgefassten Potentiale eines beliebigen Vectors nicht zukommen. Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 219 Zur Ausführung der Diflferential-Operation div unter dem Integralzeichen in Gleichung (176) sind wir berechtigt, falls in dem Ergebnisse die Umgebung des Aufpuuktes nicht un- endlich grosse Beiträge zu dem Integrale beisteuert. Es wird sich zeigen, dass dies nicht zutrifft, dass wir also die Operation in dieser Weise vollziehen können. Bei der Bildung dieser div ist ferner zu beachten, dass dabei t in Gleichung (176) als constant anzusehen ist, denn die Operation bezieht sich ja nur auf Veränderuugen, die Ä bei Verschiebungen des Aufpunktes erleidet. Auf der rechten Seite der Gleichung (176) ändert sich aber in diesem Falle nur die Entfernung r des Aufpunktes vom Volumenelemente dv Zerlegt man zur weiteren Ausführung der Operation c in seine 3 Gomponenten und zieht nachträglich wieder zusammen, oder bezieht man sich dabei, was noch einfacher ist, auf Gleichung (78) S. 61, so erhält man nun leicht diY%=ft'Vjdv. Dass die Umgebung des Aufpunktes nur unendlich kleine Beiträge zu dem Baumintegrale liefert, dass wir also zur Ausführung der Operation unter dem Integralzeichen berechtigt waren, ergibt ^ch nun leicht aus der folgenden Hülfs- betrachtung. Die Operation V an i/r führten wir schon in § 36 aus; sie führte zu 1— tff.»j wenn t den Badiusvector vom Yolamenelemente zu dem Auf- punkte, oder zu >7r>, wenn ?'=« — ? den entgegengesetzt gerichteten Radiusvektor mit dem Tensor r bedeutet. Aus der Umgebung des Auf- panktes grenzen wir durch eine Eegelfläche mit der unendlich kleinen » Oeffnung & einen Raumtheil ab, den wir weiter in Baumelemente zer- legen, so dass ein solches Element das Volumen &r*dr erhält. Für alle in dem Kegelraume liegenden Elemente hat v'/r denselben Werth; es bedeutet einen in der Richtung von t' (der Eegelachse) gezogenen Einheits- vector und ^^/r ist die Projection von c auf die Kegelachse. Der Bei- trag des betrachteten Raumelements zu dem oben stehenden Raum< integrale ergibt sich demnach zu (odr • — , Digitized by Google 220 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. ist also in der That (solange nicht c selbst unendlich gross wird, was selbstverständlich auszuschliessen ist) unendlich klein von der Ordnung mdr, wenn auch r bis auf Null abnimmt. Damit ist die aufgestellte Behauptung bewiesen und unser Verfahren gerechtfertigt. Wie sich aus den vorhergehenden Bemerkungen ferner noch ergibt, kann man dem Werthe V(Vr) zwei verschiedene Bedeutungen unterlegen, je nachdem der eine oder der andere Endpunkt von r dabei als variabel angesehen wird, d. h. je nach der Richtung von t bezw. t'; beide Werthe unterscheiden sich indessen nur durch das Vorzeichen von einander. — Nach dem Gange der Entwickelung war in der Gleichung für div Ä die Operation V(l/r) auf Verschiebungen des Aufpunktes zu be- ziehen. Wir können und wollen uns aber nun anstatt dessen V so ausgeführt denken, dass wir es auf Verschiebungen des Baumelemeiites dv beziehen. Schreiben wir zur Unterscheidung von der vorigen Gleichung in diesem Falle — V' für V, so wird div« = — rcV'(^)^t;. Auch bei diesen Verschiebungen ist natürlich c immer noch als constant zu betrachten. In der That kommt der ganze Uebergang aus der einen Form der Gleichung in die andere nur darauf hinaus, dass wir, anstatt die Lage des Aufpunktes einer Variation zu unterwerfen, dem ganzen stromführenden Systeme eine Translation in der. entgegengesetzten Richtung ertheilen. Die relative Lagenänderung, auf die es allein an- kommt, bleibt in beiden Fällen dieselbe. Nach dem schon oben angezogenen Kechengesetze Gleichung (78), ist aber allgemein ^ cV.(-) = div--~idivc, \rj r r ■ wobei die Operationen V und div sich ebenso wie* vorher V* auf Verschiebungen des Punktes beziehen, zu dem c gehört und wobei nun auf der rechten Seite c selbst als mit den zugehörigen Verschiebungen des Punktes veränderlich an- Digitized by Google div« Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 221 zusehen ist. Führen wir dies in die vorige Gleichung ein, so erhalten wir div«= TidivceZt;- Tdiv-dt; . . . (180) In dem besonderen Falle des Vectorpotentials wahrer elektrischer Strome ist aber, wie schon bemerkt, diy c = 0, so dass das erste Glied des gefundenen Ausdrucks ohne Weiteres gestrichen werden kann. * Vom zweiten Gliede gilt zunächst wieder, wie sich dies auf dem vorhin erörterten Wege nachweisen lässt, dass die Umgebung des Aufpunktes keine unendlich grossen Beiträge zu d^m Integrale lieferb Femer lässt es sich mit Hülfe von Gleichung (101) S. 77 in ein Oberflächen- integral umwandeln, so dass gefunden wird. Unter df ist das Element einer den ganzen betrachteten Baum einschliessenden Fläche zu verstehen. Schon bei der Aufstellung der Definitionsgleichung von 9L war aber fest- gesetzt worden, dass alle Theile des Baumes in Betracht zu ziehen sind, in denen c überhaupt vorkommt. An der diesen Baum umschliessenden Fläche ist daher c jedenfalls überall gleich Null und wir gelangen damit zu dem Endresultate div« = (181) Das von einem vollständigen Systeme wahrer elektrischer Strome genommene Vectorpotential er- füllt demnach überall im Baume, wie diese Ströme selbst, die solenoidale Bedingung. Liesse man dagegen die beschrSukende Voraussetzung fallen^ dass das Potential von einem Vector genommen werden soll, der selbst die solenoidale Bedingung erfüllt, so würde diy K durch das erste Qlied der rechten Seite von Gleichung (180) dargestellt werden, d. h. div K wäre das scalare Potential der div des Vectors, dessen Vectorpotential K ist. Digitized by Google 222 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. § 86. Der curi des Veetorpotentials. Die unmittelbare Ausführung der Operation eurl an Gleichung (176) liefert Folgendes. Zunächst wird aus dem curl von «/r, falls c constant ist, wie entweder aus Gleichung (80) S. 61 geschlossen oder auch durch directe Zerlegung in die Componenten leicht gefunden wird, ««xt(i)=v(vi), Beziehen wir die Operation V auf Verschiebungen des zu dv gehörigen Endpunktes von r, so ist, wie im vorigen § das Vorzeichen zu wechseln und man erhält cur\9l = fYt(y^)dv = — f^Yttdv. . (182) Wegen der Entwicklung von V(V»') und des Nachweises, dass die Ausführung der Differentialoperation curl unter dem Integralzeichen zulässig war, verweise ich auf die entsprechenden Bemerkungen im vorigen §, die auf den vorliegenden Fall leicht zu übertragen sind; unter x ist in Gleichung (182) jetzt der vom Aufpunkte nach dem Raumelemente dv hingehende Radiüsvector zu verstehen. Der Werth von curlX lässt sich aber auch noch durch eine zweite von dieser ganz unabhängige Ent- wickeluug ermitteln. Der Vergleich der beiden Ergebnisse wird uns dann zu wichtigen Folgerungen führen. Nach Gleichung (72) S. 59 ist nämlich allgemein curP« = V-div«— V«. In unserem Falle ist aber Ä, wie durch Gleichung (181) ausgesprochen wird, solenoidal vertheilt, so dass hier speciell curP« = ~V2« (183) zu setzen ist. Für V^Ä haben wir aber schon nach der Laplace'schen Gleichung einen Werth gefunden, den wir hier einsetzen können, so dass curP« = 4jrc (184) Digitized by Google • Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 223 wird. — Es handelt sich jetzt darum, diese Gleichung zu integriren^ um curl 9L daraus abzuleiten. Dazu yerhilft ans die zweite Hauptgleichung. Nehmen wir zunächst an^ dass in der unmittelbaren Umgebung des Aufpunktes keine ein- geprägten magnetischen Kräfte §§ vorkommen, so wird diese durch Gleichung (153) S. 158 dargestellt. Wir erhalten also auch curP« = clirl§ (185) Die Integration liefert uns curl«==§+V^- (186) Das mit V^ bezeichnete Glied spielt hier die Rolle einer Integrationsconstanten ; es ist indessen keine wirkliche Gonstante, sondern eine noch näher zu bestimmende Grösse, von der wir zunächst nur wissen, dass sie einen Vector bedeutet, dessen curl gleich Null ist. Ein solcher Vector lässt sich aber (vgl. Gl. 104 S. 82) aus einem scalaren Potentiale W ableiten, wesshalb die Schreibweise V9** in Gleichung (186) von vorn- herein gewählt werden konnte. Eine weitere Eigenschaft des Vectors V^ ergibt sich, wenn wir Gleichung (186) der Operation div unterwerfen. Nach Gleichung (71) S. 58 verschwindet dann der Werth auf der linken Seite und man erhält mit fernerer Berücksichtigung von Gleichung (68) divV^ = V2^ = — div§ . . . . (187) Nun ist stets div 8 = und daher überall wo (i constant ist, auch div § = 0. In allen solchen Gebietstheilen ver- schwindet daher V^^. . Trifft dies im ganzen Räume zu, so wird W zu einer Constanten und das Glied V^ fällt aus Gleichung (186) fort. Wir kommen damit auf den von der Elektrodynamik nach der Pernwirkungslehre mit Vorliebe, ja fast ausschliesslich behandelten Fall, dass Ströme auf einander wirken, ohne dass Eisenmassen (bezw. Kobalt oder Nickel) ins Spiel kommen. In diesem Falle ist also curl Ä = § 8 = fi curl Ä = curl Ämaxw. , (188) Digitized by Google 224 Dritter Abschnitt. Weiterer Aasbaa des Systems. Die letzte Gleichung gibt an^ wie sich diese Beziehung gestaltet^ wenn man die in § 83 besprochene ursprüngliche Definition des Vectorpotentials (mit ÄMaxw. bezeichnet) zu Grunde legt. Dort, wo div § nicht gleich Null ist, also an den Grenz- schichten zwischen Eisenmassen und Luft oder auch im Innern von Eisenmassen mit wechselnder Permeabilität kann man nach § 53 dafür setzen . div§ = 4;r(y/, worin O/ die Kaumdichte freier magnetischer Massen bedeutet. Setzt man dies in Gleichung (187) ein, so erhält man \7^W^ — 4.%6f (189) Das ist aber die Laplace'sche Gleichung, die von dem scalaren Potentiale der freien magnetischen Massen erfüllt wird. Von einer Constanten, auf die es nicht ankommt ab- gesehen, lässt sich daher W darstellen durch W /Cfdv Das Glied V^ in (18.6), auf dessen nähere Ermittelung es ankam, ist hiermit Yollständig bestimmt. Nach Gleichung (104) in Verbindung mit dem für W hier gefundenem Werthe stellt nämlich — V^ die von den freien magnetischen Massen (wenn wir diese, an die Begriflfe der Fernwirkungslehre an-' knüpfende Auffassung für den Zweck der Beschreibung der Erscheinungen zulassen wollen) herrührende magnetische Kraft dar. Bezeichnen wir diese für den Augenblick mit §;«, so lässt sich Gleichung (186) auch schreiben: § = §. + curl« I » = »,, + ^ CUrl a = ». + CUrl «Maxw. J ^ ^ Der ganze EraftSuss und der ganze Inductionsfluss werden dadurch iü zwei Theile geschieden, von denen der eine un- mittelbar von den elektrischen Strömen herrührt und bei allen Aufgaben, bei denen kein Eisen dazwischen kommt, allein Digitized by VjOOQIC Drittes Capitel. Das Veotorpotential. 225 bestellt, während der andere durch die Dazwischenkunft des Eisens bedingt ist und das von den magnetischen Massen aus- gehende Feld darstellt. Die Gleichungen (188) geben nur den speciellen Fall der Gleichungen (191) an, in dem §« und 9Sm verschwinden. ^ Durch diese Gleichungen findet die im Eingange von § 85 aufgeworfene Frage ihre Beantwortung. So wie die Operation V an einem scalaren Potentiale zu der im Felde auftretenden Kraft führt, erhalten wir durch dieselbe Operation, wenn wir sie an dem Vectorpotentiale elektrischer Ströme nach Vectorart ausführen (d. h. den curl nehmen), die von den elek- trischen Strömen unmittelbar (also ohne die Da- zwi&chenkunft freier Magnetismen) herrührende mag- netische Kraft. Die damit hervorgehobene wichtige Analogie zwischen den beiden Arten von Potentialen wird nur dadurch etwas gestört, dass in Gleichung (104), die als das Analogon von Gleichung (191)^ zu gelten hat, ein Minuszeichen vorkommt, das in dieser fehlt. — Dass die Ausführung der Operation V an dem Vectorpotentiale nach scalarer Art, also die Operation div, zu Null führt, ergab sich, woran in diesem Zusammen- hange nochmals erinnert werden soll, schon in § 85. § 87. Berücksichtigung der eingeprägten Kräfte. Die vorigen Betrachtungen werden nur dann ungenau, wenn der Aufpunkt selbst im Innern eines magnetisch harten Körpers liegt. Dass im Felde überhaupt magnetisch harte . Körper und in diesen eingeprägte magnetische Kräfte vor- kommen, hindert nämlich die Anwendbarkeit der vorher- gehenden Schlüsse nicht, falls nur der Aufpunkt selbst an einer Stelle des Feldes liegt, an der keine eingeprägten Kräfte auftreten. Wir wollen jetzt sehen, welche Aenderungen unsere Gleichungen im anderen Falle erfahren. Die erpte Hauptgleichung wird dann durch Gleichung (174) S. 213 dargestellt. Setzen wir sie bei der im vorigen § durch- Pöppl, MaxweU'sclie Theorie der Elektricität. 15 Digitized by Google 226 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. geführten Betrachtung in Gleichung (184) ein, so geht diese über in curP« = curl(§~$i). Durch Integration findet man daraus wie vorher curl« = § — ^i + V?*- .... (192) wo aber jetzt an Stelle von Gleichung (187) ^^^9**= div^l — div$ = div§i — 4.n6f tritt. Zerlegen wir nun ^ überall in die Bestandtheile § = §m + §i + §*, wo ^e die von elektrischen Strömen unmittelbar herrührende Kraft bedeutet und rechnen zu %my wie seither, jenen Theil von $, der zur Vertheilung freier magnetischer Massen gehört, so folgt div § = div ^m und daher div$i = 0. Die eingeprägte Kraft ^\ ist daher überall solenoidal vertheilt. Demnach stellt — V3*' in Gleichung (192) wie vorher die magnetische Kraft ^m dar. Diese Gleichung geht also über in curl« = §— §i-§;„. Setzt man noch §i = curl Äi, wozu wir berechtigt sind, da div^i Null war, so folgt curl(« + «i) = $ — ^«», d. h. die Gleichungen (191) bleiben auch im Innern magnetisch harter Körper noch gültig, falls man unter Ä das Vector- potential dt mit einrechnet, aus dem sich die eingeprägten Kräfte ^i ableiten lassen. Ueberall ausserhalb der magnetisch harten Körper föllt das Glied Äi aus der Gleichung heraus, da sein curl dort verschwindet. § 88. Darstellung von ^ und 83 dxircli Baumintegrale. In § 86 gelangten wir auf zwei verschiedenen Wegen zu zwei Werthen von gleichfalls ganz verschiedener Form für Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 227 den curl des Vectorpotentials. Der Vergleich beider Ifefert uns eine Darstellung der magnetischen Kraft und der mag- netischen Induction in der Form eines Raumintegrales. Aus Gleichung (182) und Gleichung (191) erhalten wir in der That unmittelbar ö = »m-fty^V"'^^ . ■ . (193) Von der veränderten Bezeichnungsweise abgesehen, ^st die erste dieser Formeln genau der von der Fern wirkungsl ehre auf Grund des Biot-Savart'schen Gesetzes aufgestellte Ausdruck über die von elektrischen Strömen im Vereine mit Magneten (von denen das Glied ^m herrührt) ausgehenden magnetischen Kräfte. Indessen ist daraus keineswegs zu schliessen, dass die MaxwelFsche Theorie zu dem genannten Elementargesetze führe, denn aus Gleichung (193) folgt noch nicht, dass bei einer Zerlegung von 8 in ebensoviele Elemente als Raumelemente dv vorkommen, nun auch das Element des Integrals das von dem betreffenden Raumelemente herrührende Element von 8 richtig wiedergebe. Die Gültigkeit der Gleichung ist vielmehr hier nur unter der ausdrücklichen Voraussetzung bewiesen, dass die Integration über den ganzen Raum ausgedehnt wird, in dem elektrische Ströme vorkommen. Auf Bruchtheile dieses Raumes und speciell auf einzelne Raum- oder Stromelemente kann sie daher nicht angewendet werden. — Ein solches Elementargesetz wie das Biot-Savart*sche hat übrigens in der Maxweirschen Theorie überhaupt keinen Platz. Nach ihr sind ungeschlossene Stromelemente physi- kalisch nicht möglich, daher fehlt auch dem Begriffe der von einem solchen Stromelemente ausgehenden magnetischen Kraft jede physikalische Bedeutung. Jede Zerlegung der Gesammt- wirkung auf die einzelnen Elemente ist dadurch von vorn- herein als ein Act der Willkür gekennzeichnet, der weder bestätigt, noch durch die Erfahrung widerlegt werden kann, da er einen Fall setzt, der an sich ausgeschlossen ist. 15* Digitized by Google 228 Dritter Absclinitt. Weiterer Ausbau des Systems. •Aus der ersten Hauptgleidiung folgte schon, dass der curl von §, falls der Aufpunkt frei von eingeprägten Kräften ist, wieder za Axt führt. Wienn man versucht, dieses Resultat aus Gleichung (193) durch Ausführung des curl unter dem Integralzeichen abzuleiten, wird man daran dadurch gehindert, dass die Elemente des Integrals in der unmittelbaren Nachbar- schaft des Aufpunktes unendlich grosse Werthe annehmen. Im Gegensatze zu dem in § 85 bei Untersuchung der Frage, ob dort die Ausführung der Operation div unter dem Integral- zeichen zulässig sei, gefundenen Sachverhalte, würden wir bei der Wiederholung dieser Untersuchung für den jetzt vor- liegenden Fall finden, dass unendlich kleine Bezirke in der Nähe des Aufpunktes endliche Beiträge zu dem betreffenden Integrale lieferten, so dass die Ermittelung des wahren Werthes von curl § auf diesem Wege — wenigstens nicht ohne eine sorgfaltige gesonderte Untersuchung dieser Verhält- nisse — nicht möglich ist. § 89. Vectorpotential von Magneten. Die Gleichungen (191), die für den Fall, dass keine Magnete (d. b. hier magnetisch weiche oder harte Körper, deren Permea- bilität von der der Luft merklich verschieden ist) vorkommen, durch die einfacher gestalteten Gleichungen (188) ersetzt werden, lassen sich noch so umformen, dass sie sich auch in anderen Fällen der Form nach vollständig mit diesen decken. Dazu ist nur nothig, dass wir dem Symbole Ä in den Gleichungen (188) eine etwas erweiterte Bedeutung beilegen. Hierdurch werden wir auf den Begriff des Vectorpotentials von Mag- neten .geführt. Beschränken wir uns nämlich zunächst auf die Betrachtung solcher Raumtheile, in denen' ft constant ist, während wir ausserhalb dieser Gebietstheile ft als veränderlich ansehen, so lässt sich die in Gleichung (186) als Integrationsconstante eingeführte und später in Gleichung (191) als die von freien Magnetismen ausgehende magnetische Kraft ^^ erkannte Digitized by Google ^}(195) Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 229 Grösse —S7W nicht nur, wie es bisher besprochen war, von einem scalaren Potentiale, sondern ausserdem auch von dem Potentiale eines (vorläufig noch unbekannten) Vectors ab- leiten. Wir nennen diesen 9l,n und setzen §^ = — V^-curl«^ . . . [ (194) Die Bedingung dafür, dass dies zulässig ist, besteht nach Gleichung (71) S. 58 darin, dass div$,„ oder V*?^ Null ist. In dem Räume, den wir uns jetzt zur Betrachtung ausgewählt haben, triflFt dies aber nach den auf Gleichung (187) folgenden Bemerkungen zu. Führen wir den Werth von ^m in Gleichung (191) ein und bezeichnen wir zum Unterschiede von Am das von den elektrischen Strömen c herrührende Vectorpotential mit Äe., die Summe beider aber mit Ä, so ist § = curl %rn + curl %e = curl (8l;„ + fie) = curl Ä I 8 = fi curl tl == curl ÄMaxw. Das Glied Ät, von dem in § 87 die Rede war, verschwindet in dem Räume, den wir betrachten, ohnehin. Der Vector Ä« heisst das von der Anwesenheit der Magnete herrührende Vectorpotential, obschon er vorläufig noch nicht in jener analytischen Form dargestellt ist, die der Definition des Vectorpotentials in § 83 zu Grunde gelegt wurde. Wir kennen bisher überhaupt noch nicht jenen Vector, als dessen Potential 9im aufgefasst werden konnte und werden ihn jetzt erst zu bestimmen suchen. Dieser Bestimmung stellt sich die Schwierigkeit entgegen, dass die Gleichungen (194) und (195) nicht für den ganzen Raum, sondern nur in den vorher näher bezeichneten Gebiets- theilen gültig sind. § 90. Direote Bestimmtuig von SlMazw. Aus dem soeben angeführten Grunde fassen wir die Auf- gabe jetzt etwas anders an und bestimmen unmii1;elbar den Vector ÄMaxw. aus der Gleichung » = curl«M«w. (196) Digitized by Google 230 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. die nach Gleichung (195) zunächst überall dort gilt, wo fi constant ist. In dieser Form lässt sich die Gültigkeit der Gleichung aber auf den ganzen Raum ausdehuen, da nach den Grundlagen der Theorie wahrer Magnetismus nirgends vor- kommt, d. h. div 8 überall Null ist und weil daher die Be- dingung dafür, dass 8 als curl eines anderen, noch näher zu bestimmenden Yectors Kmexw. angesehen werden kann, überall zutriffi Von ÄMaxw. selbst wissen wir zunächst nur dies, dass es mit dem in Gleichung .(176*) definirten Werthe zusammenfällt, so lange keine Magnete in dem Probleme auftreten. Jetzt aber, wo wir die Anwesenheit von Magneten voraussetzen und Gleichung (196) auch selbst auf die Grenz- schichten zwischen Eisen und Luft u. s. w. angewendet werden soll, haben wir es ganz von Neuem zu bestimmen. In unserem gegenwärtigen Falle hat daher tlMaxw. nur die eine Bedeutung einer Stammgrosse, aus der sich durch Ausführung der Operation curl die magnetische Induction 8 überall im Felde ableiten lässt, d. h. Ämsxw. wird durch Gleichung (196) selbst definirt und ist vorläufig keinen weiteren Beschränkungen unterworfen. Gleichung (196) ist aber eine Diflferentialgleichung, aus der ÄMaxw., wenn 8 im ganzen Räume gegeben ist, durch eine Integration hervorgeht. Daraus folgt, dass es durch Gleichung (196) noch nicht vollständig defiuirt ist, indem bei der Integration noch eine willkürliche Grösse hinzukommen kann, die sich aus der Gleichung (196) wieder forthebt. Denken wir uns irgend eine Losung 9t der Gleichung (196) gefunden und fügen wir ihr einen Vector Ä hinzu, so wird X 4^ A auch eine Losung der Gleichung sein, falls nur überall curl A »s ist. Sonst ist der hinzuzufügende Vector ft keiner Beschränkung unterworfen; wir können ihn daher überall so wählen, dass seine div überall das Entgegengesetzte der div der ersten Lösung 9t und daher die div der neuen Lösung (91 + St) überall Null ist. Die in dieser Weise specialisirte Lösung (91 + Ä), oder, wie wir jetzt wieder dafür schreiben, 9tMaxw.; der Gleichung (196) Digitized by Google 1 Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 231 wollen wir wählen und wir müssen auch gerade diese wählen, wenn wir erreichen wollen, dass für den schon früher be- handelten Fall des Fehlens von Magneten im Felde die ge- fundene Lösung sich mit der für diesen Fall gegebenen Definition von Knaxw. deckt. Nach diesen Festsetzungen ist also überall im Räume div«M»xw. = (197) Nach Gleichung (72) S. 59 ist daher hier CUrl* ÄMaxw. = — V^ ÄMaxw. mit Berücksichtigung von Gleichung (196) also auch V^ÄMaxw. curl». Setzen wir hier für 8 den Werth ^^ und führen die Operation nach Gleichung (80) S. 61 aus, so erhalten wir V««M*xw. = - fi curl$ - V(Vft) . §. In diese Gleichung können wir nun femer noch den Werth von curl^ aus der ersten Hauptgleichung einführen und zwar müssen wir hierbei, da die Gleichung im ganzen Räume gültig bleiben soll und in diesem auch magnetisch harte Körper vorkommen sollen (oder doch vorkommen können), von vornherein auch auf die eingeprägten magnetischen Kräfte I Rücksicht nehmen, die erste Hauptgleichung also in der Form I (174) S. 213 anwenden. Wir erhalten so ; V^«M»xw. 4Äfie-ftcurl§i-V(Vft).§ (198) Der Vergleich mit der Laplace'schen Gleichung (179) S. 218 zeigt uns, dass damit der Vector gefunden ist, als dessen Potential Kma^w. zu betrachten ist. Setzen wir nämlich zur Abkürzung !==e + ^curl#. + j^^-VC'7'»)^ • • (199) 80 ist WMaxw. .=/^^ • . . . . (200) womit die Aufgabe vollständig gelöst ist. Für den Fall, dass überall [i constant und §i gleich Null ist,^ gebt dieser Werth Digitized by Google 232 • Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. in den durch die Definitionsgleichung (176*) gegebenen über. Wohl zu beachten ist indessen, dass die Permeabilität fi in Gleichung (200) unter das Integralzeichen und nicht, wie dies bei der ursprünglichen Definition von Maxwell zutraf, vor das Integralzeichen zu setzen ist. Die auf der rechten Seite von Gleichung (199) auf c folgenden beiden Glieder haben dieselbe Dimension wie elek- trische Strömungen und können daher durch fingirte Ströme ersetzt werden. Es könnte daher scheinen, als wenn dies die Ströme wären, die von Ampfere zur Erklärung der magnetischen Erscheinungen benutzt wurden. Hier drängt sich indessen eine wichtige Bemerkung auf. Bilden wir nämlich von dem durch Gleichung (199) gegebenen Werthe von! die div, so finden wir, dass sie nicht überall im Räume verschwindet. Nach dem Grundsatze der solenoidalen Ver- theilung der wahren elektrischen Ströme (der übrigens für stationäre Ströme, wie sie hier in Betracht kommen, eine selbstverständliche Forderung jeder Theorie und nicht nur der MaxwelFschen bildet), trägt zwar das erste Glied nichts zu dieser div bei und ebensowenig das zweite, wie aus Gleichung (71) hervorgeht. Die div des dritten Gliedes verschwindet aber im Allgemeinen nur dort, wo (i constant ist. Nach den Rechengesetzen der Gleichungen (78) und (81) lässt sich dies leicht weiter ausführen. Nach einigen Umformungen erhält man ^* = Ä'^J-{'»<='^'-'^ + V(Vf*)-^}=ivi.curl» (201) Damit ist die ausgesprochene Behauptung bewiesen. Anders ist es mit der div von [il, also jenes Vectors, dessen . Potential nach Gleichung (200) durch ÄMaxw. angegeben wird. Sie wird, wie man sich leicht überzeugt, in der That zu Null, d. h. der Vector fei, der aber nicht als ein elektrischer Strom aufgefasst werden darf, da er von ganz anderer Dimension ist, also eine physikalisch von einem solchen durchaus ver- schiedene Grösse darstellt, erfüllt an Stelle des zur Er- klärung der magnetischen Erscheinungen etwa zu fingirenden Stromes die solenoidale Bedingung. Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 233 Das Ergebuiss dieser fQr die Theorie des Magnetismus überaus wichtigen Betrachtung besteht demnach darin, dass man zwar ein System elektrischer Strömungen angeben kann, das nach Multiplication mit der Permeabilität [i einen Vector liefert, aus dessen Potential, ohne dass man daneben das Vor- handensein magnetischer Massen anzunehmen brauchte, sich dieselbe Vertheilung des Kraft- und Inductionsflusses ableiten lässt, wie sie sich sonst bei Berücksichtigung dieser Massen ergibt, dass aber zweitens die zu diesem Zwecke zu fingirenden elektrischen Ströme nicht überall solenoidal vertheilt sind. Die Hypothese, dass diese elektrischen Ströme physi- kalisch existirten und dass die etwa bei Stahl- magneten beobachteten magnetischen Wirkungen von ihnen wirklich hervorgerufen wären, oder mit anderen Worten, dass jene magnetischen Kräfte in Wahrheit von molekularen Strömen ausgehende elektrodyna- mische Kräfte wären, lässt sich daher nicht aufrecht erhalten. Dies wird sich auch aus den folgenden Untersuchungen noch weiter ergeben. § 91. Darstellxing von ^e als Vectorpotential. Unter §e sei jetzt, wie schon in § 87, jene magnetische Kraft § verstanden, die von elektrischen Strömen ohne Da- zwischenkunft magnetischer Massen ausgeht. Es ist also jener Theil von §, der in Gleichung (193) durch das zweite Glied in Form eines Baumintegrales dargestellt wurde und es wird mit dem ganzen § identisch, wenn in dem ganzen be- trachteten Räume ft constant ist und keine eingeprägten mag- netischen Kräfte vorkommen. Für §g lässt sich ausser jenem analytischen Ausdrucke noch ein anderer aufstellen, der sich für die Zwecke mancher Untersuchungen besser eignet, weil er selbst die Form eines Vectorpotentials annimmt, auf das die Laplace'sche Gleichung angewendet werden kann. Der Vector, als dessen Potential §ö angesehen werden kann, hat bisher keinen besonderen Digitized by Google 234 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. Namen erhalten, obschon er wegen des Nutzens, den seine Einführung der Theorie leistet, wohl einen solchen verdiente; es ist der curl des wahren elektrischen Stromes t Zur Ableitung jenes Ausdrucks entwickle ich zuvor einen allgemein gültigen Satz der Potentialtheorie, dessen Anwendung uns dann sofort zum Ziele führen wird. Zunächst greife ich auf Gleichung (176) zurück, durch die das Vectorpotential H definirt wurde ^ Ctdv Zur Abkürzung sei, indem ich hierin ebenso wie in der ganzen Ableitung des Satzes Heaviside folge, hierfür in den folgenden Betrachtungen « = potc (202) geschrieben, wodurch das Operationszeichen pot seine Definition erhält. Unter der Voraussetzung, dass der Vector c, worunter jetzt ein im üebrigen beliebiger, aber stetig im Räume ver- theilter Vector verstanden werden kann, die solenoidale Be- dingung div t = erfüllt, ist nach Gleichung (181) S. 221 div« = 0. Nach Gleichung (72) gilt dann die schon bei den Ab- leitungen der vorigen §§ benutzte Gleichung curP« = -V2«. Dazu kommt die Laplace^sche Gleichung, Gleichung (179) V2« 4äc. Ausser den Vectoren Ä und c fassen wir nun ferner noch den Vector § § = curl « ins Auge, der durch diese Gleichung vollständig definirt ist und, wie wir aus den Betrachtungen von § 86, speciell aus Gleichung (191) wissen, mit unserem §« identisch wird, wenn wir c die gewöhnlich damit verbundene Bedeutung unterlegen. Digitized by Google Drittes Capitfll. Das Vectoipotentia). 335 Aus der letzten Gleichung folgt znnäclist nach Gleichung (71) also wiederum nach Gleichong (72) Andererseits erbalten wir aus der DefiDitiotisgleicbung von § curl^ § = cnrl^ « = curl (V^ «) = 4jr cnrl c, also auch V20 = — 4jccurlt, Das ist aber die Laplaee'sche Differentialgleichung für ein Vectorpatential § des Vectors curlt. Wir können daher ihr lutegral unmittelbar angeben und erbalten § = TS]^ ^v = pot ' curl t' - . . (203) Da § zugleich § = curl Ä ^ curl - pot c, so folgt damit der allgemeine Satz der Potential theoriej um deBseu Ableitung es sieb bandelte^ pot ■ curl c =^ curl ^ pot e . . . , (204) d. h. die Operationszeichen pot und curl sind mit einander vertäu seh bar» Nebenbei bemerkt, gilt dieser Satz indessen auch unabhäugig von der beschränkenden Vor- aussetzung div c = 0. Da er hier nur auf Grössen angewendet werden soll; die diese Voraussetzung erfüllen, sab ich indessen von dem allgemeinen Beweise ab, der sich von dem vorigen nur dadurch unterscheidet, dass an Stelle von div Ä der Ausdruck curl ^ V div Ä und zwar nach Gleichung (69) S. 57 verschwindet. Durch Gleichung (203) ist nun zugleich die Aufgabe ge- lostj §^ in der Form eines Vectorpotentials darzuBtelleu. Geben wir nämlich jetzt r wieder die ihm gewöhnlich zu- kommende Bedeutung, so wird hiernach §^. ^= / ^^^ dv = pot curl t (205) Digitized by Google 236 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. § 92. Darstellung von §m als Vectorpotential. Auch der andere Bestandtheil der ganzen magnetischen Kraft § in den Gleichungen (191) und (193), nämlich der von einem scalaren Potentiale ableitbare oder, wie man in der Sprache der materialistisclien Auffassung sagt, der von freien magnetischen Massen herrührende §„t lässt sich ebenso wie $« in der Form eines Vectorpotentials darstellen. Dabei beruht diese Umformung ebenfalls auf einem allgemeinen Satze der Potentialtheorie und zwar diesmal der Theorie des scalaren Potentials, der das Analogon zu dem durch Gleichung (204) ausgesprochenen Satze bildet. Um der Ableitung ihre all- gemeine Gültigkeit zu bewahren, möge zunächst yon der speciellen Bedeutung; die den vorkommenden Grossen hier beigelegt wird, abgesehen werden. ' Ich betrachte zwei stetig im Räume yertheilte scalare Grössen ??" und öy und einen ebenfalls stetig vertheilten Vector ^,n, die durch folgende Gleichungen mit einander yerbundcn sind: §^ V?P- V-pottf/. Das Operationszeichen pot bezieht sich diesmal auf einen Scalar, ist aber sonst ganz in demselben Sinne wie im vorigen § gebraucht. Nach Laplace folgt aus der ersten dieser Gleichungen Aus der zweiten erhalten wir durch Ausführung der Operation V^ Allgemein kann aber die Reihenfolge der beiden Ope- rationen V^ und V vertauscht werden, wovon man sich durch die Entwicklung des Ausdrucks V^V bezw. V-V^ nach den Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 237 für V und V^ gegebenen Definitionen sofort überzeugt. Man hat also auch Das ist abermals eine Laplace'sche Di£ferentialgleichung für das Vectorpotential §mf das von dem Vector — \/6/ ge- nommen ist. Als Losung erhalten wir daher -/' p^dv pot-Vi?/. . . (206) Der Vergleicji mit dem zuerst für ^^ aufgestellten Aus- drucke liefert den Satz, der hier abgeleitet werden sollte: V-potö> = pot-Vfl/ (207) d.h. falls es sich um die Potentiale scalarer Grössen handelt, sind die Operationszeichen pot und V mit einander vertauschbar. Zugleich ist, wenn wir den Buchstabenbezeich nungen nun die specielle Bedeutung, die sie überall hatten, wieder zu- erkennen j, durch Gleichung (206) die Aufgabe gelöst, §rn in der Form eines Vectorpotentials darzustellen. § 93. Der Veotor Vö>. Durch die vorhergehende Betrachtung wurden wir zu dem neuen Vector Vö/ geführt, dessen Eigenschaften von einiger Wichtigkeit für die Theorie des Magnetismus sind. Denken wir uns in einem magnetischen Felde ein Stück weiches Schmiedeeisen, dessen Permeabilität im Innern constant ist und in den Grenzschichten continuirlich bis zu dem Werthe abnimmt, den (i in der Luft hat. Freie magnetische Massen 6/ ' können dann nur in den Grenzschichten vertheilt sein; auf diese ist daher auch die Vertheilung des Vectors V^/ be- schränkt. Der Vector lässt sich mechanisch construiren, näm- lich durch ein Kraftfeld veranschaulichen, das zu dem Potentiale — 6/ gehört. Die zugehörigen Kraftlinien gehen sowohl von der Eisenseite als von der Luftseite der Grenzschicht in diese Digitized by VjOOQIC 238 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. hinein, wenn 6^ dort positiv ist. Die Vertheilung des Vectors ist femer eine wirbelfreie, aber sie ist nicht solenoidal. Im Gegensatze hierzu steht der Vector eurlc, als dessen Potential §« sich in § 91 ergab. Seine Vertheilung ist noth- wendig solenoidal, aber nicht wirbelfrei. Dasselbe gilt auch ▼on den Grossen ^^ and ^^ selbst. Dieser Unterschied ist ein wesentlicher und er verhindert, dass ^^ und %m im ganzen Räume identisch werden können, wie man auch 6f und c wählen möge. § 94. Zerlegung in Elementarmagnete. Ein Kunstgriff, der seiner analytischen Bedeutung nach auf eine partielle Integration hinauskommt, besteht darin, einen Magneten in Raumelemente zu zerlegen, deren Ober- flächen mit freien magnetischen Massen belegt sind, und zwar auch dort, wo, wie im Innern magnetisch weicher Körper, gar keine freien magnetischen Massen in Wirklichkeit auftreten. Man kann dies ausführen, weil sich bei der Sumiairung an den Grenzflächen zweier Raumelemente die dort fihgirten magnetischen Belegungen entgegengesetzten Vorzeichens gegen- einander aufheben, entweder ganz oder nur zum Theile, wenn an dieser Stelle des Raumes schon ursprünglich eine freie magnetische Massenvertheilung gegeben war. Die materialistische Theorie wurde auf diese Zerlegung der magnetischen Massen, die im Wesentlichen darauf hinaus- läuft, dass man durch + m — m ersetzen kann und auf die Vorstellung, dass man durch eine solche gekünstelte Zer- legung dem wahren Sachverhalte näher komme als bei der blossen Betrachtung der resultirenden Massenvertheilung im Räume, durch die Nothwendigkeit geführt, zu erklären, wesshalb die Stücke eines Stahlmagneten nach dem Bruche wieder voll- ständige Magnete sind, wie es also kommt, dass sich an den Bruchstellen neue Pole bilden und warum ferner keine uni- polaren Magnete vorkommen. Für die Kraftlinienlehre ist der Begriff des Elementar- Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotfntial. 239 magneten in diesem Sinne durchaus entbehrlich, da sie auch ohne dieses Hülfsmittel bei der natürlichen und ungezwungenen Entwickelung ihrer Vorstellungen von selbst zur Erklärung der genannten Erscheinungen geführt wird. Bis zu einem gewissen Grade steht jener Begriff des Elementarmagneten sogar im Widerspruche mit den Vorstellungen der Kraftli^iien- lehre. Gewiss kann man sich zwar ein Volumenelement aus einem Stahlmagneten losgelost denken und es als selbständigen Magneten betrachten. In dieser Isolirung ist es aber gerade in Bezug auf seine magnetischen Eigenschaften durchaus nicht mit dem identisch, was es vorher als Bestandtheil des ganzen Stahlmagneten war. Zum mindesten kommt, selbst wenn man annehmen wollte, dass sich an dem inneren Kraft- und Inductionsflusse nichts geändert haben sollte, doch der äussere Kraftfluss hinzu, der sich von dem früheren durchaus unter- scheidet und der doch ebensosehr zur Gharakterisirung eines Magneten im Sinne der Eraftlinienlehre von Bedeutung ist, wie der innere. Durch nachträgliche Zusammenfügung solcher „physikalischer^^ oder „rationeller^^ Elementarmagnete gelangt man daher zu einem Ganzen, das in magnetischer Hinsicht nicht ohne Weiteres als gleichwerthig mit der Summe seiner Theile gesetzt werden darf. Ausser diesen „rationellen^^ kann man auch noch fingirte, nämlich physikalisch nicht realisirbare, aber analytisch und logisch mögliche Elementarmagnete anderer Art angeben, die mit denen der classischen Theorie des Magnetismus in etwas engerer üebereinstimmung stehen. Man gelangt zu ihnen auf folgende Art. Nachdem der ganze von dem Kraft- und Inductionsflusse erfüllte Raum auf beliebige Weise, am besten jedoch dem Laufe der Inductionsrohren folgend, in einzelne Elemente zerlegt ist, betrachte man die Linienelemente einer bestimmten Kraftlinie, in die diese bei der Raumzerlegung zerstückelt wurde, als einzelne selbständige Kraftlinien, so nämlich, dass von den beiden Endpunkten jedes Linien- elementes der eine als Quelle, der andere als Versickerungs- stelle angesehen wird. Zu dem gemeinsamen Endpunkte Digitized by Google 240 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. zweier anf einander folgenden Elemente gehört dann zugleich eine Quelle und eine Versickerung Ton derselben Grösse, so dass sich bei der Summirung beide gegeneinander aufheben. Anfangs- oder Endpunkte von Kraftlinien, die vorher im Innern des betrachteten ßaumelementes lagen, denke man sich «nach der einen oder anderen Seite hin bis ^ur Umfangs- flache verschoben. Das ist zulässig, weil es sich dabei nur um unendlich kleine Verschiebungen der ursprünglich im ganzen Räume verlheilten freien Massen handelt, die sich unter einander noch dadurch ausgleichen, dass man die eine Hälfte der Endpunkte in einem, die andere im entgegen- gesetzten Sinne verschiebt. Das abzuleitende Resultat kann daher hierdurch keine merkliche Aenderung erfahren. Man erreicht es durch diese Verschiebungen, dass auf dem Umfange jedes Volumenelementes die Zahl der Quellen ebenso gross ist, als die Zahl der Versickerungen, während dafür die alge- braische Summe der Quellen und Versickerungen auf einem Flächenstück, in dem 2wei aufeinanderfolgende Volumen- elemente aneinander grenzen, jetzt im Allgemeinen von Null abweicht. Ein einzelnes solches von selbständigen Kraftlinien durch- zogenes Volumenelement sei als ein fingirter Elementarmagnet bezeichnet. Für sich allein kann er allerdings nur dann ohne jede Aenderung bestehen bleiben, wenn wir uns erstens das Auftreten von wahrem Magnetismus an den Endflächen als möglich vorstellen und uns zweitens die regelmässige trans- versale Fortpflanzung des Kraftflusses nach aussen hin durch eine magnetische Härte des Materials aufgehoben denken. Physikalisch ist er also nicht möglich. Analytisch kann aber die Gesammtheit aller Elemente des Raumes durch die Summe dieser Elementarmagnete repräsentirt werden. Selbstverständlich müssen wir uns bei dieser Art der Zerlegung auch den Luftraum in der Umgebung eines Stahl- magneten aus solchen Elementarmagneten zusammengesetzt denken. Gerade um möglichst deutlich hervorzuheben, dass der Begriff des Elementarmagneten nicht an eine Eisenmasse Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 241 u. dgl. gebunden ist, sondern auf alle Körper, die von einem Eraftflusse durchzogen sind, anwendbar ist, habe ich diese Zer- legung hier ausführlicher beschrieben. Die ursprüngliche Vertheilung der freien magnetischen Massen oder nach der Sprache der Kraftlinien der Quellen und Yersickerungsstellen des Kraftflusses ist analytisch der jetzt angegebenen yöllig gleichwerthig und man kann auf Grund der letzteren das bestehende magnetische Feld genau wie vorher nach dem Coulomb'schen Gesetze ableiten. Thut man dies, so stösst man allerdings auch im Luft- räume auf dieselbe Schwierigkeit, wie nach der gewöhn- lichen Theorie im Eisenraume, dass nämlich der Aufpunkt, für den wir die magnetische Kraft berechnen wollen, mitten in die fingirte Massenvertheilung von Magnetismus ab- wechselnden Vorzeichens hineinfallt. Man kann* dies zwar wie dort dadurch umgehen, dass man um den Aufpunkt herum ^eine unendlich kleine Höhle herstellt und die magnetischen Belegungen der Höhlenfläche mit in Rechnung zieht. Einfacher ist es aber, diese Schwierigkeit wenigstens für den Luftraum ganz dadurch zu vermeiden, dass man eine noch etwas geänderte und der ursprünglichen ebenfalls ana- lytisch gleichwerthige Massenvertheilung vornimmt. Um diese möglichst anschaulich zu beschreiben, verfolge ich eine geschlossene Inductionsröhre, die theils im Lufträume, theils im Eisenraume eines magnetischen Feldes verläuft. Nach dem Gesetze der solenoidalen Vertheilung von 8 ist dann Bdf für jeden Querschnitt dieser Röhre gleich] gross. Die Masse an den beiden Endquerschnitten jedes der Elemente, in die man die Röhre durch Quertheilung zerlegen kann, ist, da ö/= div€/4« zu setzen ist, bei der vorigen Massenvertheilung, vom Vorzeichen abgesehen, gleich ^^fl^n oder gleich ^df/ijty^^ Dieser Werth wechselt mit ft; er ist am grössten im Lufträume und am kleinsten im Innern des Eisenkörpers. An den Endquerschnitten aller Elemente denke ich mir nun noch die Massen — ^Ml^^ny^^ zu der vorigen Massenvertheilung über diese Endquerschnitte hinzugefügt, wobei mit fi^ die Permeabilität des Luftraumes I<Öppl, MaxweU'sche Theorie der Elektrioität. 16 Digitized by Google 242 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. bezeichnet ist. Das ist zulässig, weil die angegebene Masse für alle Yolumenelemente constant ist und weil daher an jedem Querschnitte df die von beiden Seiten her aufgelagerten Masseh entgegengesetzten 'Vorzeichens sich genau gegen ein- ander fortheben. Das Minuszeichen in — ^^fj^^nyk^ soll natürlich nur die Bedeutung haben ^ dass es an jedem Endquerschnitte eines Elementes eine der dort schon vorhandenen entgegen- gesetzte Masse angibt. Im Ganzen ist daher überall die neu aufgebrachte magnetische Masse genau gleich Null. Bei allen Yolumenelementen im Luftraum verschwinden aber nun die Endbelegungen jetzt schon für sich genommen infolgedessen vollständig. Die Endbelegungen eines Yolumen- elementes im Eisenraume, bezw. auch in den Grenzschichten, wo die Permeabilität continuirlich aus dem Werthe ft^ in den für das InnBre des Eisens gültigen übergehen mag, betragen dagegen jetzt + iP^fl^^n^ — ^^fj^ny^^y wofür auch + !^'(£-') 47F \fto geschrieben werden kann. In Bezug auf das Vorzeichen be- merke ich, dass bei der vorher gewählten Massen vertheilung jener Endquerschnitt jedes Elementes der Inductionsrohre, auf den die Vectoren § und 8 hingerichtet waren, eine Ver- sickerungsstelle bildete, also mit negativer Masse belegt werden musste. Jetzt hat sich das Vorzeichen der neu angegebenen Mässenvertheilung umgekehrt; an den in der Richtung von § gelegenen Endquerschnitten hat man sich daher im Eisen- raume eine positive Masse von dem angegebenen absoluten Betrage aufgelegt zu denken. Durch diese neue, an sich völlig willkürliche, der ur- sprünglich gegebenen aber analytisch gleichwerthige Ver- theilung der magnetischen Massen, die nur zu dem Zwecke einer erleichterten Berechnung der schliesslich resultirenden magnetischen Kraft erdacht wurde, werden wir auf jenen Be- griff geführt, der für die classische Theorie des Magnetismus eine so fundamentale Bedeutung hatte, während er für die Kraftlinienlehre nur die Bolle eines ganz untergeordneten Hülfs- Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 243 begri£fes spielt. Es ist das die ma'gnetische Intensität und mit ihr wird zugleich auch der Begriff der magnetischen Sasceptibilität eingeführt. Unter der magnetischen Intensität 3 verstehen wir nämlich einen in isotropen Körpern mit fß und § gleichgerichteten Vector, der mit ^ von derselben physikalischen Dimension ist und durch die Gleichung 3 = §^ (208) definirt wird. Der Factor von § in dieser Gleichung wird die magnetische Susceptibilät x genannt, so dass auch ''-^' 3 = ''-« (209) dafür geschrieben werden kann. Mit fß = ft§ geht Gleichung (208) ausserdem in die aus der gewöhnlichen Theorie wohl- bekannte » = fto(# + 4«3) (210) ü1)er^ der hier nur der Factor (Iq (Permeabilität des Luftraumes) beizufügen war. Bei der Anwendung des üblichen magnetischen Maasssystems bleibt die Gleichung numerisch auch nach Streichung dieses Factors noch richtig. Ein ürtheil über die i^ahren Dimensionen der darin vorkommenden Grössen kann a'ber nur aus der vollständigen Gleichung (210) geschöpft werden. Da div fß überall Null und [Iq constant ist^ folgt aus Gleichung (210) ferner div# = -4Ädiv3 (211) and daher 6r nur in der erleichterten Berechnung des magnetischen Feldes nach dem Femwirkungsgesetze auf Grund der zu diesem Zwecke aus- gedachten und vorhin näher beschriebenen Massenvertheilung. Am Endquerschnitte jedes Elementes einer Inductionsröhre, das in der Richtung der Yectoren 9, ^ und auch 3 li^g^y hat man sich zu diesem Zwecke eine positive Masse von der Grösse Jdf, wo J den Tensor von 3 bedeutet, angebracht zu denken. Ausdrücklich mache ich noch darauf aufmerksam, dass man mit demselben Rechte und auch mit demselben Erfolge die Massen — ^^/J'4jrf*«, wo (*« den constanten Werth, den fi etwa im Innern der Eisenmasse annimmt, an Stelle der Massen — ^^f/An(if, bei der vorigen Betrachtung hätte hinzufügen dürfen. Man hätte dann erreicht, dass der ganze innere Eisenraum von magnetischen Belegungen der einzelnen Elemente frei geworden wäre und dass man dann für diesen den Yqrtheil einer vereinfachten Berechnung der magnetischen Kraft gehabet hätte. Luftraum und Eisenraum (mit Ausnahme der lieber- gangsschichten) hätten dann einfach die Rollen getauscht. Aus dieser Erwägung geht auf das Deutlichste hervor, dass 3 keineswegs dieselbe fundamentale physikalische Bedeutung wie die Vecloren fß und § haben kann, dass es vielmehr nur ein durch will- kürliche Subtraction zweier physikalisch bedeut- samer Grossen geschaffener Hülfsbegriff ist,, dem nur eine untergeordnete Rolle in einer geläuterten Theorie zugestanden werden kann. § 95. Aequivalenz eines Ereisstromes mit einer magnetischen Schale nach Ampdre. Bei der Behandlung des Vectorpotentials dürfen wir nicht versäumen, auch die wichtigsten Ergebnisse der Femwirkungs- theorie in die Maxwell'sche Theorie einzugliedern, soweit sie von dieser als gültig erkannt werden oder, falls dies nöthig Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 245 ist; sie so umzugestalten, dass sie sich in den gegebenen Rahmen fügen. Dazu gehört auch der in der üeberschrift genannte Ampere'sche Satz. Unter einer Schale versteht man in diesem Zusammen- hange einen Baum, der yon zwei unendlich benachbarten ebenen oder stetig gekrümmten Flächen und einer ent- sprechenden Randfläche, deren Erzeugende normal zu diesen Flächen stehen, eingeschlossen wird. Wenn eine der beiden Ansichtsflächen eine Belegung von freier positiver, die andere eine ebensogrosse von negativer magnetischer Masse trägt, hat man eine magnetische Schale. Aus einer solchen Schale grenze ich zunächst ein cylin- drisches Element ab, dessen Basisfläehe df Yon sehr kleinen Abmessungen gegenüber der ebenfalls unendlich kleinen Dicke der Schale ist, die als Yector mit a bezeichnet werden soll. Die Dichte der magnetischen Flächenbelegung sei + fn, so dass das Raumelement an seinen Enden die magnetischen Massen -]- mdf und — mdf trägt. Den zu den Ansichtsflächen normal stehenden Vector a denke ich mir von der negativ belegten zur positiv belegten Ansichtsfläche hingerichtet. Die magnetische Kraft d§my die im Aufpunkte durch den Verein der beiden Massen + mdf und —mdf hervorgebracht wird, berechnet sich nach dem Coulomb'schen Gesetze zu d§„, = mdf^, — mdf ^'^^^.s y V + T) wobei der Radiusvektor x vom Aufpunkte nach dem negativen Pole des Elementes hin gezogen ist. Kürzer lässt sich dies schreiben d§m mdf(fiV)^,, oder, da nach § 36, S. 85. vi — 1 r r* ist, auch d§m = mdf(tC7)'V^ (218) Digitized by Google 246 Dritter Abschnitt. Weiterer Aoabau des Systems. Dareh AasftLhnmg der Differentialoperationen oder auch unmittelbar durch Entwickelung des zuerst angegebenen Aus- drucks, wobei unendlich kleine Grossen höherer Ordnung zu vernachlässigen sind, erhalt man dafür noch Damit ist d^m durch zwei Gomponenten dargestellt^ Ton denen eine in die Richtung von t und die andere in die Richtung Yon a fallt. Bei der weiteren Betrachtung werde ich indessen von dem durch Gleichung (213) gegebenen Aus- drucke Gebrauch machen. Bei dieser Betrachtung war vorausgesetzt wordeb, dass die Querschnittsdimensionen des Raumelemeutes von höherer Ordnung unendlich klein seien als die Schalendicke ü. Dies gesöhah, um die Aenderungen, die t bei Verschiebungen des Punktes in der Querschnittsfläche selbst erfahrt, gegenüber jenen^ die der Längsverschiebung ü entsprechen, vernachlässigen zu können. Wir können aber jetzt den Ausdruck für d§m in Gleichung (213) ohne Weiteres auch auf ein Schalen- element von grosserer Querschnittsfläche df anwenden, falls wir dann entweder unter t und seinen Ableitungen passend gewählte Mittelwerthe verstehen oder Gleichung (213) über die kleineren Elemente der neuen Querschnittsfläche integriren. Ich betrachte jetzt fernerhin ein solches grösseres Schalen- element und zwar so, dass die Basis df zwar immer noch unendlich klein ist, so dass sie, da sie zu einer stetig ge- krümmten Fläche gehört, als ebenflächiges Element angesehen werden kann, während ihre Abmessungen doch gross im Ver- gleiche zur Schalendicke sein sollen. Parallel zu den Basis- flächen denke ich mir einen Mittelschnitt durch das Element gelegt, der die Schalendicke H halbirt. Die Grenzlinie der Mittelschnittfläche sei fortan kurz als die Randcurve des Schalenelementes bezeichnet. Längs dieser Randcurve denke ich mir um das Schalenelement einen linearen elektrischen Strom gelegt. Unter einem linearen Strome ist hierbei ein solcher zu versteheUi dessen Querschnittsfläche N.uU oder doch Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 247 unendlich klein ist, während die Gesammtintensität tq, falls q hier die Querschnittsfläche des Stromes bezeichnet/ doch endlich bleibt. Dazu gehört, dass die Stromdichte ( unendlich gross ist. Physikalisch ist ein solcher linearer Strom natürlich nicht möglich; der Begriff bildet nur eine mathematische Abstraction, die sich aber für die theoretische Behandlung vieler Aufgaben Ton grossem Nutzen erweist. Den ümlaufssinn des Stromes denke ich mir so gewählt, dass die Aufeinanderfolge ufed^l ein Rechtssystem im Räume bildet, wenn unter n wie vorher die Schalendicke, unter dfS ein im Sinne des Stromes gezähltes Linienelement der Rand- curve und unter i ein Radiusvector verstanden wird, der von einem Punkte im Innern des Mittelschnitts nach d^ hin ge- zogen ist. Für einen Beschauer, der die Schale so betrachtet, dass er die negativ belegte Ansichtsfläche vor sich hat, geht dieser Strom im Sinne des Uhrzeigers herum. An die Stelle von tdv in den früheren Formeln tritt in unserem Falle (7e?Ä, wenn wir die ganze Stromstärke als Scalar, der nach dem Gesetze der solenoidalen Vertheilung von d^ unabhängig ist, mit C bezeichnen. Ich behaupte jetzt, dass die magnetische Kraft $«, die von dem soeben näher beschriebenen Strome ausgeht, für jeden Aufpunkt, der sich in endlicher Entfernung von der Schale (mindestens aber nicht in dem Schalenelemente selbst) befindet, bei geeigneter Wahl von G identisch mit der Kraft ^m wird, die von den magnetischen Belegungen des Schalen- elementes ausgeübt wird. — Um dies zu beweisen, schreibe ich zunächst den Ausdruck für die Kraft §g an, der sich aus Gleichung (193) S. 227 ergibt. Das Glied §m in jener Gleichung fällt hieR ganz fort und für tdv lässt sich, wie schon bemerkt, Cd^ setzen, so dass man ^ßY erhält. Nach einem schon oft benutzten Satze über den Werth von W^ lässt sich dafür auch Digitized by Google 248 Dritter Abschnitt. Weiterer Ansbau des Systems. §e = cjYd%^V]: (214) schreiben. Dieser Ausdruck bildet, von dem Factor C ab- gesehen, das über eine geschlossene Curve erstreckte Vector- linienintegral des Vectors V~ und zwar kann nach dem vor- her Bemerkten die Curve als eine ebene angesehen werden. Wir können daher den in § 32 abgeleiteten und durch Gleichung (100) ausgesprochenen Satz auf den Ausdruck anwenden und diesen damit in ein Oberflächenintegral über die Fläche des Mittelschnitts transformiren. An die Stelle von div Ä in Gleichung (100) tritt hier V*— Zur Ausführung der Operation V^ an i/r hat man in der Potentialtheorie öfters Veranlassung. Es ist daher ein sehr bekanntes Resultat, dass sie Null ergibt Das folgt schon aus der Laplace'schen Gleichung, wenn man sie auf das Kraft- feld rings um einen isolirten Massenpunkt anwendet. Um" keine Lücke zu lassen^ werde ich diesen Satz jedoch hier in aller Kürze nochmals ab ovo ableiten. Der Reihe nach ist r» = r,2 + r,« + r^«; dr dr dr ±fl\ idr n. ±(1\^ _ri. ±(l\ !s. dx\r) r^dx~ r»' dy\r) r«' dz\r}~ r»' dx^\r)~ r»"^ r* dx r« "+" r» ' Durch Addition der drei letzten Gleichungen finden wir also in der That v(f) .0 (215) Bei Anwendung von Gleichung (100) auf unseren Fall verschwindet daher das erste Glied, Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 249 Beachtet man noch, dass der Werth ft in Gleichung (97) der Aufeinanderfolge fUdi im Vectorproducte entspricht, während in Gleichung (214) der Factor d^ vorn stand, was mit einem Vorzeichenwechsel verbunden ist, so erhalten wir nach Gleichung (100) §. = C^V.(vf «)(?/• .... (216) Der in dieser Gleichung vorkommende Einheitsvector 91 ist zum ersten Male in § 30 unmittelbar vor Gleichung (89) eingeführt worden und zwar wurde damals festgesetzt, dass die Aufeinanderfolge der dort mit n, dn, 91, hier aber mit fe, eZS, fH bezeichneten Grossen zu einem Rechtssysteme im Räume führen müsse. Andererseits setzten wir vorhin bei der Wahl des Umlaufssinnes von di fest, dass die Aufeinander- folge ilt(79 oder, was dasselbe ist, fet^Sa ein Rechtssystem bilden solle. Aus dem Vergleiche ergibt sich daher, dass 91 mit a gleich gerichtet ist. Wenn der Tensor von n wie ge- wöhnlich mit a bezeichnet wird, kann man daher für 91 setzen «/o. Für §e erhalten wir dann Die Schalendicke ist hierbei als constant für das ganze Schalenelement betrachtet. — Nun ist aber die Reihenfolge der Operationen V und aV an einem Scalar stets mit ein- ander vertauschbar, wovon man sich durch einfache Ent- wickelung der Ausdrücke sofort übeneugt. Denken wir uns also Gleichung (213), die sich zunächst auf ein Flächen- element der kleineren Ordnung bezog, über die ganze Fläche des jetzt in Frage kommenden Schalenelementes integrirt, so wird ^e in der That mit $m völlig identisch, falls man C = a.m (218) setzt Damit ist der Ampere'sche Satz über die Aequivalenz der Fernwirkungen des Kreisstromes und einer von diesem Digitized by Google 250 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. begrenzten magnetischen Schale zunächst für ein unendlich kleines Element der Schale bewiesen. Das Product am heisst das auf die Flächeneinheit be- zogene magnetische Moment der Schale. Um den Satz auch auf den Fall einer endlichen Plächen- ausdehnung der Schale, damit also auch auf die ganze ur- sprüngliche Schale zu übertragen, setzen wir voraus, dass das magnetische Moment am für die ganze Schale constant ist. Jedes Schalenelement kann dann in Bezug auf seine Fern- wirkungen nach dem seither Bewiesenen durch einen Strom C von der ermittelten Stärke und ümlaufsrichtung ersetzt werden. Die ganze magnetische Schale ist dann dem Vereine aller dieser „Kreisströme", wie man sie nennt, ohne jedoch dabei vorauszusetzen, dass die Bandcurven wirkliche Kreise seien, äquivalent. Denkt man sich nun die Mittelschnittfläche in derselben Weise, wie es in § 30 besprochen und durch Abbildung 8 erläutert war, durch zwei Linienschaaren in die seither be- trachteten Elemente zerlegt, so heben sich auf jedem Band- curvenelemente, das zwei benachbarten Flächenelementen ge- meinsam ist, die fingirten elektrischen Strome C gegeneinander auf. Nach der Voraussetzung, dass am constant ist, haben nämlich die Ströme C, die beide Flächenelemente umkreisen, dieselbe Intensität und bei gleichem ümlaufssinne um beide Flächenelemente sind sie für das gemeinsame Randcurvenstück von entgegengesetzter Richtung. Beim Zusammenfassen aller Ströme bleiben daher nur jene Stromelemente übrig, die zu Elementen der Bandcurve der ganzen Schale gehören. Diese zusammen ergeben aber einen in sich geschlossenen, die ganze Schale längs ihrer Randcurve in dem früher festgesetzten Sinne umkreisenden linearen Strom von der Stärke C »= am. § 96. Das Vectorpotential einer magnetisclien Schale. Durch die vorhergehenden Untersuchungen sind wir jetzt auch in den Stand gesetzt, die Aufgabe, mit deren Besprechung Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 251 wir in § 89 begannen, deren Behandlung wir aber dann ab- brechen mussten, zu lösen, nämlich das Vectorpotential eines Magneten zu bestimmen. Hier losen wir diese Aufgabe zu- nächst für das Element einer magnetischen Scl^ale und im unmittelbaren Anschlüsse daran für eine magnetische Schale von endlicher Flächenausdehnung. Es handelt sich also jetzt darum, einen Vector K^ in Form eines Yectorpotentials darzustellen, so dass §ni = CUrl fUm in allen Gebietstheilen ist, die ausserhalb der magnetischen Schale liegen. Zn diesem Zwecke forme ich den in Gleichimg (213) ge- gebenen Werth der Kraft df#m, die von dem dort betrachteten Schalenelemente herrührt, mit Hülfe von Gleichung (83) S. 64 weiter um. Hiemach ist (oV) .y-^ = adivV^ + curl,y v|- a. Da div V an einem Scalar mit V* identisch ist, verschwindet hier das erste Glied auf der rechten Seite nach Gleichung (215). Wir erhalten daher aus Gleichung (213) ^§m = Wd/'curlr YV-- a. Die partielle Differentialoperation curlr bezieht sich hier auf Veränderungen, die der dahinter stehende Ausdruck erfahrt, wenn man Verschiebungen des Endpunktes des Radiusvectors t vornimmt. Wie schon in § 85 besprochen wurde, können wir uns dafür den Aufpunkt verschoben denken, falls wir das Vorzeichen' des Ausdrucks umkehren. Schreiben wir in diesem Falle curlr und tragen dem Vorzeichenwechsel durch eine geänderte Reihenfolge der Factoren des Vectorproducts Rechnung, so erhalten wir d^m = mdfcmVr^ ü • V-- Digitized by Google 252 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. Setzen wir also dfi„.^mdf^^Vi'7^ (219) so wird rf§m = curld«w, denn die Operation curl bezieht sich in diesem Zusammen- hange an sich schon auf blosse Verschiebungen des Aufpunktes, hat also dieselbe Bedeutung wie vorher curlr. Das Vectorpotential fim der ganzen magnetischen Schale, also jener Vector, dessen curl überall ausserhalb der Schale die ganze von dieser herrührende magnetische Kraft ^m liefert, ergibt sich nun ebenfalls, wenn wir Gleichung (219) über die ganze Schalenfläche integriren. 9im=fmdfYa'V]: (220) Auch jetzt ist fUm allerdings noch nicht speciell in jener analytischen Form dargestellt, die uns berechtigte, es als das Potential eines Vectors zu bezeichnen. Auch dazu verhilft uns aber eine fernere Umformung, die sich an dem gefundenen Ausdrucke mit Hülfe von Gleichung (96) in Verbindimg mit der DefinitionsgleichuDg (91) für das darin vorkommende 3 vornehmen lässt. Verstehen wir, wie dort, unter 81 eine Einheits- normale, so ist n =» aSt. Falls demnach, wie bei einer mag- netischen Schale, wenn nichts anderes bemerkt wird, stets anzunehmen ist, am für die ganze Schalenfläche constant ist, lässt sich zunächst für Gleichung (220) schreiben und nach den angezogenen Gleichungen geht dies über in «^ = amf^d% (221) Das ist aber, wenn wir auf die Bezeichnungen des vorigen § und speciell auf Gleichung (218) zurückgehen, nichts anderes als %^=j9.d%=J^dv .... (222) Digitized by VjOOQIC / Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 253 Die Linienintegrale sind hier natürlich auf die Randeurve der magnetischen Schale zu erstrecken und wir sind damit zu dem Satze gelangt, dass das Vectorpotential einer magnetischen Schale durch das Potential der elek- trischen Strömung um die Bandcurve angegeben wird^ die nach dem Ampere'schen Satze in Bezug auf die Fernwirkungen der magnetischen Schale äquivalent ist — Das ist natürlich nur eine andere Form der Aus- sprache dieses Satzes und wir hätten iu der That die Ent- wickelungen in § 95 als entbehrlich fortlassen können, falls es nur darauf angekommen wäre, den Satz selbst zu beweisen. Es schien mir aber wönschenswerth, diesen wichtigen Satz von allen Seiten her zu beleuchten. § 97. Ersatz von Magneten durcli elektrisohe Ströme. Wiederholt ist schon darauf hingewiesen worden, dass man durch keine Art der Yertheilung ein System elektrischer Ströme herzustellen vermag, das im ganzen Baume unter der Voraussetzung einer constanten Permeabilität genau den- selben Kraftfluss erzeugt, wie er etwa von einem Stahlmagneten ausgeht. Die Voraussetzung der constanten Permeabilität ist aber fQr die Femwirkungslehre selbstverständlich, da sie den Factor f* in allen ihren Formeln unterdrückt. Die Hypothese, dass die magnetischen Kräfte im engeren Sinne (nämlich die Kräfte §m) in Wirklichkeit von elektrischen Strömen her- rührten, ist daher unbedingt zu verwerfen. Man hat sieh diesem Schlüsse zwar dadurch zu entziehen gesucht, dass man sagte, die Macht der Analyse höre auf, sobald man auf die molekulare Structur Rücksicht nehme. Die analytische Behandlung setze eine stetige Vertheilung der Ströme und magnetischen Massen im Baume voraus, die in Wirklichkeit nicht zutreffe. Sie könne uns daher keinen Aufschluss darüber geben, welcher magnetische Kraftfluss von den einzelnen Molekularströmen ausgehe. Das trifft nun zwar insofern zu, 'als man nicht aus den Digitized by Google 254 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. Formeln ; die für grössere Baumgebiete gelten, Schlüsse auf einen rein molekularen Bereich ziehen darf. Ich glaube aber, dass der Einwand hinfallig wird, sobald man nicht mit solchen Formeln y sondern nur mit den einfachsten Begriffen operirt^ die ihnen zu Grunde liegen. Auf jeden Fall unterscheiden sich nämlich alle Kraft- felder ^e, die von einem Systeme elektrischer Ströme ausgehen, principiell dadurch von den Kraftfeldern ^my dass $« im ganzen Baume solenoidal, ^m dagegen überall wirbelfrei vertheilt ist. Kraftfelder, die im ganzen Baume gleichzeitig solenoidal und wirbelfrei vertheilt wären, gibt es aber nicht. Wollten wir diese doppelte Bedingung auferlegen, so müsste § überall Null sein. Wenn ein Molekularstrom überhaupt ein elektrischer Strom mit den Kennzeichen sein soll, die mit diesem Begriffe sonst überall verbünden sind, so kann er nur in sich ge- schlossene Kraftlinien aussenden. Wie man nun auch eine beliebige Summe solcher Molekularströme gruppiren mag, man wird es niemals erreichen können, dass eine in sich nicht geschlossene Kraftlinie zu Stande käme. Die magnetischen Felder §m sind aber gerade dadurch characterisirt, dass Kraft- linien-Quellen und -Yersickerungen in ihnen auftreten. Durch diese Betrachtung ist auch für eine molekulare Yertheilung der Ampere'schen Ströme unwiderleglich nachgewiesen > dass sie nicht im Stande sind, das, was man als magnetische Massen bezeichnet, zu ersetzen oder überhaupt ein Kraftfeld ^m hervorzurufen. Wollte man aber bei dieser Schlussfolgerung die Prämisse beanstanden, dass ein Molekularstrom nur in sich geschlossene Kraftlinien aussende, so würde von dem Begriffe des Molekularstroms nichts übrig bleiben, was dazu berechtigte, ihn ferner noch als einen elektrischen Strom in dem mit dieser Bezeichnung sonst überall verbundenen Sinne anzusehen. Denn gerade durch das magnetische Kraftfeld, das er hervorruft, wird jeder elektrische Strom am besten characterisirt; vermittelst dieses Kraftfeldes schliessen wir auf seine Stärke und gerade das Kraftfeld ist es auch, das von allen Eigenschaften, die uns sonst von elektrischen Strömen Digitized by LjOOQIC Drittes Capitel, Das Vectorpotential. 255 bekannt sind, von der Ampfere'schen Hypothese allein in Ansprach genommen wird. Aendern wir nun gerade in dieser hier ausschliesslich -in Betracht kommenden Beziehung die Eigenschaften des Molekularstroms vollständig gegen die Eigenschaften aller sonst bekannten Ströme, so haben wir ein Novum, das mit einem elektrischen Strome überhaupt nicht mehr verglichen werden kann. Die Ampere'sche Hypo- these, bezw. die Theorie der Molekularströme ging aber darauf hin, mit den elektrischen Strömen im gewöhnlichen Sinne des Wortes zur Erklärung der Kraftfelder ^m auszukommen und sie ist durch diese Ausführungen daher vollständig widerlegt. In der That hat es ja auch noch Niemand vermocht, auf der Oberfläche, bezw. in den Grenzschichten eines Eisenstücks eine solche Vertheilung elektrischer Ströme anzugeben, die gleichzeitig für den Luftraum und für den Eisenraum (man de'hke hier etwa an den weichen Eisenkern eines Elektro- magneten) unter der Voraussetzung, dass ^n constant ist, zu derselben Kiaftvertheilung führte, wie wir sie in Wirklichkeit beobachten. Nur dann, wenn wie bei einem Ringmagneten der Kraftfiuss an sich nur auf den Eisenraum beschränkt ist und freie magnetische Massen überhaupt nicht ins Spiel kommen, gelingt ein solcher Ersatz. Scheinbar gelingt er bei einem unendlich langen Solenoid bezw. dem ihm gleich- werthigen unendlich langen Stabmagneten, ab^ auch nur desshalb, weil man sich hierbei der Betrachtung der Enden, wo die freien magnetischen Massen auftreten, enthebt. Man erkennt hieraus, auf einem wie unsicheren Boden man sich bewegt, wenn man die Theorie der magnetischen Erscheinungen an die gewöhnlicheElek- trodynamik, die keine Unterschiede in der Permea- bilität in Betracht zieht, dadurch anzugliedern sucht, dass man überall, wo Eisenmassen vorkommen, zu deren Berücksithtigung Ampere'sche Molekular- ströme einführt. Möglich ist ein solcher Ersatz dagegen, so lange man nur das Kraftfeld in der Luft im Auge hat. Möglich ist er Digitized by Google 256 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. auch; wenn es sich nur um das Kraftfeld im Innern eines weichen Eisenstücks handelt; aber in diesem Falle ist das nach Ampere zu fingirende StromsysteitL von dem im vor- hergehenden Falle verschieden. Man wird nach den vorhergehenden Betrachtungen auf die Möglichkeit eines theilweisen Ersatzes der Wirkung der magnetischen Massen^ wenn wir uns der Sprache der materia- listischen Theorie bedienen (oder des Ersatzes fQr den Einfluss, den die Verschiedenheit der Permeabilität ausübt, nach der Sprache der Kraftlinienlehre) durch ein System fingirter elek- trischer Ströme längst nicht mehr das Gewicht legen dürfen, das ihr in der älteren Theorie zugesprochen wurde. Aber schon des historischen Interesses wegen, das sich an diese Untersuchungen knüpft und mehr noch desshalb, weil eine grosse ZaU von Physikern an dem Standpunkte der classischen Theorie immer noch unverrückt festhält, darf ich es niclit versäumen, diese Betrachtung bis zum Schlüsse hin durch- zuführen. Zu diesem Ziele gelangen wir jetzt leicht durch eine Verbindung der Untersuchungen über die Aequivalenz zwischen Kreisströmen und magnetischen Schalen mit der früher an- genommenen Zerlegung eines Magneten in sog. Elementar- magnete. In § 94 wies ich nach, dass es sich bei einer Zer- legung, wie^sie nach der Fernwirkungslehre .üblich ist, nur um eine für die weitere Betrachtung bequemere Repartition der freien magnetischen Massen handelt. Sobald das magnetische Feld im Lufträume ausschliesslich in Betracht kommt, gelangen wir zu einer für diese Unter- suchung bequemeren Massenvertheilung durch die Benutzung defi durch Gleichung (208) S. 243 definirten Vectors 3. Jedes Raumelement in der Eisenmasse, das so wie in § 94 als unendlich kleiner Abschnitt einer Inductionsröhre gedacht werden mag, ist an den beiden Querschnittsflächen Bf mit entgegengesetzt gleichen freien magnetischen Massen von der Grösse Jdf be- legt zu denken. Die zum Luftraum gehörigen magnetischen Raumelemente erfahren gar keine Belegungen. Die Gesammt- Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 257 summe aller Belegungen ergibt dagegen^ wie es fClr die Recht- fertigung der gewählten Massenzerlegung hinreichend und nothwendig ist, wieder genau jene Vertheilung der magnetischen Massen 0^ im Baume, die durch die künstlich ausgedachte Vertheilung ersetzt werden soUjte. Jedes Raumelement in der Eisenmasse ist aber dann identisch mit dem Elemente einer magnetischen Schale. Die Wirkung nach aussen kann daher durch einen Strom längs der Randcurve von der Stärke C = aJ oder, was dasselbe ist, gleich a3 ersetzt werden. Für die Aufstellung des Ausdrucks der im Luftraum er- zeugten magnetischen Kraft oder auch des Yectorpotentials steht es nun völlig frei, das soeben angegebene System elek- trischer Kreisstrome oder die magnetischen Belegungen der Volumenelemente selbst zu Grunde zu legen. Die Integration der früher gegebenen Werthe über den ganzen Eisenk'örper führt in jedem Falle zu dem verlangten Resultate. So erhält man aus Gleichung (213) ^^ =Jjdf' (aV) . V^ =Jj{^v) • V^ dv =JxH{^S7)^V^dv (223) unter ft/jff oder 3/j" ist natürlich ein Einheitsvector in der Richtung des Kraftflusses zu verstehen. Nach Gleichung (214) erhält man #, = 2;a3jVrf»-V^ Daö Integralzeichen bezieht sich hier nur auf einen Kreisstrom und das vorn stehende Summenzeichen gibt an,, dass alle Kreisströme um die einzelnen Raumelemente in Be- tracht zu ziehen sind. Im Lufträume sind $m und $« überall genau gleich (im Eisenraume aber nicht). — Bei der Bildung von §« ist noch zu beachten, dass im Innern des Eisens, falls [n dort constant ist und keine eingeprägten Kräfte vorkommen, die Ströme C Föppl, MaxwelPsche Theorie der Elektricität. 17 Digitized by Google _ 258 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. sich bei der Summirung vollständig gegeneinander aufheben, um sich davon zu überzeugen, betrachte man zwei neben- einander liegende Raumelemente, die ein Stück der Randcurve gemeinsam haben und deren Mittelschnitte auf derselben Niveau- fläche liegen. Die in der Achse gemessene Dicke der einen Schale sei a; die der benachbarten a'. Die magnetische Kraft sei ^m bezw. ^m- Zwischen diesen Grössen und ^^ bew. §<.' haben wir hier wohl zu unterscheiden, da wir jetzt das Innere der Eisenmasse betrachten. Da der Magnet (von den fingirten Strömen abgesehen) nicht elektrisch durchströmt wird und auch keine eingeprägten magnetischen Kräfte vorkommen Sollten, muss das Linienintegral von ^m für eine geschlossene Curve verschwinden. Einen geschlossenen Linienzug, auf den wir diesen Satz anwenden wollen, erhalten wir, wenn wir die beiden Strecken a und a' durch zwei auf den Ansichts- flächen gezogene Linien mit einander verbinden. Die zuletzt genannten Linien stehen aber senkrecht zu ^m und tragen daher zu dem Linienintegrale nichts bei. Jener Satz (der ja nur die Bedingung dafür angibt, dass ^^ von einem scalaren Potentiale herrühre) lehrt daher, dass a^m = ö'^m sein muss. Wenn x constant ist, hat dies aber zur Folge, dass auch a3 = a'3' u^d daher C=C' ist. Es ist also bewiesen, dass auf dem gemeinsamen Stücke der, Randcurve die Kreisströme sich gerade so gegeneinander aufheben, wie dies schon früher bei der Besprechung der magnetischen Schale gefunden worden war. Wo x (also wo (i) veränderlich ist oder wo eingeprägte Kräfte vorkommen, ver- liert diese Betrachtung ihre Gültigkeit. Das aus der Zu- sammenfassung aller einzelnen Kreisströme hervorgehende Stromsystem ist daher auf die Theile des Raumes, in denen die Permeabilität veränderlich ist u. s. w., bei weichen Eisen- massen also auf die Grenzschichten beschränkt. Auch für die Aufstellung des im Lufträume gültigen Werthes für das Vectorpotential eines Magneten kann man sowohl von Gleichung (219)' als von Gleichung (221) ausgehen. Digitized by Google r i Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 259 Man erhält so (da m == J, ferner J» u = ^ - a und adf= dv zu setzen ist) «;»=yV3-V^.c?i; (224) Es ist dies zwar dem Wortlaute nach der von Maxwell selbst gegebene Ausdruck für das Vectorpotential eines Magneten. Dabei verwechselte Maxwell aber die Dimensionen, insofern als er 3 als gleichartig mit © anstatt mit § betrachtete. Dass nur das letztere zulässig ist, ergibt sich daraus, dass 3 zu „freien" und nicht zu „wahren" magnetischen Massen führt und führen kann. Die Dimension von div 3 muss daher nothwendig mit der von div § übereinstimmen; also muss auch 3 selbst eine Grösse von gleicher Art mit § und nicht mit © sein. Um diesem Zusammenhange Ausdruck zu geben, schreibe ich noch die Gleichung ^o «Maxw. = ^oyV3-V^-dt;. . . . (225) an, weil dieses Änaxw.; obschon es von der eigenen Formel Maxwell's dem Buchstaben na^ch abweicht^ doch das angibt, was Maxwell sonst überall unter .dem Vectorpotentiale eines Magneten versteht. — Diese Verwechselungen kommen übrigens nur daher, dass der erhabene Urheber der heutigen Elektricitäts- lehre §ich noch nicht zu der Anschauung durchgerungen hatte, dass der Permeabilität fi nothwendig auch eine physikalische Dimension zugestanden werden müsse. Wäre fi nur eine absolute Zahl, so konnte der Factor ft^, der Wahl des mag- netischen Maasssystems entsprechend, in Gleichung (225) natürlich auch gestrichen werden, wie es Maxwell thatsächlich machte. Natürlich gilt Gleichung (225) ebenfalls nur für den Luftraum. Es wird dort, so lange es sich nur um Magnete handelt, identisch mit jenem anderen Ausdrucke für ÄMaxw., den wir in § 90 auf ganz anderem Wege abgeleitet haben (61. 200) und der für den ganzen Raum anwendbar ist. Aus Gleichung (221) erhält man schliesslich, wenn das 17* Digitized by Google 260 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbaa des Systems. Sammenzeichen in dem bei ^e bezeichneten Sinne gebraucht wird 9ie = 2Jaif^d% ..... (226) § 98. Ponderomotorisclie Wechselwirkung zwischen einem Magneten und einem Ereisstrome. Bisher handelte es sich immer nur um den Nachweis, dass man unter gewissen Voraussetzungen ein Stromsystem anzugeben vermag, von dem dasselbe magnetische Feld ausgeht wie von einem Systeme freier magnetischer Massen, oder also auch wie von einem Stahlmagneten. Die ponderomotorischen Wirkungen auf einen zweiten Magneten oder einen anderen Strom sind aber nur durch das magnetische Feld bedingt; auch in dieser ponderomotorischen Hinsicht ersetzen sich daher der Magnet und das ihm äquivalente Stromsystem — immer inner- halb der Gültigkeitsgrenzen jener Betrachtung — vollständig. Von Wichtigkeit ist aber noch die Verfolgung der zwischen einem Magneten und einem elektrischen Strome (am einfachsten einem linearen „Ereisstrome'^) auftretenden ponderomotorischen Kräfte. Ersetzt man den Kreisstrom durch eine magnetische Schale, so erzeugt diese dasselbe Feld wie der Kreisstrom und sie bringt daher auch dieselben Kräfte am Magneten hervor. Nach dem Coulomb'schen Gesetze (§ 56) ist die Bückwirkung des Magneten auf die magnetische Schale der ersten Wirkung entgegengesetzt gleich. Insofern ist also das Gesetz der Action und Beaction unmittelbar erfüllt. Es entsteht aber nun noch die Frage, ob dies auch vom Kreisstrome selbst gilt, ob also mit anderen Worten auch die ponderomotorische Wirkung an dem Kreisstrome in einem gegebenen Felde äquivalent im mechanischen Sinne mit der Wirkung auf die magnetische Schale ist. Eine bejahende Antwort auf diese Frage ist natürlich von vornherein (auf Grund des Trägheitsgesetzes) zu erwarten, da im anderen Falle ein aus dem Magneten und dem fest mit ihm verbundenen Kreisstrome gebildetes System sich selbst eine Beschleunigung zu ertheilen vermöchte. Die Digitized by Google Drittes Gapitel. Das Yectorpoteniial. 261 ■ Behandlung der Frage hat daher für uns nur die Bedeutung einer Probe, auf die Zulässigkeit der vorhergehenden Lehren, bezw. der Hypothesen, auf die sich diese stützen. Wie seither stets in diesem Capitel denke ich mir den Magneten durch ein System magnetischer Massen ersetzt, so wie es nach der Fernwirkungslehre üblich ist und in § 56 näher beschrieben wurde. Der Raumdichte an freiem Mag- netismus 0/ entspricht dann eine Raumdichte an wahrem Magnetismus 6^ = ii^öf. Die. erste Massenvertheilung bringt das vom Magneten ausgehende Feld hervor, die zweite bildet das Substrat für die am Magneten auftretenden ponderomotori- schen Kräfte. Für die an einem Stromelemente des Kreisstroms an- greifende ponderomotorische Kraft d^e haben wir nach Gleichung (164), falls wir die Stromstärke hier mit C be- zeichnen, den Ausdruck d%, = C V cU^ = C V ^8 (»- + »^)- Die ganze Induction 8 ist hier nämlich in die zwei Theile 16^ und 8« zerlegt gedacht^ so dass 8„, von dem Magneten allein und 8« \on dem Kreisstrome allein herrührt. Um den letzten Theil brauchen wir uns hier nicht weiter zu kümmern, da es sich jetzt nur um die Wechselwirkung zwischen Magnet und Kreisstrom und nicht um die zwischen einzelnen Theilen des Kreisstromes handelt. Nun ist fdm = f*o^»» "°^ jener Theil von ^my den man sich durch die freie Masse e^dv für sich zu Stande gekommen denken kann, gleich 6fdv - VVr> wo r vom Au^unkte aus zählt und die Operation V sich auf Verschiebungen des Raumelementes dv bezieht. Setzen wir dies ein und integriren über den ganzen Raum des Magneten, so erhalten wir d%, = CYdi /VoM«^ • V^ = C Vd» f^^dv^SJ^. Für die ponderomotorische Kraft d%rn ^n einem Raum- elemente dv des Magneten findet man andererseits d%m = dv{%e + #m). Digitized by Google 1 262 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. • Hier handelt es sich wieder .nur um jenen Theil, der von aussen her auf den Magneten übertragen wird, also um den zu ^e gehörigen. Mit denselben Bezeichnungen wie in § 95 erhalten wir dafür nach Einführung des Werthes von §<. aus Gleichung (214) d%m = 6u,dvGj^d%^V\, wobei sich jetzt die Operation V auf Verschiebungen des Ele- mentes d% bezieht, also VVr das Negative des Werthes be- deutet, den es in der Formel für d^e hatte. • Vergleichen wir die beiden Formeln für d^e und d%m mit einander, so bezieht sich die Integration im einen Falle auf den Stromleiter, im anderen Falle auf das Volumen des Magneten. Man könnte nun versucht sein, die Integralzeichen ganz zu löschen und in dem verbleibenden Differentialausdruck die Kraft zwischen der magnetischen Masse 6iodv und dem Stromelemente Cd% zu erblicken. Man würde dann unter Berücksichtigung der vorhergehenden Bemerkung über das Vorzeichen von V^/r finden, dass d%m das Negative von d%e ist. Trotzdem aber würde zwischen den beiden Elementen das Gesetz der Action und Reaction nicht erfüllt sein, denn beide Kräfte stehen senkrecht zu der durch t und d% gelegten Ebene, bilden also ein Kräftepaar mit einander. Wäre also ein System physikalisch realisirbar, das nur ein Stromelement und einen Magnetpol enthielte, so würde sich dieses selbst in beschleunigte Rotation versetzen können, — im Wider- spruche mit dem Gesetze von der Erhaltung der Energie. Einerseits ist nun ein solches System physikalisch un- möglich und andererseits sind wir auch gar nicht zu einer solchen weiteren Zerlegung in einzelne Elemente berechtigt. Die einzige Bedingung, die erfüllt sein muss, besteht viel- mehr darin, dass das System aller Kräfte rfffe am Stromleiter im Gleichgewichte mit dem Systeme der Kräfte d^m am Magneten ist. um uns hiervon zu überzeugen, können wir uns entweder des Satzes vom statischen Momente oder des Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 263 Princips der virtuellen Geschwindigkeiten bedienen. Wir wollen den ersten Satz wählen. Von einem beliebig gelegenen Momentenpunkte aus ziehe man den ßadiusvector W nach di und 8t '^ nach dv] dann ist Die geometrische Summe der Momente (vgl. § 13) der Kräfte d%e für den ganzen Stromleiter ist dann gleich and ebenso die Momentensumme für die Kräfte d^m j\^'d%,, = cfJö^^dvY^tyd» . V'^ . Um anzudeuten, dass W»* i^ letzten Ausdrucke sich von dem im vorhergehenden durch das Vorzeichen unterscheidet, wurde ein Accent beigesetzt. Ich bilde jetzt die Momentensumme aller Kräfte. Wenn das Gesetz von der Action und ßeaction (also auch das Energieprincip) zwischen Magnet und Kreisstrom erfüllt sein soll, muss diese Summe für jede beliebige Lage des Momenten- punktes verschwinden. Addirt man die beiden gefundenen Werthe und berücksichtigt den vorher für W aufgestellten Ausdruck, so bleibt nach Wegheben des ersten Werthes gegen den ihm entgegengesetzt gleichen Bestandtheil des zweiten für die Momentensumme aller Kräfte der Ausdruck übrig cJCe^dvYtYd^'S/'^' Die einzelnen Elemente dieses Integrals verschwinden für sich genommen keineswegs. Um zu beweisen, dass ihre Summe verschwindet, führen wir vorläufig nur die Integration nach di aus, nachdem der Üifferentialausdruck etwas um- geformt ist. Da VV»' = — Vr^ ^^^ daher V- = ^r^, erhalten wir für diesen Digitized by Google 264 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. Während nun der Anfangspunkt von r die Curvenelemente d8 durchläuft, denken wir uns zur besseren Veranschaulichung gleichzeitig mit t einen starren Körper um den festen End- punkt der t (nämlich den Mittelpunkt des Raumelementes dv) gedreht, und zwar so, dass t eine in diesem starren Körper der Richtung nach festliegende Linie bildet, um die selbst der Körper sich nicht dreht. Die Drehachsen sollen vielmehr stets senkrecht zu t stehen. Während der Anfangspunkt von r um e?8 weiter rückt, führt der erwähnte starre Körper eine unendlich kleine Drehung um den festen Endpunkt der t aus, die als Vectorgrösse mit du bezeichnet sei. Nach Gleichung (19) ist der von irgend einem Punkte des starren Körpers in derselben Zeit beschriebene Weg dt» dto=Ydn'X\ wobei tf' vom Drehpunkte aus gezählt ist. — Nun erkennt man aber leicht^ dass du = iy^»' ist, denn zunächst steht der angegebene Werth senkrecht zugleich auf r und r + d^, entspricht also der Richtung nach der Drehachse für die Bewegung aus der einen Lage in die folgende und dann ist der Tensor des Vectorproducts gleich der doppelten Fläche des zwischen t, di und t + (2 § eingeschlossenen Dreiecks und liefert also nach Division durch r* die Grösse des zwischen r und r + e?8 eingeschlossenen Winkels, d. h. den Tensor von du. Auch dem Vorzeichen nach stimmen beide Seiten überein; da es hierauf aber jetzt gar nicht ankommt, indem selbst ein Vorzeichenfehler an • dieser Stelle keinen Schaden anrichten könnte, sei dies nicht weiter nachgewiesen. Der umzuformende Differentialausdruck geht dann über in Im letzten Ausdrucke ist an Stelle von — i/r zur Ab- kürzung r' gesetzt; dieses tf' ist also ein Einheitsvector, der Digitized by Google Drittes Capitel. Das Vectorpotential. 265 vom Volumenelemente dv aus gezählt und in jedem Augen- blicke nach dem Stromelemente di hingerichtet ist. Der Endpunkt von r' fallt demnach stets mit demselben materi- ellen Punkte des sich mit t bewegenden starren Körpers zu- sammen. Verstehen wir jetzt unter dto speciell das von diesem materiellen Punkte beschriebene Wegeelement, so erhalten wir schliesslich für den umzuformenden Differentialausdruck den einfachen Werth dto und für die Momentensumme aller am Magneten und am Kreisstrome angreifenden Kräfte Cföufdvfdto, Nun ist fdt0 die geometrische Summe der .von dem vor- her bezeichneten materiellen Punkte beschriebenen Wege- elemente für einen ganzen Umlauf längs des Kreisstromes. Nach dem Umlaufe kommt der Punkt aber wieder auf seinen früheren Platz zurück und daher ist fdt» gleich Null. Der verlangte Beweis, dass das Gesetz der Action und Reaction zwischen dem Magneten und dem Kreisstrome im Ganzen erfüllt ist, ist hiermit erbracht, denn aus der Be- trachtung geht hervor, dass die Momentensumme aller Kräfte für jeden beliebigen Momentenpunkt verschwindet. Betrachtet man die ponderomotorische Wechselwirkung zwischen dem Magneten und einer magnetischen Schale, die den Kreisstrom ersetzt, so ist zwischen diesen beiden das Gesetz der Action und Beaction schon von vornherein nach dem Coulomb'schen Gesetze erfüllt. Verbindet man hiermit das soeben gefundene Resultat, so folgt femer, dass auch die ponderomotorischen Kräfte an dem Kreisstrome und der ihn in Bezug auf die Fernwirkungen ersetzenden magnetischen Schale im Sinne der Mechanik der starren Korper einander äquivalent sind. — Umgekehrt hätten wir dies auch direct nachweisen und dann hieraus die Folgerung ziehen können, dass auch zwischen dem Kreisstrome und dem Magneten Action und Reaction im Gleichgewichte mit einander stehen. Digitized by Google n 266 Dritter Abschnitt. Weiterer Ausbau des Systems. § 99. ZusammensteUimg der Dimensionen der in diesem Abschnitte neu eingeführten Grössen. Im Anschlüsse an die in § 70 abgedruckte Tafel gebe ich hier in Form einer Fortsetzung dieser Tafel die Dimensionen der neu eingeführten Grössen an: Ausgedrückt in K Ausgedrückt in Zuiückgeffthrt auf die 3 Grundeinheiten. Vectorpotential % elektrischer Ströme oder von Magneten Vectorpotential ^Maxw. Intensität der Mag- netisirung 3 (wie §) Magnetische Suscep- tibilät H —JL -1 _i. K ^M^L 2 1 1 A _2 0. ~i 1 _i _i 8 IT« T 8 y ti 'M^L Digitized by Google Vierter Abschnitt. Die Energiebeziehungen im elektromagnetischen Felde zwischen ruhenden Leitern. Erstes CapiteL Einfache Anwendungen des Vectorpotentials. § 100. Begrenzte Anwendbarkeit der Fotentialtheorie. Die Potentiale, die scalaren sowohl wie die Vectorpotentiale, sind ihrer ursprünglichen Definition nach Grössen, die durch Ausführung von Integrationen über den gan^n betrachteten Raum gewonnen werden. Bei ihrer Anwendung gilt daher als stillschweigende Voraussetzung, dass die zeitliche Aenderung aller bei dem zu behandelnden Probleme vorkommenden Grössen nur langsam im Vergleiche zur Portpflanzungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Störungen in jenem Räume erfolge. Denn nur in diesem FaHe sind wir z. B. berechtigt, jenen Zustand des Feldes im Aufpunkte, der durch die Grössen fß und § characterisirt ist, als durch die augenblicklichen Werthe, der Grössen c und div § in allen anderen Raumelementen eindeutig bedingt anzusehen. Bei schnelleren Aenderungen des Feldes wird dagegen der Vector ^ im Aufpunkte nicht durch die augenblicklichen Werthe von c und div ^ im ganzen übrigen Felde bestimmt sein, sondern es kommen auch jene Werthe dieser Grössen in Betracht, die den augenblicklichen unmittel- bar, vorhergingen. Nur dann, wenn diese Grössen sich innerhalb der Zeit, die zur Fortpflanzung einer elektromagnetischen Welle bis zum Aufpunkte von irgend einer Stelle des Feldes Digitized by Google 268 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. aus erforderlich ist, nicht merklich änderten; können wir genau genug für die Berechnung von ^, also auch für die Berechnung des Vectorpotentials Ä die zur selben Zeit genommenen Werthe jener Grössen einsetzen. Diese Betrachtung setzt der Anwendung der Potentiale, so lange wenigstens als man ihre ursprüngliche Definition beibehält, unübersteigliche Schranken; namentlich für die Behandlung der elektromagnetischen Wellenflächen selbst sind sie nicht mehr verwendbar. Man kann diese Schwierigkeit allerdings dadurch umgehen, dass man die Definition dieser Grössen ändert, dass man also unter Ä z. B. überall dort, wo ft cbnstant ist, jene Grösse, deren curl den Vector §, oder unter 9(Maxw. im Sinne von § 90 jene Grösse versteht, deren curl in jedem Augenblicke und an jeder Stelle des Feldes den Vector 8 ergibt. Durch diese Aenderung verlieren diese Grössen aber ihre Eigenschaft als Potentiale im eigentlichen Sinne des Wortes. Namentlich erfüllen sie dann nicht mehr die Laplace'sche Differen- tialgleichung. Gerade auf dieser Eigenschaft, die man bei der Aenderung der Definition opfern müsste, beruht aber der Nutzen, den die Potentiale für die analytische Behandlung der Probleme gewähren. Es ist daher ziemlich zwecklos, sie auch in solchen Fällen noch beizubehalten. Die Elimination des Vectorpotentials aus den funda- mentalen Gleichungen der Maxwell'schen Theorie, die Heaviside und nach ihm Hertz vollzogen, indem sie die hier als zweite Hauptgleichung bezeichnete Beziehung an die Stelle der bei Maxwell auftretenden, die das Vectorpotential einschloss, setzten, ist wegen des soeben erörterten Zusammenhanges als eine wissenschaftliche That von der grössten Bedeutung zu be- zeichnen. — ünverwehrt bleibt es ja freilich immerhin, neben den Grössen ^ und fß auch die zu ihnen gehörigen Stamm- grössen 91 und Knaxw. beizubehalten. Man darf sie dann nur nicht fernerhin, wo es sich um elektromagnetische Wellen handelt, als Potentiale bezeichnen, denn ein Potential ist seinem Begriffe nach eine Grösse, bei der man von einer Digitized by Google Erstes Capitel. Einfache Aawendongen des Vectorpotentials. 269 Fortpflanzungsgeschwindigkeit nicht wohl sprechen kann; man sollte diese Beziehung vielmehr stets für jene Grossen reserviren, die die Laplace'sche Gleichung erfüllen. Ich glaube aber^ obschon unter diesen Voraussetzungen gegen die Beibehaltung der Grossen % und KMaxw. nichts eingewendet werden kann, dass Heayiside Beeht hat, wenn er die iu diesem Sinne ge- änderten Begriffe als Schmarotzer erklärt, von denen kein Gewinn zu erhoffen ist. £s wird sich daher mehr empfehlen, entweder gar keinen Gebrauch von ihnen in diesem Sinne zu machen, oder ihnen doch wenigstens jene dominirende Rolle, die sie aus der classischen Theorie der Elektrodynamik ererbt hatten, nicht femer einzuräumen. In diesem Abschnitte werde ich indessen nur langsam veränderliche Feldzustände in Betracht ziehen, auf die sich diese Bemerkungen nicht beziehen, so dass % und KMaxw. in ihrer ursprünglichen Bedeutung als Yectorpotentiale beibehalten werden können. § 101. Ableitung der in ruhenden Leitern induoirten elektrischen Kraft aus dem Vectorpotentiale. Mit Berücksichtigung der eingeprägten elektrischen Kräfte (te wird die zweite Hauptgleichung in der Form (175) S. 214- curl(« — «e) = — B «= — « dargestellt. Setzen wir nun nach Gleichung (196) © = curl Knaxw.? so geht die zweite Hauptgleichung über in curl (Qt — (g^) «= — curl IIm«xw. . Die durch den Punkt angedeutete Differentiation d/^it nach der Zeit konnte, wie man leicht einsieht, mit der sich aus- schliesslich auf den Raum beziehenden Differentialoperation curl den Platz wechseln. Durch Integration erhalten wir aus der letzten Gleichung. « = «. - «Maxw. + « Digitized by L Google 270 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. wobei ft einen Vector bedeutet, von dem wir zunächst nur wissen, dass sein curl verschwindet und von dem wir ebenso wie von den übrigen in der Gleichung vorkommenden Gliedern eine stetige Vertheilung im Räume voraussetzen dürfen. Das sind aber die Bedingungen dafür, däss sich ft von einem scalaren Potentiale Q ableiten lässt. Wir setzen also und führen, nachdem wir dies eingeführt haben, an der vorigen Gleichung die Operation div aus. Unter Beachtung von Gleichung (197) erhalten wir dann div(e — «e)^ V^^. • Nun war nach § 39 mit den in § 77 gebrauchten Be- zeichnungen div S« = 4ä()/. Nach Abzug der eingeprägten Kräfte iie enthalt @ nur noch die elektrostatische Kraft @« und die durch magnetische Ströme inducirte, die wir jetzt ermitteln und mit @m bezeichnen wollen. Ebenso wie ein elektrischer Strom nur solenoidal vertheilte magnetische kann aber, nach dem Heaviside'schen Princip, eine magnetische Strom- vertheilung auch nur elektrische Kräfte von solenoidaler Ver- theilung hervorbringen. Auch abgesehen hiervon ist indessen ,die nachfolgende Betrachtung schon durch die Definition von C gerechtfertigt. Daher ist div (i& — 6 setzt. Gleichung (252) entspricht dann Gleichung (242); \ wird zu Null und Äg = — B/L. Setzt man umgekehrt J? = und rechnet man die Zeit von einem Augenblicke ab, in dem der Strom C = war, so erhält man aus Gleichung (253) für C C=Bsm-J= (254) VI' Cap ^ ^ Das Phänomen ist dann ein rein periodisches ohne jede Dämpfung. Bei der allgemeinen Lösung in Gleichung (253) wird die durch Aufzehrung der anfänglich vorhandenen mag- netischen und elektrostatischen Energie durch die Joule'sche Wärmeentvvickelung eintretende Dämpfung durch den vor der Klammer stehendep Exponentialfactor zum Ausdrucke gebracht. Falls die Schwingungsdauer klein ist, kann indessen eine grössere Zahl von Schwingungen vergehen, ehe dieser Factor merklich kleiner als 1 geworden ist. Eine volle Schwingung hat sich vollzogen, sobald der Winkel, von dem in den Gleichungen (253) und (254) die Functionen sin und cos vorkommen, um 2jt angewachsen ist. Bezeichnet man die Schwingungsdauer mit t^, so hat man demnach Für den besonderen Fall, dass E = ist, vereinfacht sich dies zu ^^ = 2Äl/L-Cap. Digitized by Google 286 Vierier Abschnitt. Energiebeziehongen im elektromagnetisch. Felde. Dass diese Formeln homogen sind in Bezug auf die Dimensionen der in ihnen vorkommenden Grössen ergibt sich leicht, wenn man die in § 70 und § 103 aufgestellten Dimen- sionen einsetzt. Bei ihrer Anwendung dürfen natürlich alle Grossen nur auf dasselbe System von Einheiten bezogen werden. Häufig ist von vornherein die Capacität nach elektro- statischem Maasse gegeben, während L und iJ im magnetischen Maasssysteme ausgedrückt sind. Man muss Gap dann zuvor gleichfalls in das magnetische Maasssystem umrechnen. Für einen Kugelcondensator z. B. erhält man Cap aus den Dimen- sionen der Kugelradien und- der Dielektricitätsconstanten un- mittelbar nach Gleichung (126). Hatte man hier z. B. in einem bestimmten Falle K = 5, r^ = 10 cm, r^ = 10,2 cm, so folgt Cap = 2550 C.-G.-S. im elektrostatischen Maasse. Für die Umrechnung in magnetisches Maass beachte man, dass K= 5 eigentlich K =^ 5Kq bedeutet, wo Kq die Dielektricitäts- constante der Luft angibt, die im elektrostatischen Maasssysteme gleich 1 gesetzt wird. Ausführlicher und ohne Bezugnahme auf ein bestimmtes Maasssystem angeschrieben ist daher Cap = 2550 cm -Zo. — Nach Gleichung (140) ist 5:o = VfioV' Setzen wir also, um zu dem magnetischen Maasssysteme über- zugehen, jetzt Hq = 1 und v^ gleich der für den Luftraum auf experimentellem Wege zu etwa 3 • 10^^ cm/gec ermittelten charakteristischen Geschwindigkeit, so haben wir K^ = 1/(3 . lo*®)^ also Cap = 283 • 10-^® zu setzen. Wenn eine Leydener Flasche von dieser Capacität durch einen einfachen Schli^ssungsbogen entladen wird, lässt sich das zugehörige L nach Gleichung (234) bestimmen, wobei wie vorher f^o = ^ ^^ setzen ist. Es mag etwa L = 10' C.-G.-S. sein. Der Widerstand sei gleich 1 Ohm oder gleich 10^ C.-G.-S. Dann wird ^^ nach Gleichung (255) gleich etwa 0,000033 sec und die Wellenlänge der elektromagnetischen Störung im DielekCricum gleich etwa 10 Kilometern. In solchen Fällen sind wir zweifellos zur Anwendung der Potentialtheorie be- rechtigt; elektromagnetisch betrachtet erfolgen die Schwingungen äusserst langsam. So lange die Schwingungsdauer nicht kleiner Digitized by Google Erstes Capitel. Einfaclie Anwendungen des Vectorpotentials. 287 wird als etwa ein Milliontel Secnnde (entsprechend einer Wellen- länge von 300 Metern) wird man überhaupt in den gewöhnlieh vorliegenden Fällen (abgesehen von Telegraphen- und Telephon- leitungen) kaum nöthig haben, auf den Umstand Rücksicht zu nehmen, dass die Fortpflanzung der Wirkung durch den Raum einen Zeitaufwand bedingt. Schliesslich sei noch auf den durch Gleichung (254) für den Fall, dass R = ist, dargestellten Seh wingungs verlauf etwas näher eingegangen. Ganz so wie es diese Gleichung ausspricht, wird sich der Vorgang zwar niemals abspielen können; sehr oft trifft dies in hoher Annäherung zu, wie sich aus dem angeführten Zahlenbeispiel leicht ergibt. Der die Dämpfung der Schwingungen ausdrückende Exponentialfactor nimmt nämlich unter den gegebenen Verhältnissen (L = 10^, R = 10^) erst nach 0,02 Secunden den Werth 1/2,718 ... an. Während dieser Zeit erfolgen aber ungeföhr 600 Schwingungen, so dass in der That für eine oder für eine kleine Anzahl aufeinander ^ folgender Schwingungen eine kaum merkliche Dämpfung eintritt. Jener durch Gleichung (254) dargestellte Fall hat daher als Grenzfall, der sich oft in grosser An- näherung mit dem wahren Vorgange deckt, eine nicht zu unterschätzende Bedeutung. Die Integrationsconstante B bildet das Maass für die Intensität des ganzen Vorgangs; sie stellt den Maximal werth von C im Verlaufe einer Schwingung dar. Gleichung (248) geht in unserem Falle über in V = LdC/cit und liefert nach Einsetzen von C aus Gleichung (254) F=JB.l/r^-cos-— L= . . . (256) r Cap yzj Gap ^ ^ Der Maximalwerth von y ist daher gleich 5)/-^/Cap . Die .gesammte Schwingungsenergie T setzt sich in jedem Augenblicke aus der elektrostatischen und der magnetischen Energie zusammen, für die wir die früher (Gl. 247) gegebenen Werthe benutzen können. Wir erhalten so Digitized by Google 288 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. Diese Betrachtung lehrt uns, dass die ganze Energie sich unverändert in der Schwingung erhält, aber so, dass sie wechselsweise die Formen Tm und Tg annimmt. Das Wesen der Schwingung kann daHer in dem sich fortwährend wieder- holenden Umsätze aus elektrischer Energie in magnetische und umgekehrt erblickt werden. Die Vertheilung der Energie auf den Raum ist in beiden Fällen durchaus verschieden. Die elektrostatische Energie hat ihren Sitz im Dielektricum des Condensators und die magnetische Energie vertheilt sich über das Medium (etwa den Eisenkern), das von den Windungen des Leiters umschlungen ist. Mit der Schwingung ist daher auch ein pulsirender Energiestrom von der einen Stelle zur andern durch die Vermittelung des ganzen Mediums verbunden. Die Betrachtung dieses Vorgangs ist von Interesse wegen des Zusamnienhanges, in dem er mit den Hertz'schen Schwingungen und den Lichtschwingungen steht. Indessen darf hierbei nicht vergessen werden, dass beide sich zwar gleichen, dass sie aber nicht identisch sind, weil in dem jetzt behandelten Falle die Potentialtheorie angewendet wurde und daher die Voraussetzung zu Grunde gelegt werden musste, dass die vorkommenden Aenderungen nur langsam erfolgen. Dies hat u. A. zur Folge, däss die ganze Energie unverändert er- halten bleibt, wenn B = ist. Genau kann dieser Schluss offenbar nicht zutreffen, denn in den Wellen, die von der Schwingung in das unbegrenzt zu denkende Medium aus- gesendet werden, ist auch Energie enthalten und je weiter bei dem Fortgange der Schwingungen die Wellenzüge sich in den unendlichen Raum hinaus ausdehnen, um so mehr muss der ursprüngliche Energieinhalt der Schwingung dadurch auf- gezehrt werden. Die Potentialtheorie nimmt hierauf keine Rücksicht, Digitized by Google Erstes Capitel. Einfache AnwendungeA des Yectorpotentials. 289 § 108. Wechselwirkung zwischen zwei einfachen ruhenden Ereisströmen. Unterscheiden wir die beiden Ströme C^ und Cg durch Indices und alle anderen zugehörigen .Grössen in derselben Weise von einander, so geht aus der Definition des Vector- potentials zunächst hervor, dass « = «i + «, ist, wobei unter Ä das totale Vectorpotential zu verstehen ist. Daraus folgt weiter, dass auch § = §i + §2 "^^ 3B = ö^ + 82 ist, dass also die beiden magnetischen Felder sich einfach superponiren. Die ganze Energie des durch die beiden Ströme geschaffenen magnetischen Feldes kann zunächst wieder durch Gleichung (236) ausgedrücTst, dann aber weiter in 4 Glieder zerlegt werden: = Ä [f^i^idv +fe,§,dv +fe,^,dv + J»,$id«} (257) • Die ersten beiden Glieder geben die Energie an, die den beiden Kreisströmen zukommt, wenn sie entfernt von einander sind; sie sind noth wendig positiv. Die beiden anderen Glieder sind von gleicher Grösse, da überall 3Bi§2 = f*§i§2 = ^1^2 ist. Ihre Summe gibt den Energiezuwachs an, der durch die Nachbarschaft der beiden Ströme bedingt wird; die Summe, also auch jedes ihrer Glieder, kann aber auch negativ werden, da ©i und §2 laicht mehr gleich gerichtet sind.^ So wie früher (in § 104) für einen einzelnen Ereisstrom, wollen wir hier ebenfalls den Ausdruck für T so umformen, dass er mit dem von der Fernwirkungstheorie gegebenen übereinstimmt. Die Betrachtung läuft dab^i genau mit der in § 104 gegebenen parallel und kann daher jetzt unter dem Hinweise auf diese etwas kürzer gefasst werden. An Stelle von Gleichung (238) erhält man hier '== 2 f*oj(*i F ö p p 1 , Maxwell'sche Theorie der Elektricität. 1 9 Digitized by Google 290 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetiscb. Felde, und hieraus, entsprechend Gleichung (239), Nach Gleichung (233) können das erste und vierte Glied dieser Gleichung jmit Hülfe der beiden Selbstindactionscoeffi- cienten L^ und L^ ausgedrückt werden. Für die beiden anderen Glieder findet man durch Einsetzen des Werthes von {( aus dessen Definitionsgleichung Begnügen wir uns wieder, wie in Gleichung (234), zur Abkürzung ein einziges Integralzeichen zu schreiben und setzen wir ^2,x = iK-M = ;to/^ .... (258) SO nimmt schliesslich der Ausdruck für die Energie des mag- netischen Feldes der beiden Kreisströme die Form an .T=\GlL, + ^'cm + C,C,M,;, . . (259) Die durch Gleichung (258) definirte Grösse Mi^2 oder Jfs,! heisst der Coefficient der gegenseitigen Induction zwischen den beiden Kreisströmen. Bei der Definition von Mi^^ ist natürlich ebenso wie bei der Definition des Selbstinductionscoefficienten angenommen worden, dass entweder überhaupt kein Eisen vorkommt, oder dass doch die Permeabilität überall im magnetischen Felde als constant angesehen werden kann. Zuweilen nimmt man z. B. an, dass dies letztere im Kerne eines sog. Ringtransformators, wie er in der Wechselstromtechnik verwendet wird, zutrejBFe. Besser ist es aber meistens, in diesem Falle von der Ver- wendung des Begriffes eines Inductionscoefficienten ganz ab- zusehen und dafür unmittelbar mit den magnetischen Strömen zu rechnen. Für langsame Aenderungen der Stromstärken in beiden Digitized by Google Erstes Gapitel. Einfache Anwendongen des Vectorpotentials. 291 Kreisen berechnet sich die im ersten Kreise inducirte elektro- motorische Kraft nach Gleichung (230) zu Po Po /' Po = -^1^-^^.'!^ (260) Mit Rücksicht auf Gleichung (259) kann man dafür auch schreiben Po und dieselben Gleichungen gelten auch, wenn man die Indices 1 und 2 mit einander vertauscht.^ Das Glied — L^äC^jdt gibt die elektromotorische Kraft der Selbstinduction im ersten Kreise und das Glied — Mi^^^^tldt die der Induction des zweiten Kreises auf den ersten an. Mit denselben Bezeichnungen wie in § 104 erhalten wir nun die Differentialgleichungen (262) die an die Stelle von Gleichung (241) in dem dort behandelten Falle treten. Durch Elimination von C^ erhält man für den Strom C^ daraus die Differentialgleichung ^{L,L,+M^-\-^iL,R,-L,E,) + B,{E,-B,C,)^0 (263) und bei Vertailschung der Indices gilt diese auch für den ersten Kreis. Für Mi^^ = M^^i ist in diesen Gleichungen der Kürze halber einfach M geschrieben. 19* Digitized by Google 292 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. Auch das Integral von Gleichung (263) lässt sich leicht mit Hülfe von Exponentialfunktionen^ an deren Stelle eventuell wieder trigonometrische Punktionen treten, angeben. Hierauf beruht die elementare Theorie des Transformators. Es würde uns aber zu weit führen, wenn wir darauf näher eingehen wollten. * Der in Gleichung (261) vorkommende partielle Diflferential- quotient ^^/dCi gibt nach Gleichung (232) den magnetischen Kraftfluss durch die von der Bahn des ersten Leiters um- schlungene Fläche an und" sein Differentialquotient nach der Zeit daher den magnetischen Strom durch diese Fläche. In dieser Fassung spricht Gleichung (261) dann wieder das Inductionsgesetz iil der dnfachsten Form aus. § 109. Erhaltung der Energie. • Die Aenderung der Energie T des im vorhergehenden § betrachteten magnetischen Feldes im Zeitelemente dt ergibt sich aus Gleichung (259) zu Die Glieder sind hier schon so zusammengefasst, dass die beiden Klammerwerthe, vom Vorzeichen abgesehen, nach Gl. (260) die in den beiden Kreisen inducirten elektro- motorischen Kräfte angeben. Setzt man dafür die aus der Gl. (262), also aus dem Ohm'schen Gesetze, hervorgehenden Werthe ein, so erhält man . • dT=dt{E,C, — R^C,^) + dt{E^C^ - iJ2C,2)..(264) Jedes der vier Glieder, in die sich die rechte Seite zer- legen lässt, hat aber eine einfache physikalische Bedeutung. E^Cidt gibt die von der eingeprägten elektromotorischen Kraft JB^i im ersten Kreise gelieferte und E^Cndt die daselbst in Joule'sche Wärme umgewandelte Energie an. Mit den sich auf den zweiten Stromkreis beziehenden beiden andern Gliedern verhält es sich ebenso. Demnach dient der Ueber- Digitized by Google Zweites Gapitel. Der PoyntiDg'scbe Energieslarom. 293 schuss der von den einpeprägten Kräften gelieferten über die gleichzeitig in beiden Stromkreisen verwüstete Energie zur Erhöhung der Energie des magnetischen Feldes. Umgekehrt wird, wenn die durch E^ und E^ zugeführte Energie den gleichzeitigen -Aufwand für die Joule^sche Wärme nicht deckt, der Fehlbetrag aus der Energie des magnetischen Feldes entnommen. Gl. (264) spricht demnach das Gesetz der Erhaltung der -Energie für das aus den beiden Stromkreisen bestehende System aus. *Bei der von mir innegehaltenen Darstellung ist das Inductionsgesetz als Erfahrungsthatsache von vornherein in. das Lehrgebäude aufgenommen worden und erst nachträglich ha^ sich jetzt — zunächst wenigstens für den soeben be- handelten Fall — herausgestellt, dass es im Einklänge mit dem Energieprincipe steht. Umgekehrt kann man auch, wie zuerst von v. Helmholtz gezeigt wurde, das Inductionsgesetz aus Gl. (264),* die nach dem Energieprincipe stets zutrefifen muss, als Folgerung ableiten. An frühern Stellen erwähnte ich schon wiederholt, aus welchen Gründen ich von diesem Entwicklungsgange, der seither zu dem üblichsten geworden ist, hier abgewichen bin. Zweites Gapitel. Der Poynting'sche Energiestrom. § 110. Die Identität der Energie. Seit langer Zeit verband sich mit der Auffassung der Naturerscheinungen eine meistens frei{ich recht unklare Vor- stellung von dem, was wir heute Energie nennen, — zum mindesten seit der Zeit, in der man zu der Ueberzeugung von der Unmöglichkeit eines perpetuum mobile gelangt war. Diese Vorstellungen wurden gerichtet und zum grossen Theile auch berichtigt durch jene grossen Entdeckungen in den Digitized by Google 294 Vierter Abschnitt. Energ^ebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. vierziger Jahren unseres Jahrhunderts , besonders durch die V. Helmholtz'sche Schrift über die „Erhaltung der Kraft", Aber sie wurden dadurch noch nicht in feste, unveränderliche Formen gebracht. Während der letzten 50 Jahre haben wir uns immer mehr daran gewöhnt, der Energie die entscheidende Bolle bei allen Naturvorgängen zuzusprechen. Die Energie ist stets an einen Stoff gebunden; doch braucht dieser nicht eine ,;Materie'' im engeren Sinne zu sein, da die Energie, auch mit dem Aether verknüpft sein kann. Zuerst fasste man das Yerhältniss so auf, dass die Energie eine Eigenschaft der Materie (oder des Stoffes) angebe, dann hielt man beide fOr gleichwerthig und jetzt sind manche Physiker schon dazu übergegangen, den Energiebegriff über den Begriff des Stoffes zu stellen, so nämlich, dass der Stoff nur noch die Bedeutung eines Substrates für die Energieäusserungen oder gar nur noch die einer Eigenschaft der angesammelten Energiemengen behält. Diese Entwickelung der Energievorstellungen mag viel- leicht über das Ziel hinai|S8chiessen; sie lässt sich, wie ich glaube, mit jener von den Vorstellungen über die Fernkräfte nach Newton in unmittelbare Parallele stellen. Für Newton selbst war der Begriff einer unvermittelten Wirkung in die Feme noch unfassbar; die Fernkräfte waren für ihn nur Rechnungsgrössen, mit denen sich die beobachteten That- sachen am einfachsten wiedergeben liessen. Die ihm folgen- den Generationen waren aber in der Vorstellung von der Fernwirkung aufgewachsen und fanden nichts befremdendes mehr darin. Auch die Zurückföhrung der elektrischen und magnetischen Erscheinungen auf Fernkräfte oder „Central- kräfte*' schien, wenn .sie gelang, die befriedigendste Lösung des Bäthsels zu sein. Erst jetzt sind wir durch das üeber- gewicht der Faraday-MaxwelFschen Darstellung und in Ver; bindung damit durch die bahnbrechenden Versuche *von Hertz zu den Vorstellungen über die Nothwendigkeit eines raum- erfüllenden Mittels für die üebertragung einer Wirkung in Digitized by Google Zweites Capitel. Der Poynting'gche Energiestrom. 295 die !^erne wieder zurückgelangt, die Newton selbst hegte, durch die er aber nicht daran gehindert wurde, daneben von dem Begriffe der Fernkräfte Gebrauch zu machen. So mag es auch vielleicht mit jenen weitgehenden Vor- stellungen über die Bedeutung der Energie sein, in die wir uns allgemach alle mehr oder weniger hineingelebt haben. — Wenn wir annehmen, dass die Energie der Materie mindestens gleichwerthig gegenüber steht, dass sie also wie diese den wahren Zustand der Dinge bedingt und ihn mit der Materie zusammen auch erschöpfend bestimmt, so nähert sich die Vorstellung, die wir uns von der Energie machen, damit immer mehr jener von der Materie, also etwa jener Vor- stellung von dem „Dinge an sich", die schon zu so vielen philosophischen Gontroversen Veranlassung gab. Wesentlich für den Begriff der Materie ist aber besonders die Möglichkeit, deren Identität festzustellen. Wir sind im Stande, zjim mindesten* in Gedanken, die Schicksale einer genau bestimmten Stoflfmenge über lange Zeit und über viele Umwand- lungen chemischer und anderer Art hinaus zu verfolgen. In erster Linie hängt die Möglichkeit dieser Individualisirung der Materie damit zusammen, dass sich die Materie immer nur continuirlich durch den Raum zu bewegen vermag und dass sie ferner im Räume sich nicht übereinander zu lagern vermag (ündurchdringlichkeit der Körper). Gestützt wird die Vor- stellung ausserdem noch durch die Annahmen über den mole- kularen Aufbau der Körper. Sind wir nun auch im Staade, die Identität einer be- stimmten Energiemenge, wiederum wenigstens in Gedanken, fest- zuhalten? Die Antwort erscheint vorläufig noch sehr zweifelhaft. Wer dem Energiebegriflfe eine Rolle zuspricht, die jener der Materie übergeordnet oder doch mindestens gleich ist, wird sie unbedenklich bejahen. Er wird sich den g*anzen unveränder- lichen Energievorrath des Universums in beständiger Bewegung begriffen denken und in diesen Ortswechseln der Energie- mengen das Wesen aller Naturerscheinungen erblicken. Der Begriff des Energiestroms wird ihm ebenso nahe liegen, wie Digitized by Google 296 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. etwa der Begriff eines Luftstromes. Ein discontinuirlicher üebergang mit Ueberspringung des dazwischen liegenden Raumes erscheint ihm aus denselben Gründen nicht denkbar^ wie bei der Materie. Der Festhaltung der Identität einer bestimmten . Energiemenge steht hiermit kein wesentliches Bünderniss mehr im Wege. Gegen diese Auffassung, der sich die Physiker mehr und mehx zuzuneigen scheinen, lassen sich nun allerdings noch manche Bedenken geltend machen. Zunächst vermögen sich in einem gegebenen Raumelemente mehrere Energiemengen über einander zu lagern, ohne dass beim Hinzukommen einer neuen die früher vorhandenen auf einen kleineren Raum zu- sammengedrängt werden müssten, um dem Neuankömmlinge Platz zu schaffen. Da erscheint es doch sehr fraglich, ob eine Individualisirung zwischen diesen über einander gelagerten, den gleichen Raum ausfüllenden Energiemengen noch für durchführbar gehalten werden kann. Auch dass die Energie — soweit ist, wie es scheint, doch noch niemand gekommen, ihr auch diese Eigenschaft beizulegen — nicht aus „Energie- atomen'' zusammengesetzt ist, sondern unbegrenzte Theil- barkeit hesitzt, warnt davor, die Materialisirung der Energie zu weit zu treiben. — Eine gewisse Vorsicht ist gegenüber den aus dem Begriffe der Energieströme gezogenen Schlüssen daher zweifellos gerechtfertigt. • In diesem Capitel werde ich indessen die Möglichkeit, die Identität einer Energiemenge festzuhalten, voraussetzen. § 111. Die Energieströme der gewöhnlichen Mechanik. JJm eine klare Vorstellung von den Energieströmen zu gewinnen, ist es nützlich, sich zu vergegenwärtigen, wie sich die Energie im Bereiche der Mechanik der ponderablen Körper überträgt. Wenn man z, B. sagt, dass eine Welle in der Transmissionsanlage einer Fabrik so und so viele Pferde- stärken übe):trägt, lässt sich dies auch dahin ausdrücken, dass sie einen Energiestrom von entsprechender Grösse ihrer Digitized by Google Zweites Capitel. Der Poyriting'sche Energiestrom. 297 Längsrichtung nach fortleitet. Bezeichnen wir das Torsions- moment der Welle mit Jf, die Winkelgeschwindigkeit mit u and den Energiestrom^ also die in der Zeiteinheit von der Welle übertragene, oder wie wir sagen wollen, fortgeleitete Energie mit TT, so ist offenbar W=Mu, oder, wenn SB und tt die zugehörigen Yectoren sind, SB = Jf tt, oder auch © = — Iftt, je nach der Festsetzung des Vorzeichens von M. Hangt ferner ein Gewicht Q an einem Seile und wir ziehen das Gewicht damit in die Höhe, so geht von der Stelle, wo die eingeprägte Kraft wirkt (also etwa von der Winde aus) nach Q hin ein Energiestrom, der W=Qv ist, wenn mit v diis Geschwindigkeit der Bewegung bezeichnet wird. Der Energiestrom ist hier der Bewegung des Seiles entgegengesetzt gerichtet. Allgemein lässt sich der Energie- strom, der Yon einem gespannten Seile fortgeleitet wird, in Vectorform i» = - (^Ö setzen. Q ist hier, wie vorher M, eine scalare Grosse. Ein Riemen, der zwei Wellen mit einander verbindet, überträgt hiernach während des Ganges der Transmission zwei Energieströme, von denen der des stärker gespannten Theiles überwiegt. Hier war von dem ganzen übertragenen Energiestrome die Rede; man kann ihn aber auch in einzelne Elemente zer- legen und unter SB die specifische Intensität dieses Stromes verstehen, also jene Energiemenge, die auf die Flächeneinheit des Riemen- Seil- oder Wellenquerschnitts berechnet in der Zeiteinheit übertragen wird. In dem zuletzt erwähnten Fall ist dabei zu beachten, dass den nach der Peripherie hin ge- legenen Flächenelementen des Wellenquerschnitts eine grossere Digitized by Google 298 Vierter Abschnitt. Energiebeziehnngen im elektromagnetisch. Felde. Intensität SB zukommt, als den näher am Mittelpunkte liegenden. In einer Röhrenleitung, die unter hohem Drucke stehen- des Wasser, das etwa zum Betriebe hydraulischer Hebewerke dienen soll, in horizontaler Richtung fortleitet, geht ein Energiestrom, der mit der Wasserbewegung gleich gerichtet ist und dessen Intensität ist, wenn p den Wasserdruck in Dynen auf den qcm bedeutet. Die Arme eines Zahnrades oder einer Riemenscheibe leiten einen Energiestrom in radialer Richtung zu oder von der Welle, auf der sie festgekeilt sind. Die Berührungsflächen zwischen den Zähnen* von zwei Zahnrädern, die im Eingriffe mit einander sind, bilden die Ein- bezw. Austrittsstellen des Energiestromes; sie sind mit den Gleitstellen zu vergleichen, die beim Fortleiten. eines elektrischen Stromes z« B. zwischen dem Commutator einer Dynamomaschine und der Strom- abnehmerbürste vorkommen. Ein Theil des Energiestromes in der vollständigen Maschinenanlage einer Fabrik wird unterwegs verbraucht zur üeberwindung der Reibung. Der Energiestrom hat hier Convergenzstellen, in denen ein entsprechender Theil erlischt. Der Rest gelangt zu den Werkzeugen der sog. Arbeits- maschinen, nämlich jener Maschinen, die wie z. B. die Dreh- bänke, die Webstühle ü. s. f. das verlangte Fabrikat herstellen. Ein grosser Theil der zugeführten Energie wird auch an dem Werkzeuge noch in Wärme umgewandelt, der andere Theil gelangt in Form von potentieller Energie zur Aufspeicherung. Man könnte diese Beispiele leicht noch vermehren; die vorhergehenden Erörterungen werden aber schon zu dem Nachweise genügen, dass die beschriebene Auffassung der Vorgänge in der That von Nutzen ist und vielleicht mehr, als dies seither geschah, in der gewöhnlichen Mechanik ge- pflegt werden sollte. Diese Erkenntniss wird uns dahin führen, den nachfolgenden Betrachtungen über den Energie- Digitized by Google Zweites Capitel. Der Poyniing'sche Energiestrom. 299 flu8s im elektromagnetischen Felde eine höhere Bedeutung bei- zulegen , als dies sonst vielleicht der Fall wäre« Vorher sei noch darauf hingewiesen, dass überall in der Mechanik der ponderablen Körper ein Energiestrom einen Spannungszustand das Energieleiters und zugleich eine Ge- schwindigkeit — also überhaupt eine Bewegung desselben — zur Voraussetzung hat *) Man wird daher geneigt sein^ einen solchen Zusammenhang auch für die Energieübertragui^en im elektromagnetischen Felde anzunehmen. § 112. Der Strom der elektromagnetiBohen Energie. Eine einfache Combination der beiden Hauptgleichungen in ihrer vollständigsten Form, Gleichung (174) und (175), führt zu dem Poynting'schen Energiestrome im elektromagne- tischen Felde. Diese Gleichungen lauteten curl (§ — §i) = 4Är, curl (« -«,)-=:_ j. Man multiplicire die erste scalar mit (S — (Be und die zweite mit ^ — ^i und subtrahire dann die zweite von der ersten. Man erhält (e - <&e) cuil {§ - §,) -{§- §0 curl (« - «,) = 4;rr(«-e.) + B(§-:§i). Auf die linke Seite können wir das durch Gleichung (81) ausgesprochene Bechengesetz anwenden. Die Gleichung ver- einfacht sich dadurch wie folgt: divV(§ - §i) (ß - e.) = ^^t(& — 47tt(Se + i§ — i§i (265) Jedes der vier Glieder auf der rechten Seite hat eine bestimmte physikalische Bedeutung. Betrachten wir zunächst *) Eine Ausnahme bildet zwar die Energieübertragung durch die Schwerkraft oder überhaupt durch Femkräfte. Wir betrachten diese Ausnahme aber als eine scheinbare, die uns nur deshalb als solche er- scheint, weil uns der Mechanismus, durch den die Schwerkraft auf den gravitirenden Körper übertragen wird, vorläufig noch verborgen ist. Digitized by Google 300 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. das erste Glied. Der wahre Strom r wird hier, wo wir von Bewegungen im Felde abseben, nach Gleichung (151) durch angegebeu. Für r(S erhalten wir daher KdV re = i« + 8« dt Nach dem Joule'schen Gesetze, Gleichung (147) ist iS die auf die Volumen- und die Zeiteinheit bezogene, an der be- treffenden Stelle des Feldes verwüstete Energie. Das andere Glied von t(S stellt nach Gleichung (116) die Zunahme an elektrostatischer Energie dar. Das erste Glied auf der rechten Seite von Gleichung (265) gibt demnach das 4;r-fache des Bedarfes an Energie für die beiden vorher genannten Zwecke an. Das dann folgende Glied 4;rr@« entspricht nach der schon bei der Besprechung von Gleichung (264) gegebenen Inter- pretation dem 43r-fachen der von der eingeprägten Kraft (Se gelieferten Energie. Dann kommt das Glied g$, wofür wir auch -TT • V oder ^ -^ dt ^ 2 dt schreiben können. Nach Gleichung (129) ist dies das 4Ä-fache des Zuwachses an magnetischer Energie. Das Glied g^f end- lich haben wir, analog der Deutung, die dem zweiten Gliede zu geben war, als jenen Theil des eben angeführten Energie- bedarfs zu betrachten, der. von der eingeprägten Kraft §i ge- liefert wird. Alle diese Energiegrössen beziehen sich, wie schon bei der Besprechung des ersten Gliedes bemerkt war, auf die Volumen- und die Zeiteinheit an der betreffenden Stelle des elektromagne- tischen Feldes. Ihre Summe gibt demnach das 4^-fache des Energiebedarfs für die Erhöhung der elektrostatischen und der magnetischen Energie sowie für den Joule'schen Energie- verbrauch, vermindert um jene Beträge an, die durch die ein- geprägten Kräfte zugeführt werden, bezw. vermehrt um die Digitized by Google Zweites Capitel. Der Poynting'sche EnergieBtrom. 301 betreffenden Beträge^ wenn die eingeprägten Kräfte stampfe Winkel mit den Stromrichtungen c und g bilden, sodass für ihre üeberwindung ein weiterer Aufwand veranlasst wird. Das ist also im Ganzen das 4:n;-fache des nicht schon an Ort und Stelle selbst gedeckten Energiebedarfs, oder auch, wenn die negativen Glieder überwiegen, des Energieüberschusses an der betreffenden Stelle des Feldes. Da der Energieinhalt des ganzen Systems constant bleiben muss, müssen sich die lieber- Schüsse und Fehlbeträge im Ganzen ausgleichen. In der That gibt auch das ßaumintegral des Ausdrucks über den ganzen betrachteten Raum Null, denn dieses Raumintegral ist gleich dem Raumintegrale der linken Seite von Gleichung (265) und dieses liefert nach den in § 104 nach Gleichung (237) ent- haltenen Ausführungen für den ganzen Raum den Werth Null. Bezeichnen wir wieder mit 8ß die als Yectorgrosse auf- gefasste specifische Intensität der Energieströmung, so ist nach § 21 die rechte Seite von Gleichung (265) den vorher- gehenden Darlegungen entsprechend gleich — 4ä div 8ß zu setzen. Gleichung (265) geht damit über in ^divVCe -«.)(§-§») = div» . . (266) Dem Vorzeichenwechsel ist durch die Aenderung der Reihenfolge im Vectorproducte Rechnung getragen. Die Integration von Gleichung (266) liefert ®^ = ;^V(«-«.)(§-§0 + curlft. . (267) Das letzte Glied dieser Gleichung entspricht der Inte- grationsconstanten. Wir wissen zunächst von ihm nur, dass es ein Vector sein muss, dessen div verschwindet. Das ist aber die Bedingung dafür, dass wir diesen Vector als den curl eines anderen Vectors St ansehen können, der seinerseits ganz beliebig im Räume vertheilt sein kann; von vornherein ist deshalb in der Formel die Integrationsconstante in der Form curl St angeschrieben worden. Setzt man willkürlich curl Ä = 0, so erhält man den von Poynting angenommenen Energiestrom im Digitized by Google 302 Vierter Abschnitt. Energiebeziehungen im elektromagnetisch. Felde. elektromagnetischen Felde. Er gibt also zwar eine mit den Grundlagen der Theorie verträgliche, aber nicht eine mit Nothwendigkeit aus ihnen folgende Vertheilung des Energie- stroms an. Diese Bemerkung ist namentlich aus dem folgenden Grunde von Wichtigkeit; Man betrachte ein System, das aus einem isolirten geladenen Leiter und einem in seiner Nachbarschaft aufgestellten permanenten Magnete gebildet wird. Im Luft- räume dieses gleichzeitig elektrostatischen und magnetischen Feldes wird, wenn man in Gleichung (267) das Glied curlft unterdrückt, Wir haben also einen in sich geschlossenen dauernden Energiestrom ohne jeden endgültigen Erfolg, da die Energie in jedem einzelnen Yolumenelemente in dem betrachteten Falle ihren Werth überhaupt nicht ändert. Mit Recht hat man in Bezug auf diese Folgerung eingewendet, dass das Ergebniss sehr unwahrscheinlich und daher die Poynting'sche Vorstellung von der Vertheilung des Energiestromes nicht annehmbar sei. Dieser Einwand wird aber nur durch die willkürliche Unterdrückung des Gliedes curlft ermöglicht und richtet sich nicht gegen die vollständige Formel, Gleichung (267). Um dies einzusehen, beachte man nur, dass in dem angezogenen Falle sowohl t als g überall Null ist^ und dass daher ^ — ${ und (B — Ü« nach den beiden Hauptgleichungen im ganzen Baume wirbelfrei vertheilt sind. Das ist die Bedingung dafür, dass sie von Potentialen abgeleitet werden können. Setzen wir also §-§i S/W, «-«,:--V^, SO geht Gleichung (267) für unseren Fall über in gB = -i-yV^.V?f^+curl« . . . (268) Nun ist aber nach dem Rechengesetze Gleichung (80), S. 61 curl(OV^) = OcurlV?F + VV^V^, Digitized by Google Zweites Capitel. Der Poynting'gche Energiestrom. 303 wobei noch da6 erste Glied auf der rechten Seite nach Gleichung (69) zu streichen ist. Das erste Glied in dem Ausdrucke für 89B lässt sich daher ebenfalls als ein curl darstellen und man er- hält damit gB = curl(^®V?t^+ft). Um in dem betrachteten Falle überall den Energiestrom Null zu erhalten y genügt es nun schon, «■=-Ä*V^=(«-«0-i^ • • (269) ZU setzen. Im Lufträume ist dieser Vector also überall mit den magnetischen Kraftlinien gleich gerichtet und sein Tensor wird aus dem von ^ durch Multiplication mit dem elektro- statischen Potential und Division mit 4:7t gefunden. — Indessen ist diese Lösung nicht einmal die einzige, die den Energie- strom Null ergibt; aus der Symmetrie des ersten Gliedes in dem Ausdrucke für 8ß Gleichung (268) in Bezug auf Q und W folgt sofort, dass (abgesehen von einem Vorzeichenwechsel) die magnetische und elektrische Kraft und die zugehörigen Potentiale die Plätze mit einander tauschen können. § 113. Der Energiestrom in der Umgebung eines stationären * geradlinigen elektrischen Stromes. Dass ein elektrischer Strom Energie — im Wesentlichen seiner Längsrichtung nach — überträgt, bildet gerade das, was wir vom elektrischen Strome am genauesten und sichersten wissen. Fraglich ist nur, wie sich dieser Energiestrom im Einzelnen vertheilt, vor allem, ob die Fortleitung der Haupt- sache nach in dem Metall oder in dem umgebenden Dielektri- cum erfolgt. Früher galt es einfach für selbstverständlich, dass die Energie denselben Weg verfolge wie der elektrische Strom selbst, also durch die Kupfermasse hindurchgehe. Nach der Poynting^schen Theorie wäre im Gegensatze hierzu das Dielektricum als der Energieleiter zu betrachten. Man ging sogar so weit, zu sagen, dass der elektrische Strom in Wirklich- Digitized by Google 304 Vierter Abschniti Energiebeziehangen im elektromagnetiBch. Felde. keit ein im Dielektricam sich abspielendes Phänomen sei, das darch den Draht nur in einer gegebenen Richtung geführt würde. Dabei vergisst man aber, dass das Wort Strom schon in ganz bestimmter Weise definirt ist, and dass hiemach in dem vorliegenden Falle, wo nur Leitungsströme vorkommen, die elektrische Strömung ausschliesslich auf die Kupfermasse des Drahtes beschränkt ist. Dass der Strom mit anderen Vorgängen in seinem magnetischen Felde causal zusammen- hängt, ändert daran nichts. — Der Energiestrom ist übrigens von dem elektrischen Strome durchaus zu trennen. So erfolgt ja auch, wie wir in § 111 sahen, der Energiestrom in einem Zahnrade oder in einer Riemenscheibe durch die Arme in radialer Richtung, während die Bewegung, die zu dem Energie- strome Veranlassung gibt, eine Rotation ist. Bezeichnen wir die Bewegung eines ponderablen Körpers als einen „Massen- strom'^, so können wir dies so ausdrücken, dass schon im Bereiche der gewöhnlichen Mechanik der Energiestrom nicht immer einfach gleich gerichtet mit dem Massenstrome ist, dass also die Energie nicht von den Massen wie in einem Vehikel mitgenommen wird, sondern unter* Umständen ganz andere Bahnen einschlägt wie die Massen. So kann es daher auch bei dem elektrischen Strome sein. In der Umgebung eines stationären elektrischen Stromes, der in einer lang dahin gestreckten Leitung, etwa in einem Telegraphendrahte fliessen mag, bildet sich zugleich ein elektro- statisches und ein magnetisches Feld aus. Betrachten wir einen verhältnissmässig kurzen Abschnitt des Drahtes (etwa von einigen Metern Länge), so ändert sich das efektrostatische Potential darauf nur wenig. Die elektrischen Kraftlinien, die von den freien elektrischen Ladungen der Drahtoberfläche in die Umgebung ausgestrahlt werden, vertheilen sich daher in der nächsten Nachbarschaft des Drahtes, wo das elektrische Feld noch eine grössere Intensität hat, nahezu so, als wenn der ganze Draht zu demselben Potentiale geladen wäre und elektrisches Gleichgewicht herrschte. Diese Kraftlinien strahlen also nahezu senkrecht zur Drahtoberfläche oder sie gehen. Digitized by Google Zweites Capitel. Der Poynting^sche Energiestrom. 305 auf den Querschnitt des Drahtes bezogen^ nahezu in radialer Richtung in das Dielektricum aus. Die magnetischen Kraft- linien bilden dagegen bekanntlich concentrische Kreise. Wendet man nun auf dieses System Gleichung (267) an und unterdrückt dabei curl$, so erhält man einen Energie- strom^ der senkrecht zu i& und § steht, nahezu also mit der Dxahtachse parallel geht. Er erstreckt sich in der Haupt- sache auf das Dielektricum und ist in der nächsten Nachbar- schaft der Drahtoberfläche am grössten. Im Innern des Drahtes ist 6 axial gerichtet, dabei aber viel kleiner als an der Ober- fläche. Der Energiestrom geht daher hier in radialer Richtung. Wie schon bemerkt, hat auch der Energiestrom im Dielektricum eine kleine radiale Componente; von dieser bildet der in der Metallmasse festgestellte Energiestrom die Fortsetzung. Auf diesem Wege wird nämlich jedem Volumenelemente des Drah- tes vom Dielektricum her jene Energiemenge zugeführt, die es für die Bestreitung der Joule'schen Wärme bedarf. Der Hauptstrom der Energie geht aber, wie man sieht, durch das Dielektricum und nach der Endstation des Telegraphendrahtes gelangt die Energie überhaupt nur auf diesem Wege. Die kleinen Abzweigungen von diesem Hauptstrome, also die Radial- componeuten des Energiestromes, dienen nur zur Versorgung des Drahtes mit der Energie, die er zur Aufrechthaltung des Zwangszustandes in seiner Massq und daher auch im Felde bedarf. Diese ganze Schilderung des Vorgangs klingt sehr be- stechend; wir sehen ein klares und bis in die Einzelzüge hinein folgerichtig in sich zusammenhängendes Bild des Vorgangs vor Augen. Es mag ja auch sein, dass es die Wahrheit trifft; ich selbst vermag allerdings vorläufig niöht daran zu glauben. Wir dürfen nämlich nicht vergessen, dass diese ganze Betrachtung auf der willkürlichen Unterdrückung des Gliedes curl St in Gleichung (267) beruht Dabei gleicht aber der Fall in hohem Grade dem am Schlüsse des vorigen § behandelten. Dort lag es aber viel näher, über das Glied curlÄ so zu ver- fügen, dass der Energiestrom verschwand. — Auch hier bleibt Föppl, Maxweirsche Theorie der Elektricität. 20 Digitized by Google 306 Vierter Abschnitt. Energiebeziehnngen im elektromagnetisch. Felde. in der Umgebung des stationären Stromes der Energieinhalt überall constant. Es Hegt daher nahe genug, das Glied curl St so zu wählen, das», me Torher, die Energiestromnng im Dielektricum yöUig verschwindet. Dies ist in der That stets möglich. Mit der Maxweirschen Theorie ist daher die Ver- theilung des Energiestromes über die Massen des elektrischen Leiters ebensowohl vereinbar wie die von Poynting angenommene Vertheilung über das Dielektricum. Digitized byLjOOQlC y / Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. Erstes Capitel. Die dnrcb Bewegungen indncirte elektromotoriscbe Kraft. § 114 Belaüve und absolute Bewegping im Baume. Den Untersuchungen der Kinematik, der allgemeinen Be- wegungslehre, liegt meistens das Axiom zu Grunde, dass es bei den Beziehungen der Korper zu einander nur auf die Relativ- bewegungen ankomme. Von einer absoluten Bewegung im Räume könne gar keine Rede sein, da jedes Mittel fehle, eine solche Bewegung zu konstatiren, wenn kein Vergleichs- körper vorhanden wäre, von dem aus sich die Bewegung be- obachten und ausmessen Hesse. Bei der Aufstellung dieses Axioms stützt man sich auf den Begriff des leeren Raumes, wie er in den geometrischen Betrachtungen aufgefasst wird und der weifellos als eine Ab- straction aus der Erfahrung anzusehen ist. Ich sage „zweifel- los", indem ich dabei an die TJeberzeugung denke, die der Physiker gewinnt, wenn er Umschau darüber hält, wie die scheinbar unerschütterlich begründeten Anschauungen über die Körperwelt doch immer in stetiger Weiterbildung und Um- bildung begriffen sind, nicht an den Philosophen, nach dessen Ueberzeugung der Raumbegriff schon a priori vorhanden sein muss, um die Erfahrungen über die sich im Räume ab- spielenden Ereignisse erst zu ermöglichen. « 20 Digitized by Google 308 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. Sehen wir den Baum als vollständig leer an^ so ist das angeführte Axiom der Bewegungslehre in der That eine selbst- verständliche und unerlässliche Forderung unserer heutigen Raumvorstellungen. Sowohl nach der MaxwelFschen Theorie als nach den Lehren der Optik kommen aber „leere" Räume in der Wirklichkeit überhaupt nicht vor. Auch das sogenannte Yacuum ist noch mit einem Medium, dem Aether, angefüllt. Sobald wir dies beachten, wird aber der Begriff der absoluten Bewegung sofort verständlich: es ist die relative Bewegung zu dem den Raum ausfüllenden Medium. Hier ist jedoch noch eine weitere Bemerkung einzuschalten. Bis jetzt ist es nämlich noch zweifelhaft, ob wir uns vorzustellen haben, dass ein sich bewegender Körper den Aether in seinem Innern und theilweise auch den in seiner Nachbarschaft bei der Bewegung mit sich führt pder ob der Aether an den Bewegungen der Materie ganz unbetheiligt ist. Im letzten Falle würde man zu dem Schlüsse geführt, dass das Vorhandensein des Aethers den Raum überhaupt erst bedingt, dass die Vor- stellung eines Raumes ohne diesen Inhalt einen Widerspruch bedeutete, etwa wie wenn man sich einen Wald ohne Bäume denken wollte.*) Der absolut leere Raum wäre dann über- haupt kein Gegenstand einer möglichen Erfahrung mehr, oder mit anderen Worten, wir müssten die uns aus den vorher- ''') Zum mindesten ist zu schliessen, dass ein Baam ohne Aether- inhalt ebensogut vierdimensional als dreidimensional sein könnte, denn die Annahme der vierten Dimension verstOsst an sich, wie die Anläufe zu einer mehrdimensionalen Geometrie beweisen, nicht gegen die Denk- gesetze. Wenn ein Baum von vier Dimensionen irgendwo physikalische Existenz hätte, würde sich, wie hiernach anzunehmen ist, der menschliche Verstand auch in diesem ebenso wie jetzt in dem dreidimensionalen zn- recht zu finden wissen, — endgültig freilich nur mit Zuhülfenahme der Anschauung, also der Erfahrung. — Die Eigenschaft der dreifachen Aus- dehnung des Baumes ist eine Erfahrungsthatsache, die nur aus der Be- obachtuDg in dem uns erreichbaren physikalisch existirenden , äther- erfüUfen Baume entnommen ist und daher keineswegs auf einen fingirten leeren Baum mit Nothwendigkeit übertragen werden muss. Digitized by Google Erstes Capitel. Die durch Bewegungen inducirte elektromotor. Kraft. 309 gehenden Entwickelungszeiten menschlichen Denkens über- kommenen Baumyorstellungen einer durchgreifenden Revision unterziehen. Die Entscheidung der soeben berührten Frage bildet vielleicht die wichtigste Aufgabe der Naturforschung unserer Zeit. Wie diese Entscheidung aber auch ausfallen möge, der Begriff der absoluten Bewegung wird durch sie nicht gefährdet Führt eiD bewegter Körper einen Theil des Aethers mit sich fort, so ist als absolute Bewegung des Körpers jene zu ver- steheU; die er relativ zu dem nicht in Mitleidenschaft gezogenen^ weiter ab liegenden Aether ausführt. Zu der Anschauung, dass es absolute Bewegungen im Räume geben muss, werden wir übrigens, worauf von C. Neumann längst hingewiesen wurde, mit Nothwendigkeit durch das Gesetz der Trägheit geführt. Auch die Gültigkeit des Energie- princips ist davon abhängig. Von dem Gesetze der Trägheit erkennt man dies sofort, wenn man die Bewegung eines . materiellen Punktes, der ganz sich selbst überlassen ist, relativ zu einem selbst in beliebiger Bewegung begriffenen Baume betrachtet. In der That gilt ja z. B. für den irdischen Raum, wie aus der Ablenkung des Foucault'schen Pendels u. s. w. bekannt ist, das Trägheitsgesetz überhaupt nicht streng; es gilt nur für den durch die Kopernikanischen Vorstellungen über die Bewegungsvorgänge im Sonnensysteme definirten Baum. Bis auf Weiteres müssen wir daher als absolute Be- wegungen jene relativ zu dieseia Kopernikanischen Räume ansehen. § 115. Wenn wir im Folgenden von den Sätzen der Kinematik über die Relativbewegungen Gebrauch machen wollen, müssen wir bei dieser Sachlage mit Vorsicht verfahren. Wir dürfen es nicht a priori als feststehend ansehen, dass es z. B. gleich- gültig ist, ob ein Magnet sich in der Nähe eines ruhenden elektrischen Stromkreises oder ob dieser sich bewegt, während der Magnet ruht, falls nur in beiden Fällen die Relativ- bewegung die gleiche ist. Digitized by Google 310 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. Um diese Frage zu entscheiden, betrachte man noch einen dritten Fall. Der Magnet möge sich nämlich so bewegen wie im ersten Falle und der Stromkreis entgegengesetzt wie im zweiten Falle. Relativ zu einander sind dann beide Körper in Ruhe, zusammen führen sie aber eine absolute Bewegung im Räume aus. Andere als die von den beiden Körpern her- rührendeQ Einflüsse seien von dem raumerfüllenden Mittel hierbei ganz ferngehalten; wir abstrahiren also z. B. von dem magnetischen, elektrostatischen und auch von dem Gravitations- felde der Erde. Die Erfahrung weist uns darauf hin, dass in diesem Falle die absolute Bewegung für sich gar keine elek- trischen oder magnetischen Kräfte in den beiden Körpern zu Stande bringt. — Man könnte versucht sein, die Berufung auf die Erfahrung hier als entbehrlich anzusehen, indem man sich dafür auf das Energieprincip stützte. Aber anch dann läuft eine Voraussetzung mit unter, die der Bestätigung durch . die Erfahrung bedarf, nämlich die, dass das Trägheitsgesetz in diesem Falle unverändert anwendbar bleibt, dass also keine Umwandlung von kinetischer Energie in elektrische und aus dieser in Joule'sche Wärme vorkommt. Nach den vorliegenden Erfahrungen dürfen wir es aber als festgestellt ansehen, dass sich die beiden Körper in dem dritten Falle nicht anders zu einander verhalten wie im Zu- stande der Rnhe. Daraus folgt dann, dass die Bewegung, die wir dem einen Körper in diesem Falle ertheilten^ die Ein- wirkung der anderen gerade überall aufhebt und dass ferner in den beiden zuerst besprochenen Fällen das Resultat überall das gleiche ist. Erst nach diesem Ergebnisse sind wir zu der Annahme berechtigt, dass es bei der Wirkung der beiden Körper aufeinander in der That nur auf die Relativbewegung zwischen ihnen ankommt. Dass eine so sorgfältige Untersuchung durchaus er- forderlich war, erkennt man noch besser daraus, dass sie nicht in allen Fällen zu dem gleichen Ergebnisse führt. Man be- trachte z. B. zwei elektrisch geladene Körperchen (materielle Punkte), die sich in parallelen Bahnen mit gleicher 6e- Digitized by Google Erstes Gapitel. Die durch Bewegungen inducirte elektromotor. Kraft. 31 1 schwindigkeit neben einander herbewegen. Sie sind in relativer Ruhe zu einander, dabei wirken sie aber mit ganz anderen Kräften aufeinander, als wenn sie auch in absoluter Buhe wären. Die Bewegung durch das Medium führt hier zu elektrischen Convections- und Verschiebungsströmen und im Zusammenhange damit zu einem magnetischen Felde^ das im Zustande absoluter Ruhe fehlt. Hier bringt also in der That, wenn wir auch alle äusseren störenden Einflüsse fern halten und uns die beiden Eörperchen allein im äthererfüllten Räume denken, so dass gar kein Vergleichskörper vorbanden ist, von dem aus wir die Bewegung beobachten könnten, doch die absolute Bewegung für sich schon, — die nach dem im vorigen § besprochenen Axiome der Kinematik sich von dem Zustande der Ruhe gar nicht unterscheiden liesse — einen ganz bestimmten Einfluss hervor. In Fällen dieser Art hängt die Wirkung der Körper aufeinander denmach nicht von ihrer Relativbewegung allein ab. Diese Betrachtungen zeigen deutlich, mit welchen Schwierig- keiten die Behandlung der Elektrodynamik eines Systemes bewegter Körper heute zu kämpfen hat. Vermeintlich sicher begründete Vorstellungen, mit denen wir wie mit Thatsachen zu rechnen gewohnt waren, erweisen sich als unzuverlässig, sobald wir das Material kritisch zu sichten beginnen und der Verdacht wird dadurch geweckt, dass vielleicht auch noch Manches von dem, was wir jetzt zu den unerschütterbaren Grund- lagen unserer Naturanschauung rechnen, im Laufe der spätem Entwickelung der Wissenschaft den Nimbus der unbedingten Gültigkeit verlieren könnte. Und doch sind es andererseits auch wieder gerade diese Schwierigkeiten, aus denen wir die zuversichtliche HoflEnung auf weitere Aufschlüsse schöpfen dürfen. Wenn die Frage, ob sich der Aether mit den Körpern bewegt oder sich indifferent zu den Bewegungen der Körper verhält, auf unsere Schlüsse ohne Einfluss bliebe und die Entscheidung nicht in manchen Fällen zweifelhaft liesse, fehlte uns jedes Mittel, diese Frage ihrer einstigen Lösung entgegen zu führen. Digitized by Google 312 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik . bewegter Leiter. § 116. GleitsteUen. Ich betrachte jetzt einen ganz einfachen, aber principiell wichtigen Fall. Ein permanenter Magnet bewege sich irgend- wie im Baume; es handelt sich darum ^ die jetzt mit Su be- zeichnete elektrische Kraft zu bestimmen, die dadurch in der Nachbarschaft inducirt wird. Diese Kraft äussert sich nicht in einem leeren Baume, sondern entweder in dem Aether oder in einem Körper. Nach dem, was in § 114 über den Aether bemerkt wurde, sind wir im Zweifel, ob die Belativbewegung des Magneten gegen den Aether in seiner Umgebung zugleich die absolute Bewegung des Magneten darstellt oder nicht Wollten wir annehmen, dass der benachbarte Aether die Bewegung eines Korpers bis auf grössere Entfernungen mitmachte, so hätten wir zu schliessen, dass die Magnetbewegung keine elektrischen Kräfte S^ von merklichem Betrage im Aether induciren könne, da sich beide dort, wo das magnetische Feld von grösserer Intensität ist, nahezu in Buhe relativ zu einander befinden. Wir wollen, um dieser Ueberlegung einen kürzeren und schärferen Aus- druck zu geben, sagen, dass der Magnet während der Be- wegung auf einen sich mit ihm zusammen bewegenden Baum keine inducirende Kraft ausübt (vgl. § 115). Nehmen wir dagegen in der Nachbarschaft des bewegten Magneten einen zweiten Körper an, der sich in Buhe befindet, so brauchen wir nicht mehr im Zweifel zu sein, dass in diesem zugleich auch' der Aether ruht. Denn entweder nimmt der Aether überhaupt nicht an den Körperbewegungen Theil, ruht also immer, oder er macht die Bewegung des mit ihm räumlich zusammenfallenden Körpers mit, wird also auch, wenn dieser Körper ruht^ von ihm in der Buhe zurückgehalten. Die Aufgabe, um die es sich jetzt bandelt, besteht besonders darin, die in dem ruhenden Körper oder, wie wir auch sagen können, die auf einen in absoluter Buhe verharrenden Baum bezogene inducirte elektrische Kraft (Bt zu ermitteln. Denn dass sie für den sich mit dem Magneten bewegenden Baum (oder mit Digitized by VjOOQIC Erstes Capitel. Die durch BeweguDgen inducirte elektromotor. Kraft. 313 anderen Worten ftir den von dem Magneten aus ausgemessenen Raum) gleich Null zu setzen ist^ ergab sich schon vorher. Wie sich die Kraft S^ nun in Wirklichkeit im freien Aether in der Nachbarschaft vertheilt^ wissen wir nicht. Entweder ist es die Kraft relativ zu einem in absoluter Ruhe befindlichen Räume oder sie liegt zwischen dieser und Null, jenachdem die in § 114 erörterte Frage zu entscheiden ist. Darauf kommt es für unsere Zwecke vorläufig aber auch gar nicht an, da wir nur die in ruhenden Körpern inducirte Kraft er- mitteln wollen. Zugleich führt uns diese Betrachtung aber auf eine Be- merkung von grösster Wichtigkeit. Wenn sich nämlich ein MagHet bewegt, ist der Werth der von ihm inducirten elek- trischen Kraft abhängig davon, auf welchen Raum wir sie (in dem vorher erläuterten Sinne) beziehen. Ausser den beiden Räumen, die wir bisher betrachteten und von denen der eine absolut ruhte, der andere sich mit dem Magneten bewegte, können wir uns nämlich noch beliebige andere be- wegte Räume hinzudenken, die sich durch entsprechend bewegte Körper verwirklichen Hessen. Jenachdem ein gegebener Punkt zu dem einen oder anderen dieser Räume gerechnet wird, ^It die Kraft (&^ verschieden für ihn aus. Diese Betrachtung entspricht genau einer aus der Mechanik des materiellen Punktes bekannten. Rechnen wir den Punkt zu einem anderen als dem vorher benutzten Räume, so müssen wir nach dieser eine mechanische Zusatzkraft anbringen oder auch mit andern Worten, die Resultirende aus allen Kräften an dem materiellen Punkte nimmt verschiedene Werthe an, je nach der Zugehörigkeit des Punktes zu dem einen oder anderen dieser Räume. So ist es also auch mit den inducirten elektrischen Kräften. Betrachten wir nun eine Grenzfläche zwischen zwei Räumen, so also, dass auf der einen Seite alle Punkte zu einem, die auf der anderen Seite zu einen! zweiten, unabhängig von dem ersten bewegten Systeme gehören; vorausgesetzt wird dabei ^ dass die Bewegung derart erfolge, dass sich eine Digitized by Google i\:- 314 Fünfter AbBchnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. solche AbgreDzmig . beider Bäume dauernd aufrecht erhalten läset. (Entlanggleiten längs der Grenzfläche; Drehung um eine gemeinsame Achse u. s. w.) Denken wir uns den einen Raum nach allen Seiten hin unbegrenzt fortgesetzt; so müssen wir annehmen; dass die inducirte Kraft (B^ für ihn überall solenoidal yertheilt ist, da sie von in sich geschlossenen und auf diesen Raum be- zogenen magnetischen Strömen herrührt; denn sie ist dann in jeder Hinsicht gleichwerthig mit der im vorigen Abschnitt besprochenen inducirten Kraft @m* Für den andern Raum gilt natürlich dasselbe. Nun sind die beiden Räume aber nicht in dieser anyerkürzten Ausdehnung vorhanden. Der Kraftfluss 9% endet fQr jeden an der Grenzfläche; oder findet, wenn man will; seine Fortsetzung durch den Kraftfluss iB^ im anderen Räume. An der Grenzfläche selbst haben wir eine Stetigkeitsunterbrechung. Wir können uns diese zwar, wie die früher betrachteten schroffen Oebergänge, dadurch ersetzt denken; dass die Grenzfläche zu einer Grenzschicht erweitert wird; in der ein allmählicher Uebergang aus dem Bewegungs- zustande des einen Raumes in den des andern stattfindet. Dadurch ändern wir aber nichts an der ThatsachC; dass wir nun in dem gemischten Systeme („gemischt" weil zwei zu verschieden bewegten Räumen gehörige Körper darin vorkommen) an der Uebergangsstelle Anfangs- und Endpunkte von Kraftlinien haben. In diesen Bemerkungen ist die Theorie der Gleitstellen ent- halten. Zwei Leiter können mechanisch getrennt, aber elektrisch verbunden sein, so dass sie einen einzigen Stromkreis aus- machen, während sie kinematisch betrachtet, ein „gemischtes'* System bilden. Das Linienintegral der elektrischen Kraft (die elektromotorische Kraft) ist in solchen Fällen in so viele Theile zu zerlegen, als verschieden bewegte Räume vorkommen. § 117. Bewegter Magnet und ruhender Leiter. Wir nehmen die im Eingange des vorhergehenden § er- örterte Aufgabe jetzt wieder auf und lehnen uns zur Er- Digitized by Google Erstes Capitel. Die durch Bewegrmgen inducirte elektromotor. Kraft. 315 jnittelung der Erafb ^ an die Entwicklung in § 101 an. Wie dort handelt es sich auch hier um die Induction in einem ruhenden Leiter; der unterschied besteht nur darin ^ dass in § 101 überhaupt keine Bewegungen von Körpern vorausgesetzt wurden, dass die Aenderung von fß und 91 vielmehr durch' andere Umstände bewirkt sein sollte. letzt nehmen wir umgekehrt an, dass in einem relativ zum Magneten ruhenden Baume die Induction 8 und das Yectorpotential 91 constant seien. Die Differentialquotienten dieser Yectoren nach der Zeit für den ruhenden Raum lassen sich dann leicht mit Hülfe von Raumoperationen gewinnen, wenn die Beweguiig des Magneten gegeben ist. Wird ein Punkt P im magnetischen Felde P^ genannt, wenn er im ge- gebenen Augenblicke als zum Räume des Magneten gehörig angesehen wird, und Pg, wenn wir ihn zum absoluten Räume rechnen, und nehmen wir ferner einen Punkt 0^ auf dem Magnete an, von dem wir die Radien vectoren t rechnen, so kann nach § 10, 61. (20) die Geschwindigkeit ti von Pj stets gesetzt werden, ist also bekannt, wenn die Yectoren Hq, tt, r, wodnrch die Bewegongsart des Körpers bezw. die Lage von Pj bestimmt werden, gegeben sind. Im Zeitelemente dt verschiebt sich P^ gegen den ruhen- den Raum um i^dt. Dabei ändert sich in P^ der Yector fß um ebensoviel als wenn man im bewegten Räume von P^ erstens um — t^dt weiter geht und zweitens noch den bewegten Raum um udt gegen den festen um den Punkt P^ dreht. (Wegen der Constanz von tt für alle Punkte des bewegten Körpers vergl. § 10.) Die erste Aenderupg gibt, wenn man den scalaren Factor dt heraushebt, — (tl V)8 • dt nach dem Begriffe der Operation (HV). Um die zweite Aenderung zu ermitteln, bei der nur die Richtung und nicht die Grösse von © betheiligt ist, denken wir uns den Yector 8 vom Punkte J\ aus durch einen Radiusvector bildlich dargestellt. Der [Endpunkt dieses Yectors beschreibt bei der Drehung udi Digitized by Google 316 Fäüfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. ein Liuienelement; das nach der oben citirten Gleichung (20) durch Vtt» • dt nach Grosse and Richtung dargestellt wird. Nach dem Ge- setze über die Addition von Vectoren ist aber der Vector in der neuen Richtung gleich der Summe aus dem Vector in der vorhergehenden Lage und aus dem eben bezeichneten Elemente. Dieses selbst stellt also die durch die Drehung im Zeitelemente dt bewirkte Aenderung von 8 dar. Im Ganzen haben wir also hier 8 (tiV)»+Vtt» .... (270) wofür man in leichtverständlicher Abkürzung auch schreiben kann » = (_(tiV)+Vtt)-». Der Elammerwerth gibt den zusammengesetzten Raum- operator an, der in unserem Falle der Differentiation eines Vectors nach der Zeit gleichwerthig ist. Ebenso ist natür- lich auch i — (UV)« + Vtt« = (- (tiv) + Vtt)«. Hierbei ist immer noch 8 = curl Äiiuxw. . Man sieht dies ein, wenn man bedenkt, dass die Raum- Operation, durch die fi aus W gewonnen wird, einer Differen- tiation nach der Zeit äquivalent, von der Raumoperation curl daher ganz unabhängig ist, so dass die Reihenfolge zwischen beiden vertauscht werden kann. Will man ganz sicher gehen, so kann man sich aber auch die Mühe nehmen, die Operationen nach Anleitung des ersten Abschnittes dieses Buches sämmt- lich durchzuführen, indem man in Componenten zerlegt. Man wird sich dann überzeugen, dass in der That identisch für jeden Vector fi (— (tiV) +Vtt) • curl« = curl • (— (llV) +7«)«. (271) Digitized by Google Erstes Capitel. Die durch Bewegungen indncirte elektromotor. Kraft. 317 ist. — Für die zweite Hauptgleichimg (175) erhalten wir demnach hier Cürl(« -«,) = - CUrl (- (ü V) + Vll)«Maxw. , woraus man, wie in § 101, durch Integration findet « « «. + {l>V)«Maxw. - VuÄMaxw. + «. Anscheinend werden wir damit für (B^ auf denselben Werth geführt, der in § 101 für dm ermittelt wurde, nämlich auf den Werth — «Maxw. (vgl. Gl. 227). In Wirklichkeit trifft dies aber nicht zu und zwar deshalb nicht, weil für die Bestimmung der Integrationsconstanten ft ein anderer Weg eingeschlagen werden muss. In der That ist ja hier keineswegs im ganzen Räume div ft = div ft, und schliesslich ft = ft,, weil die Kraft Cn selbst nicht überall solenoidal yertheilt ist. Im Magnet ist Qt^ Null und in der Oberflache bezw. in den Grenzschichten bat Stt daher Divergenz- bezw. Convergenzstellen. Der Vector (Sn l'ässt sich daher in zwei Theile zerlegen, von denen der eine solenoidal und der andere wirbelfrei ist Der letzte Theil ist identisch mit einem elektrostatischen Eraftflusse, den man sich von fingirten Ladungen auf der Oberfläche des Magneten ausgehend denken kann. Nur der erste, solenoidal vertheilte Bestandtheil des Vectors Qt^ wird durch Umexw. angegeben; der andere ist in tt mit enthalten. Betrachten wir zunächst den ersten Bestandtheil von Qt^, also jenen, für den die diy zu Null wird und bezeichnen wir ihn mit 1&\ so erhalten wir aus dem vorigen «'„ = — «M«w. = (llV)«M.xw.-Vtt«Maxw. • (272) Dieser Werth lässt sich weiter umformen und zwar führt allgemein der Operator, mit dem wir es hier zu thun haben, in allen Fällen zu demselben Werthe wie ein zweiter, den wir jetzt ableiten wollen. Um den Satz allgemein zu be- weisen, nehme ich einen beliebigen, stetig vertheilten Vector S an und denke mir daran die Raumoperation {(tiV)— V^*} Digitized by Google 318 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. ausgefQhri Nun ist; wie aus der oben angefahrten Gleichung für tl hervorgeht, Vt;i = — iw3 + luj; Vvg — iws — *Wi; Vvj = — ifig + ju^ und daher nach Gleichung (76) V»8il=V8tt (273) Andererseits ist nach Gleichung (85) (llV)8=Vcurl8.tl + V,3ti. Im Ganzen ist daher (liV)8— Vtt8=Vcurl8.|i+V8ii. . (274) Im letzten Gliede ist nämlich nach der ersten der Gleichungen (76) das totale V für die Summe der beiden partiellen gesetzt. Achten wir nur auf die Operatoren und lassen den Yector 3 ^^gt so ^^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^c^ i^ der Form anschreiben {(liV)— Vtt}=-{Vil— Vticurl}. . . (275) Auch abgesehen von dem hier behandelten Falle, kann diese Formel oft mit Vortheil verwendet werden. Bei Anwendung dieser Umformung auf Gleichung (272) erhalten wir «; = V CUrl «Maxw. • tl + V «Maxw.H , oder auch, wenn wir im ersten Gliede der rechten Seite fB einführen «i;=V»Ö+V«Maxw.ll .... (276) Ueberzeugen wir uns zunächst davon, dass dieser Theil von Sü in der That solenoidal vertheilt ist; nebenher werden wir dabei zu einem Ergebnisse geführt, das für die weitere Betrachtung von Wichtigkeit ist. Nach Gleichung (81) ist div V »tl = ^ curl » — » cur! ü = ü curP 91 — 2»tt (277) Digitized by Vj(M|^lC Erstes Capitel. Die durch Bewegungen inducirte elektromotor. Eraffc. 319 Im letzten Gliede ist für curl ti der nach Gleichung (49) sich dafür ergebende Werth 2tt eingesetzt. — Andererseits erhalten wir div VÄM^xw.il = V*«M«ir.- H = tl V^ÄMaxw. + 2ttCUrl «Maxw. (278) Bei Ausführung der Operation V an Hi ist nämlich auch tl als veränderlich anzusehen und für die partiellen Difiereniial- quotienten der Gomponenten von ti sind die ihnen entsprechenden Componenten von u einzuführen (vgl. die der Gleichung 273 vorausgehenden Zeilen). Beachtet man noch^ dass für K^azw. nach Gleichung (72) curP durch — V^ ersetzt werden kann, so erkennt man, dass in der That div .... (280) Auch^hier versckwindet das zweite Glied dieses Ausdrucks und ebenso die zweite bisher unbekannte Componente i&t,' von 6ii aus der Formel, wenn wir das Linienintegral der elektri- schen Kraft für eilien geschlossenen linearen Leiter berechnen. Anders ist es aber, wenn der Leiter im Sinne von § 116 ein „gemischtes'* System darstellt. Wir wollen jetzt annehmen, dass er aus zwei Theilen bestehe, von denen sich jeder für sich wie ein starrer Körper bewegt und die durch zwei Gleitstellen in elektrischem Zusammenhange stehen. Bezeichnen wir die Gleitstellen mit I und II und die Geschwindigkeiten in den- selben mit dem Index a oder b, jenachdem sie sich auf den einen oder anderen der auf einander gleitenden Körper be- ziehen, so wird jetzt das über den ganzen elektrischen Kreis erstreckte Linienintegral (Bi gleich fiSidi =fd»Y»» - «'(ul - »J) - «°(t»? - ff) (281) Die Klammerwerthe in den beiden letzten Gliedern geben die relativen Gleitgeschwindigkeiten an den beiden Gleitstellen an. Die Glieder selbst sind von der Form^ als wenn in den Gleitstellen elektromotorische Kräfte von den angegebenen Beträgen zu Stande kämen. Der. Index Maxw. ist der Kürze halber bei den 91 fortgelassen. Um die ganze elektromotorische Kraft in dem geschlossenen elektrischen Kreise zu erhalten, muss man aber noch das Föppl, HaxweU'sche Theorie der Elektrioität. 21 Digitized by Google 322 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. Linienintegral der bisher unbekannt gebliebenen Componente di' hinzufügen. In jedem der beiden bewegten Räumen lässt sich diese von einem Potentiale ableiten, da ihr curl Null ist. Diese Potentiale sind aber in beiden Räumen verschieden. Bilden wir also das Linienintegral von i&ü und bezeichnen wir jene Potentiale mit Wa bezw. ?Pi, so erhalten wir dafür Auch dieser Werth besteht aus der Summe von zwei Potentialunterschieden, also von zwei elektromotorischen Kräften an den. Gleitstellen. Schreibt man der Kürze halber für die Differenzen an den Gleitstellen, z. B. für tl« — t^b jetzt tla,6, so wird schliesslich die elektromotorische Kraft E=fd6Yt>» - («^ttj,, +■ ^l,) + («"»»«, + K,) (282) Auch hier beziehen sich die Klamraerwerthe wieder nur auf Differenzen der Werthe ÄtI + 3^ an den Gleitstellen, die von der besonderen Form der Leiter ganz unabhängig sind. Sie entsprechen den elektromotorischen Kräften an „Strom- enden^', zu denen man nach der Fernwirkungstheorie bei der Behandlung „offener" Stromkreise geführt wird. . Nach dem Inductionsgesetze müssen wir aber schliessen, dass diese Glieder gleich Null zu setzen sind. Denn das Tnductionsgesetz sagt aus, dass für jeden elektrisch geschlossenen Kreis, wenn er auch wie hier aus zwei mechanisch getrennten Theilen besteht, die elektromotorische Kraft dem magnetischen Strome durch eine von dem Kreise umschlossene Fläche numerisch gleich ist. Aus den auf Gleichung (279) folgenden Erörterungen folgt aber, dass schon das erste Glied diesen magnetischen Strom vollständig darstellt; die beiden anderen Glieder müssen also zusammen genommen verschwinden. Damit dies aber für jede beliebige Anordnung der Gleitstellen und für jede Art der Bewegung der beiden Körper zu einander möglich ist, müssen sie auch einzeln Null sein. In jedem Körper haben wir daher Digitized by Google Erstes Capitel. Die darch Bewegungen inducirte elektromotor. Kraft. 323 und demnacli «;=V«ti (283) zu setzen. Die gesammte durch die Bewegung inducirte Kraft ß), ergibt sich hiernach mit Rücksicht auf Gleichung (280). zu «ö^Vti» (284) die mit Aenderung des Vorzeichens von tl auch für den im vorigen § behandelten Fall anwendbar ist. Zugleich findet damit das am Schlüsse des vorigen § erhobene Bedenken seine Erledigung. Aus Gleichung (278) folgt noch dive; = ilV2« + 2tt» .... (285) Wir lernen damit auch die fingirten elektrischen Massen kennen, die einen dem @i' äquivalenten elektrostatischen Kraft- fluss hervorzubringen vermöchten. Ueberall wo curl ö Null ist, wo also in Medien von constanter Permeabilität keine elektrische Strömung auftritt, ist die zu fingirende Raum- vertheilung freier elektrischer Massen gleich ^^/^n oder, falls es sich nur um eine Translation handelt, gleich Null. Wird z. B. ein Gleitstück auf zwei parallelen geraden Schienen in einem constanten magnetischen Felde verschoben, so tritt in dem Gleitstücke, das die beiden ruhenden Schienen überbrückt, die durch Gleichung (284) angegebene inducirte Kraft auf. Sie hat für jede Längeneinheit des Gleitstückes denselben Werth und im Gleitstücke selbst keine Divergenz- oder Convergenzstellen, wohl aber an den beiden Gleitstellen, Hier beginnt bezw. erlischt dieser Eraftfluss ^^ und die Intensität der Divergenz oder Convergenz ergibt sich aus den Differenzen der ÄH. Auch wenn keine Gleitstellen im gewöhnlichen Sinne des Wortes vorkommen, treten in einem bewegten Leiter Divergenz- stellen des Kraftflusses 6ji auf. Man verschiebe z. B, einen Drahtring parallel zu seiner Ebene im magnetischen Felde der Erde. Die inducirte elektromotorische Kraft für den ganzen geschlossenen Ring ist dann Null; dabei wird aber die eine 21* Digitized by Google 324 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. Hälfte des* Drahtringes positiv, die andere negativ geladen. Zu dem Eraftfiusse @» gesellt sich ein elektrostatischer Eraftfluss^ so dass die Summe beider überall im Metalle zu Null wird. § 120. Auffassung der Kräfte S^ als eingeprägte. Das Resultat, zu dem wir durch die Untersuchung über die Kraft S» gelaugt sind, ist unstreitig recht befremdend. Man denke an den in § 117 behandelten Fall; der Leiter ruhte hier und die Aenderung des Feldes wurde nur durch die Bewegung des Magneten veranlasst. Offenbar hätte man dieselbe Aenderung des Feldes in der Umgebung des Leiters auch auf andere Art herbeif&hren können. Man konnte z. B. von vornherein den Magneten durch ein System Ampere'scher Ströme ersetzen und die Raumvertheilung dieser Ströme etwa durch Aenderungen im Leitungswiderstand des von ihnen durchflossenen Körpers in eine andere überführen. In diesem Falle hätten wir es nur mit ruhenden Körpern zu thun und für die*inducirte Kraft, die dann als (Bm zu bezeichnen ist, nach den Lehren des vorigen Abschnitts (61. 227) überall — Äm»xw.; zu setzen. Sobald aber dieselbe Feldänderung durch die Ver- schiebung des Magneten bewirkt wird, gilt dies nicht mehr, sondern wir haben noch kreise geleistete elektromotorische Arbeit der indueirten Kräfte nach Gleichung (289) maassgebend ist^ erhalten wir hier d^, = C^dL^ + L,dC^ + C^dM + MdC^. Es fragt sich jetzt, welchen Theil hiervon wir in Gleichung (288) zur Berechnung der ponderoniotorischen Arbeit ein- zufahren haben. Es ist nur jener Theil, der ausschliesslich in Folge der Bewegung des Stromringes durch das Feld in die umschlossenene Fläche eintritt Sicher können daher die Glieder L^dC^ und MdC^ nichts dazu beitragen, da sie gar keine Beziehung auf eine Lagenänderung enthalten. Nach den vorhergehenden Bemerkungen ist aber auch in Bezug auf ^ie beiden anderen Glieder Vorsicht geboten und wir wollen daher zunächst einmal annehmen, dass nur der erste Stromring eine Bewegung ohne Formänderung ausführe, während die beiden Stromstärken (durch passende Verfügung über den Werth der eingeprägten Kräfte) constant erhalten werden. Dann ist dSl^ = C^dM und dieser Zuwachs von ß^ ist sicher ausschliesslich durch die Bewegung, des ersten Ringes im Felde allein bewirkt, so nämlich, dass er die algebraische Summe der von den einzelnen Stromelementen durchkreuzten und hierdurch in die vom Bing umschlossene Fläche neu ein- tretenden Inductionslinien angibt; die austretenden sind dabei negativ einzurechnen. Hier wissen wir also nach den Unter- suchungen in § 122 genau, dass C^dSl^ oder CiG^dM die von den elektrodynamischen Kräften am ersten Ringe geleistete ponderomotorische Arbeit ist Zugleich hat sich aber auch ^^2 währenddessen um C^dM erhöht und dieser Erhöhung steht keine Arbeitsleistung gegenüber, da der zweite Ring in Ruhe blieb. Wir würden daher einen Fehler begehen, wenn wir diesem dH^ ebenfalls eine Arbeitsleistung von dem Betrage Cgdiig anrechnen wollten, wie wir es hätten thun müssen, wenn die relative Lagenänderung beider Ringe zu einander durch eine Bewegung des s5Y,eiten Ringes veranlasst worden wäre, während deren der erste Ring in Ruhe geblieben wäre. Digitized by Google Zweites Gapitel. Energiebeziebungen zwiscben bewegten Leitern. 345 Die Arbeitsleistang im letzten Falle Cg^^^ ^^^ übrigens ebenfalls gleich CiC^dM, wie aus dem Werthe von ßg hervor- geht und wir sind daher nebenher zu dem Resultate geführt worden y dass das Gesetz der Action und Reaction zwischen zwei Stromringen im Ganzen ebenso erfüllt ist, wie dies durch eine besondere Betrachtung schon früher für die Kräfte zwischen einem Magneten und einem Kreisstrome nachgewiesen wurde. Ertheilen wir nun beiden Stromringen eine Bewegung, während deren sie ihre Form nicht ändern und während deren auch die Stromstärken constant erhalten werden, so wird an jedem eine ponderomotorische Arbeit geleistet. Wir dürfen aber für die Summe beider Arbeitsleistungen jetzt nicht ein- fach C^dSli + ^^2^"^« ö^^^ 2 Cj^C2dM setzen, denn hierbei würde, wie aus der vorhergehenden Betrachtung folgt, jede Arbeits- leistung doppelt gerechnet. Der ganze Betrag der geleisteten Arbeit ist daher nur gleich der Hälfte dieses Werthes oder gleich C^C^dM. Jetzt vermögen wir uns auch leicht Rechenschaft darüber zu geben, wie gross wir die Arbeitsleistung bei der Form- änderung eines Ringes • (z. B. bei der Verschiebung eines in ihn eingeschalteten GleitstückesJ zu setzen haben. Denn aus der Untersuchung des vorhergehenden Paragraphen folgt, dass wir den Leiter in einzelne Stromfaden auflosen müssen, um zu berechnen, wie viele Kraftlinien des eigenen Feldes bei der Formänderung von einem Stromfaden durchschnitten werden. Die anderen Stromfäden des Leiters stehen dem gerade be- trachteten dann genau so gegenüber wie bei der vorigen Untersuchung der erste und der zweite Leiter. Wir finden also gerade wie vorher die geleistete Arbeit ihrem doppelten Betrage nach, wenn wir nur einfach den Ausdruck CdH für den seine Form ändernden Leiter bilden. Betrachten wir also einen Vorgang, während dessen nur der erste Leiter seine Gestalt ändert, während sonst alles unverändert bleibt, 'So ist die von den elektrodynamischen Kräften geleistete Arbeit gleich jC^dH^ oder jC^^^dL,, Digitized by Google 346 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. oder, wenn wir auch auf die Aenderung von M Rücksicht nehmen, die durch die Gestaltänderung herbeigeführt wird, gleich zu setzen. Nach diesen Betrachtungen sind wir nun in den Stand gesetzt, die Arbeitsleistung der elektrodynamischen Kräfte an beiden Kreisen für eine beliebige Lagen- uud Formänderung anzugeben; sie ist gleich Ferner ist nach dem Inductionsgesetze die im ersten Ringe inducirte elektromotorische Kraft gleich — dSl^/^f^^ wozu noch die eingeprägte elektromotorische Kraft J^^ kommt. Für beide Ringe zusammen ist also die in Joule'sche Wärme verwandelte elektromotorische Arbeit während des betrachteten Zeitelementes dt gleich Gl {E^dt - dSl,) + a, {E.,dt — dSl^) oder gleich E^C^dt + E^C^dt — G^dL^ — G^dL^ - G^^L^dG^ - G^L^dC^ ~ 2G^G^dM - M{G,dG, + G^dG,) zu setzen. — Mit der Lagenänderung und der Aenderung der Stromstärken in beiden Kreisen ist aber zugleich eine Er- höhung dT der potentiellen Energie T des magnetischen Feldes verbunden, die sich nach Gleichung (259) zu rfT= G^L.dC, + G^L^dG, + \G,^dL^ + \G^^äL^ + M{C^dG^ + G^dG,) + G^C^dM ergibt. Die Summe dieser drei neu auftretenden Energiemengen gibt demnach C.E^dt + G^E^dt d. h. genau jenen Betrag, der während derselben Zeit aus den beiden Batterien entnommen ist. Damit ist der Nachweis ge- führt, dass das Energieprincip auch in diesem Falle erfüllt ist. Digitized by Google Zweites Capitel. Energiebeziehungen zwischen bewegten Leitern. 347 Von besonderem Interesse ist noch die weitere Verfolgung des Specialfalles, von dem vorher schon die Bede war, dass nämlich die Stromstärken in den beiden Kreisen (durch ent- sprechende Verfügung über die Werthe der eingeprägten elektro- motorischen Kräfte JS^ und E2) constant erhalten werden. Bei jeder Lagenänderung der beiden Kreise, die von selbst eintritt, oder bei der wir mechanische Arbeit gewinnen, erhöht sich dann zugleich die magnetische Energie des Feldes um den- selben Betrag, denn der Ausdruck für dT wird dem für die pond eromotorische Arbeit genau gleich, wenn dC^ und dC2 Null sind. Dieser Zusammenhang hat schon zu manchen Irrthümem und Verwirrungen Veranlassung gegeben. Denkt man sich nämlich die Stromringe durch magnetisch^ Schalen ersetzt, so liegt die Vermuthung nahe genug, dass die mechanische Arbeit bei der Bewegung auf Kosten der potentiellen Energie des magnetischen Feldes gewonnen werden müsse. Nun sind aber, wie sich zeigte, beide Energiemengen, nämlich dT und die gewonnene Arbeit zwar von gleichem Betrage, aber nicht, wie man auf Grund dieser Vorstellung vermuthen sollte, von entgegengesetztem, sondern von gleichem Vorzeichen. Die potentielle Energie wächst während wir dem Systeme Arbeit entnehmen. Auf den ersten Blick scheint dies in der That dem Energieprincip zu widersprechen; der Widerspruch klärt sich aber sofort auf, wenn wir darauf achten, dass zugleich von der Batterie um so viel mehr elektromotorische Arbeit über die zur Lieferung der Joule^schen Wärme hinaus erforder- liche geliefert wird, um jene beiden Beträge zu decken. Um * einen vollständigeren Einblick in diese Beziehungen zu gewinnen, betrachte man noch zwei widerstandslose Bahn- kreise, ähnlich, wie dies schon in § 124 geschehen war. Die eingeprägten Kräfte haben wir dann gleich Null zu setzen. War die Induction durch die beiden Ringe von Anfang an gleich ßi bezw. «ßg, so behält sie nach § 124 diesen Werth stets bei; die Stromstärken ändern sich in jedem Kreise so, dass diese Bedingung stets erfüllt bleibt. Die Joule'sche Wärme Digitized by Google . 348 4 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. wird zu Null und wir erhalten, wenn wir den für sie vorher aufgestellten Werth gleich Null setzen^ C^L^dC^ + C^L^dC^ + M{C^dC^ + C^dC^) = - (Ci^dii + C^^dL^ + 2G,C^dM). Führen wir dies in den Ausdruck für dT ein, so geht er über in dT \C,HL^ -| C^^dL^ — C,C,dM. Für das in dieser Weise geordnete System gilt also in der That die vorher für das andere gehegte Yermuthung, dass nämlich die Aenderung der potentiellen Energie der gewonnenen mechanischen Arbeit entgegengesetzt gleich ist, so dass also die Arbeit dem aufgespeicherten Energievorrathe entnommen wird. Die beiden Ringe suchen sich jetzt im Gegensatze zu dem vorigen Falle, wo die Stromstärken constant erhalten wurden, so zu einander zu stellen, dass die potentielle Energie zu einem Minimum wird. Freilich ist die Bewegung, die sie hierbei ausführen müssen, genau dieselbe wie im vorigen Falle, wo mit dieser Bewegung ein Anwachsen der potentiellen Energie verbunden war. Für die Ampere'schen Molekularmagnete wäre dies der Gang der Sache; zu beachten ist indessen, dass während der Lagenänderung zwar die Zahl der durch jeden Ring gehenden Inductionslinien constant bleibt, aber keineswegs die Stärke der äquivalenten magnetischen Schale oder das magnetische Moment des Moleküls. Auch diese Bemerkungen zeigen von Neuem, wie wenig es durchführbar ist, die magnetischen Erscheinungen durch Molekularströme physikalisch vollständig zu erklären. In genau derselben Weise lassen sich, wie schliesslich noch bemerkt werden mag, die vorhergehenden Untersuchungen auf ein Feld, in dem drei oder auch beliebig viele Stromringe vorkommen, übertragen. Es würde indessen hier fast auf eine Papierverschwendung hinaus kommen, wenn ich die Be- trachtung in dieser allgemeineren Form nochmals wiederholen wollte. Digitized by Google Drittes Gapitel. Die Elektrodynamik der magnetischen Ströme. 349 Drittes Capital. Die Elektrodynamik der magnetiscilen Ströme. § 129. Das Vectorpotential magnetisolier Ströme. Nach dem Heaviside'schen Princip der Dualität zwischen den elektrischen und den magnetischen Erscheinungen müssen wir erwarten ; dass sich zu den wohlbekannten Phänomeneu, deren Besprechung den Inhalt dieses und des vorhergehenden Abschnittes ausmachte, reciproke Phänomene angeben lasseu; die sich der Beobachtung bisher nur deshalb entzogen haben, weil die mit ihnen verbundenen Wirkungen zu gering sind. Der elektrodynamischen Kraft zwischen zwei elektrischen Strömen entspricht die schon in § 74 besprochene „magneto- dynamische" Kraft zwischen magnetischen Strömen; aber auch den durch Bewegung im magnetischen Felde oder durch Ver- änderung dieses Feldes inducirten elektrischen Kräften sind magnetische Kräfte gegenüber zu stellen, die durch Bewegungen in einem elektrostatischen Felde oder durch Veränderung des elektrostatischen Feldes inducirt werden. Auch hier sind die von der Theorie vorausgesagten Kräfte nur gering; besonders sind aber die Wirkungen, die von diesen inducirten Kräften hervorgebracht werden können, deshalb so geringfügig gegen- über jenen der inducirten elektrischen Kräfte, weil es uns an magnetischen Leitern fehlt, aus denen wir einen Multiplicator aufwickeln könnten, an dessen Polen das ganze Linienintegral der inducirten Kräfte ebenso concentrirt werden könnte, wie bei einer gewöhnlichen Inductionsspule. Man verfährt am einfachsten, wenn man bei allen diesen Betrachtungen unmittelbar auf die Erörterung der thatsächlich beobachteten reciproken Phänomene zurückverweist und zu diesem Zwecke von vornherein einen möglichst engen Anschluss an diese herbeiführt. Dazu gehört, dass auch zu dem Vector- potentiale 91 der elektrischen Ströme das Analogon, also das Vectorpotential der magnetischen Ströme g, eingeführt wird. Digitized by Google 350 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. Zu diesem Zwecke gehe ich aus yon der Betrachtung eines elektrischen Feldes. Ist dieses rein elektrostatisch, so ist d wirbellos vertheilt. Ein fortdauernd constantes elek- trisches Feld (& ist immer rein elektrostatisch,, da unbegrenzte Zeit hindurch andauernde magnetische Ströme nicht möglich sind, indem es uns dazu an magnetischen Leitern fehlt. Für kürzere Zeiten lässt sich aber auch ein constantes elektrisches Feld realisiren, das nicht mehr rein elektrostatisch, in dem also (8 nicht mehr wirbelfrei vertheilt ist. In diesem Falle setze ich für einen in absoluter Ruhe befindlichen Raum wo (&s wie früher die elektrostatische, (Bm die von magnetischen Strömen erzeugte elektrische Kraft ist, während eingeprägte Kräfte nicht vorkommen sollen. Hiernach ist curl d, = ; div dm = . Der solenoidale Bestandtheil dm von d kann nun als curl eines Vectors angesehen werden, der mit 8 bezeichnet werden mag. Ich setze also d;n = curl8; d = curl8 + d, . . . (290) Von der letzten Gleichung nehme ich den curl; d, hebt sich dann aus ihr fort und wir erhalten curl2 8 = curld. Hiermit verbinde "ich die zweite Hauptgleichung des elektro- magnetischen Feldes, die hier, wo keine eingeprägten Kräfte vorkommen sollten, curl d = — 9 geschrieben werden kann, so dass die vorhergehende Gleichung übergeht in curP8 = -9 (291) Vom Vector 8 war bisher nur verlangt, dass sein curl die elektrische Kraft dm liefere; wir können ihm daher nach- Digitized by Google Drittes Capitel. Die Elektrodynamik der magnetischen Ströme. 351 träglich einen beliebigen wirbelfrei vertheilten Vector Ä hin- zuftlgeU; ohne an der Gültigkeit der vorhergehenden Gleichungen dadurch etwas zu ändern. Diese Unbestimmtheit in dem Werthe von g sei aber von nun ab dadurch aufgehoben, dass wir Ä so bestimmen, dass 8 + Ä die div Null hat. Weiterhin mag dann der in dieser Weise näher bestimmte Vector 8 -|" ^ für 8 eingeführt werden. Wir haben dann div8 = (292) Mit Rücksicht auf Gleichung (72), S. 59 und auf die soeben getroffene Aenderung in der Definition von ^ geht aber dann Gleichung (291) über in V^8 = 9 oder V^(-4;r8) 4^9 und diese sagt aus, dass — 43r8 ein zu 9 gehöriges Vector- potential ist (§ 84). Wir erhalten daher für 8 den Ausdruck 8=-i/7'^^ (293) Das über das ganze Feld erstreckte Raumintegral ist nach der Definition in § 83 als Vectorpotential des magnetischen Stromes 9 zu bezeichnen. Für 2)« erhalten wir nach Gl. (290) und Gl. (115) ®,, = gcurl8 (294) § 130. Die elektrostatisohe Energie im Felde magnetischer Ströme aufgefasst als „magnetokinetisohe'* Energie. Nach dem Inductionsgesetze bringt ein magnetischer Strom ein elektrisches Feld (das Feld der Kräfte @^) hervor. Diesen Kräften &,u entsprechen einerseits Verschiebungen ^^ und andererseits Energieanhäufungen, die nach Gleichung (116) zu berechnen sind. Wir nannten diese Energie früher die elektrostatische; eigentlich trifft diese Bezeichnung hier nicht mehr zu, da die Kräfte dm nicht mehr wirbelfrei vertheilt Digitized by Google 352 Fünfter Abschnitt. Die Elektrodynamik bewegter Leiter. siod und daher nicht zu einem Potentiale gehören. Von dem yerschiedenen Ursprünge abgesehen, sind die Kräfte i&m den elektrostatischen Kräften . . . . (2?8) bezw. mit entgegengesetztem Vorzeichen, wenn die Geschwindig- keit tl sich auf den Körper bezieht, für den wir ^ berechnen wollen (vgl. § 119). Es mag indessen sein, dass ^ auch in diesem Falle solenoidal vertheilt ist und in diesem Falle hätten wir St in Gleichung (297) gleich Null zu setzen, so dass ähnlich wie in Gleichung (296) § — z^ = ^{-(iiV)8+Vtt3} =— ^Ve^-^vsn (299) zu setzen wäre. 23* Digitized by Google Sechster Abschnitt. Gedrängte Uebersicht über die tibrigen Theile der MaxweH'schen Theorie. Vorbemerkungen. In den vorhergehenden Abschnitten habe ich die für die unmittelbare Anwendung wichtigsten Theile der Elektricitäts- lehre in jener Fassung, wie sie durch die Maxweirschen Arbeiten begründet wurde, in grösserer Ausführlichkeit be- handelt. Der Leser sollte dadurch mit der Anschauungsweise und den wichtigsten Begriffen der MaxwelFschen Theorie so weit vertraut gemacht werden, dass er in den Stand gesetzt würde, sie bei seinen eigenen Arbeiten mit voller Sicherheit zu verwenden. Diese Sicherheit und das Vertrauen in die ZÄerlässigkeit der gewählten Grundlagen wird aber in allen Gebieten der Wissenschaft durch eine möglichst elementare und leichtverständliche Behandlung des Stoffes am besten ge- wonnen. Eine solche bildet auch die beste Vorbereitung für das Studium der schwierigeren Probleme. Diese Rücksicht war für mich überall in diesem Werke die entscheidende. Jene Bestandtheile der Maxweirschen Lehre, zu deren Behandlung ich jetzt übergehe, erscheinen von diesem Gesichtspunkte aus als die minder bedeutungsvollen, so wichtig auch in anderer Hinsicht namentlich die dazu gehörige Theorie ffer elektro- magnetischen Wellen ist. Eine erschöpfende Darstellung der Theorie dürfte über sie nicht so flüchtig hinweggehen, wie Digitized by Google Erstes Capitel. Die Herleitnng der Gleich, des elektrom. Feldes etc. 357 ich es hier thun werde. Dem Zwecke dieses Buches, das ja nur eine Einführung in die MaxwelVsche Theorie bilden sollte, entspricht es aber besser, wenn von jenen Theilen nur eine kurz gedrängte Uebersicht gegeben wird. — Wenn ich später zur Bearbeitung eines zweiten Bandes Veranlassung finden sollte, werde ich auf diese Punkte ausführlicher eingehen. Erstes Capitel. Die Herleitung der ßlelchungen des elektromagnetischen Feldes aus den allgemeinen Principien der Mechanik. § 133. Bedingungen für die Möglichkeit einer solchen Ableitung. Die gewöhnliche Mechanik beschäftigt sich nur mit den ponderomotorischen Kräften und den durch sie hervorgerufenen Bewegungserscheinungen der materiellen Systeme. Zunächst sind nur für diese allein ihre Sätze zuverlässig anwendbar, da die Voraussetzungen, aus denen diese Sätze hergeleitet sind, durch die Erfahrung überall bestätigt werden. In der Elektricitäts- lehre haben wir es aber nicht ausschliesslich mit pondero- motorischen, sondern daneben auch mit elektrischen und mit magnetischen Kräften zu thun. Es kann daher gewiss sehr zweifelhaft erscheinen, ob auch auf diese die Sätze der Mechanik ohne Weiteres übertragen werden dürfen. Selbst wenn wir ein elektrisches Fluidum voraussetzen wollten, an dem die elektrischen Kräfte in analoger Weise wie die ponderomotorischen an der gewöhnlichen Materie wirken, bleibt doch noch der Zweifel oflPen, ob dieses Fluidum auch die Eigenschaft der Trägheit besitzt, die für die gewöhnliche Materie charakteristisch ist und die bei der Formulirung aller Sätze der Dynamik ent- scheidend mitwirkt. Der Zweifel ist nicht nur zulässig, sondern die Erfahrungsthatsachen führen eher dazu^ ihn zu bestärken, als ihn zu widerlegen. So oft man wenigstens im Banne des Yorstellungskreises der materialistischen Theorie der Elektricität die von dieser nahezu geforderte oder doch als sehr wahrscheinlich hingestellte „Trägheit der Elektricität" Digitized by Google 358 Sechster Abschnitt. Gedrängte üebersicht über die übrigen Theile. experimentell nachzuweisen suchte, wurde man zu negativen Ergebnissen geführt. • Allerdings lag diesen Versuchen stets die Annahme zu Grunde, dass es sich beim elektrischen Strome nur um Be- wegungen im Inuern der stromführenden Leiter handle und man kann daher jene Misserfolge dahin deuten, dass diese Annahme unzulässig war, dass Bewegungen yielmehr auch überall im magnetischen Felde des Stromes auftreten. Dies führt dann von selbst dazu, in jedem magnetischen Felde, auch in dem von permanenten Magneten ausgehenden, Be- wegungen unbekannter Art vorauszusetzen, also etwa anzu- nehmen, dass das, was wir die magnetische Inductiou © nennen, in Wirklichkeit die Geschwindigkeit einer Bewegung (des Aethers) ist. Das, was wir jetzt als die magne4ische Energie des Stromes bezeichnen, ist dann als die kinetische Energie jener Bewegung zu deuten. Hiermit erklärt sich die Thatsache, dass die Energie eines Stromes nicht ausschliesslich von der Stromstärke, der Länge und dem Querschnitte des Drahtes, sondern auch von der besonderen Gestalt der Drahtmittellinie und der Nachbar- schaft anderer Ströme oder Magnete, sowie von dem Medium, in dem er sich befindet, abhängt. Damit ist auch eine Träg- heit der sich bewegenden Substanz festgestellt, wenn auch in anderem Zusammenhange, als sie früher vermuthet wurde und wir dürfen nun wieder mit mehr Vertrauen den Versuch unter- nehmen, die für die träge Materie gültigen dynamischen Ge- setze auf diese Bewegungserscheinuugen zur Anwendung zu bringen. Es ist hierfür nicht unbedingt nöthig, die Vorstellungen von der Art des Bewegungsvorganges so weit zu specialisiren, als es vorher angedeutet war. Nothig ist zunächst nur, dass wir annehmen, die Energie im Felde eines Stromes sei kine- tischer Art^ was zugleich einschliesst, dass irgend etwas, was der Trägheit der ponderablen Materie mechanisch äquivalent ist, dabei mit ins Spiel kommt. Um dies auszudrücken, führte Maxwell für die magnetische Energie des Feldes die Bezeichnung Digitized byLjOOQlC Erstes Capitel. Die Herleitung der Gleich, des elektrom. Feldes etc. 359 elektrokinetische Energie ein. Ferner müssen wir, um den Thatsachen gerecht zu werden, annehmen, dass die Ge- schwindigkeit jener unbekannten Bewegung in der Umgebung eines oder mehrerer Ströme von den Stromstärken linear ab- hängig ist. Ueber den Mechanismus, durch den diese Abhängig- keit bedingt wird, bedürfen wir dagegen sonst keiner specielleren Voraussetzung. Es ist gewiss verlockend genug, die Gonsequenzen ab- zuleiten, die sich aus dieser Vorstellung von der Natur des elektromagnetischen Feldes ergeben, wenn wir die allgemeinen Gleichungen der Mechanik darauf zur Anwendung bringen. Und es ist ferner gewiss ein höchst bemerkenswerthes Resultat, dass diese Gonsequenzen mit den Erfahrungsthatsachen in Uebereinstimmung stehen. Würde man aber, wenn diese Prüfung an der Erfahrung nicht möglich wäre, den Resultaten jener Betrachtung unbedingte Zuverlässigkeit zuschreiben dürfen, die doch erstens darauf beruhen, dass Bewegungen im mag- netischen Felde vorkommen, die eine Trägheit des Bewegten und ferner noch voraussetzen, dass für das Bewegte dieselben Bewegungsgesetze wie für die ponderable Materie gültig sind? Die Antwort kann wohl nur eine verneinende sein, und wer diese Frage verneint, möge sich die zweite Frage vorlegen, ob es sich empfiehlt, die ganze Maxwell'sche Theorie auf derartige Betiachtungen zu gründen, da es doch, wie sich zeigte, möglichst ist, ihre charakteristischen Gleichungen ohne diese aus den einfachsten Erfahrungsthatsachen herzuleiten. Desshalb kommt diesen Betrachtungen doch eine grosse Bedeutung zu, nicht als Stützen des ganzen Systems, sondern als dem werthvollsten Mittel für die fernere Erforschung des wahren Mechanismus im elektromagnetischen Felde. Auf sie stützt sich auch unmittelbar eine der plausibelsten Vor- stellungen über diesen Mechanismus, nämlich die schon vorher erwähnte, dass im magnetischen Felde der Aether überall in der Richtung der magnetischen Inductionslinien in Bewegung ist. Freilich erweist sich auch diese Vorstellung bei ein- gehender Prüfung nicht überall zulänglich und es ist bisher Digitized by Google 360 Sechster Abschnitt. Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. überhaupt nicht gelangen^ einen Mechanismus zu ersinnen, der das leisten konnte^ was man von dem hypothetischen Mechanis- mus bei diesen Betrachtungen verlangt, so dass alle Erfahrungs- thatsachen daraus hinreichend erklärt werden köfnnten, § 134. Cyklisohe Bewegungen. In einem constanten elektromagnetischen Felde ändert sich die Geschwindigkeit der von der dynamischen Theorie vorausgesetzten Bewegung der Zeit nach nicht. Sie ist, wie schon vorher bemerkt war, an jeder Stelle des Feldes eine lineare Function der einzelnen Stromintensitäten, deren Coef- ficienten von der räumlichen Anordnung des ganzen Systems, besonders auch der etwa vorkommenden permanenten Magnete u. s. w. und von der Lage des betrachteten Aufpunktes ab- hängig sind. Bleibt das Feld nicht constant, so wollen wir jedoch annehmen, dass die Geschwindigkeiten der hypothetischen Bewegung sehr gross sind im Vergleiche zu den vorkommenden Aenderungen, so dass für relativ kleine Zeiten die Bewegung so vor sich geht, als ob das Feld constant wäre. ' In einer solchen kurzen Zeit soll also die Aenderung des Feldes nur unmerklich gegenüber den Wegen sein, die währenddessen von dem Bewegten infolge der hypothetischen Geschwindig- keiten zurückgelegt werden. Eine Bewegung dieser Art nennt man nada v. Helmholtz eine cyklische. Der augenblickliche Zustand des Systems sei durch eine gewisse Anzahl von Parametern definirt. Diese lassen sich in zwei Gruppen bringen. Die zur einen Gruppe gehörigen ändern sich während einer rein cyklischen Be- wegung gar nicht und nur langsam, falls die Bewegung sich wenigstens innerhalb kleiner Zeiten als eine cyklische in dem vorher erwähnten Sinne ansehen lässt; die anderen wollen wir die Coordinaten der cyklischen Bewegung nennen. Diese Coordinaten wachsen proportional mit der Zeit, aber so, dass der Zustand des Feldes dem Begriffe der cyklischen Bewegung entsprechend, nicht von dem Werthe der Coordinaten selbst, sondern* von deren DiflFerentialquotienten nach der Zeit abhängt. Digitized by Google Erstes Capitel. Die Herleitang der Gleich, des elektrom. Feldes etc. 36 1 Der Sinn dieser Festsetzungen ergibt sich deutlicher^ wenn wir sie auf ein bestimmtes Beispiel beziehen und zwar wollen wir dazu ein System wählen, das aus zwei Stromringen mit eingeprägten elektrischen Kräften in einem Medium von con- stanter Permeabilität gebildet wird. Der eine Stromring bleibe dauernd in Buhe und der andere sei ohne Formänderung be- weglich. Jede Lage des beweglichen Stromringes lässt sich dann durch zwei Yectorgrössen eindeutig definiren, nämlich durch einen Radiusvector, der die Verschiebung eines beliebigen Punktes auf dem Stromringe aus der Anfangsanlage und einen Vector, der die Drehung angibt, die der Körper um jenen Punkt ausführen muss, damit er nach vollzogener Translation in die Endlage übergeführt wird. Bleibt die eingeprägte elek- trische Kraft in jedem Stromringe constant, so bilden diese beiden Yectoren die einzigen langsam veränderlichen Parameter des Systems. Bleiben beide Parameter längere Zeit hindurch constant, so gilt dies auch von dem elektromagnetischen Felde. Wir haben es aber hierbei nicht mit einem Ruhezustande zu thun, sondern mit einem stationären Zustande, währenddessen fort- während Energieumsätze stattfinden. Wir müssen daher an- nehmen, dass gewisse Grössen in einem mit der Zeit gleich- massig fortschreitenden Wachsthume begriffen sind, .die zwar auf das elektromagnetische Feld selbst ohne Einfluss sind, deren Werthe aber zu jeder Zeit ein Maass für die bis dahin erfolgten Energieumsätze bilden. Sie sind die Goordinaten der cyklischen Bewegung oder kurz die cytlischen Coordinaten des Systems. Noch anschaulicher wird diese Betrachtung durch die Einführung des Begriffes der Antriebspunkte. In einem zwangläufigen Mechanismus, in dem nur ein Freiheitsgrad der Bewegung vorkommt, können wir irgend einen materiellen Punkt auf einem der bewegten Theile als den Antriebspunkt des Mechanismus betrachten, so nämlich, dass die Bewegung des ganzen Systems völlig bestimmt ist, sobald die Bewegung des Antriebspunktes gegeben ist. Irgend einer Kraft, die an Digitized by Google 362 Sechster Abschnitt. Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. dem Mechanismus wirkt, lässt sich dann femer stets durch eine am Antriebspunkte angreifende das Gleichgewicht halten, oder umgekehrt, alle Kräfte lassen sich durch eine einzige am Antriebspunkte vollständig ersetzen. Da der Antriebspunkt sich nur auf einer durch die Systembedingungen unzweideutig vorgeschriebenen Bahn verschieben kann, kommt es hierbei nur auf solche Kräfte am Antriebspunkte an, die in die Richtung der Bahn fallen. Ein cyklisches System dieser Art heisst ein Monocykel. Als cyklische Coordinate wählen wir den Weg des Antriebs- punktes. — Das hier betrachtete System der beiden Strom- ringe hat zwei Antriebspunkte, deren Bewegungen unabhängig von einander erfolgen können. Wir haben daher auch zwei cyklische Coordinaten. Sie sind scalare Grössen, die wir mit j/i und y.^ bezeichnen. So lange die Stromstärken constant sind, wachsen beide proportional mit der Zeit; wir können uns darunter die Elektricitätsmengen denken, die von An- beginn an durch jeden Querschnitt des betreffenden Strom- ringes flössen. Hieraus folgt, dass die Stromintensitäten selbst durch die Differentialquotienten von y^ und y^ nach der Zeit dargestellt werden. Denken wir uns die eingeprägten Kräfte an jedem Strom - ringe auf dessen Antriehspunkt in der vorher besprochenen Weise reducirt, so ist die geleistete Arbeit gleich dem Producta aus der so reducirten Kraft und dem Wege des Antriebspunktes, der im Zeitelemente dt am ersten Stromringe gleich dy^ oder gleich y^dt ist, wenn der Punkt wie gewöhnlich eine Diffe- rentiation nach der Zeit bedeutet. § 135. Die Gleioliiing von Lagrange. Aus den Aenderungen der kinetischen Energie eines materiellen Systems, kann man mit Hülfe der Gleichung von Lagrange die an den Antriebspunkten wirkenden (oder auf sie reducirten) Kräfte berechnen. Für die Grösse der Kraft Fr Digitized by Google Erstes CapiteL Die Herleitung der Gleich, des elektrom. Feldes etc. 363 am Antriebspunkte r gibt diese Gleicbung (die hier als be- kannt vorausgesetzt wird), den Werth ^'-^.©-n w Hierin ist für die kinetische Energie T ein Ausdruck ein- zusetzen, der durch Summirung von y mv^ über alle Theile des Systems, gewonnen werden kann. Unter g^ ist jener Parameter zu verstehen, der den Weg des Antriebspunktes r angibt, g^ ist daher die Geschwindigkeit dieses Antriebspunktes und die Geschwindigkeit v eines beliebigen Massenpunktes ist eine lineare Function der Geschwindigkeiten 2« T ist daher eine quadratische Function der Geschwindigkeiten g', deren Coefficienten Functionen der Parameter j sind. — Durch Gleichimg (300) wird zunächst nur der Tensor der Kraft Fr bestimmt; die Richtung ist aber schon vorher bekannt, da sie in die Bahn des Antriebspunktes fallen muss, die durch die Systembedingungen zugleich mit gegeben ist. Gleichung (300) gilt unter der Voraussetzung, dass die Arbeit der Kräfte F vollständig zur Erhöhung der kinetischen Energie verwendet wird. Kommen Reibungswiderstände vor, so sind sie besonders in Rechnung zu stellen. § 136. Anwendung auf das Bicykel. Uns interessirt jetzt nur die. Anwendung, die sich von Gleichung (300) auf das in § 134 näher definirte System mit zwei cyklischen Coordinaten machen lässt, das man als Bicykel — oder auch nach dem Vorschlage von Ebert als Dicykel — bezeichnet. Für den Tensor Vi der Geschwindigkeit irgend eines Massenpunktes mi erhalten wir hier unter Beibehaltung der Be- zeichnungen ^1 und j/2 f^r die beiden cyklischen Coordinaten Vi = a,-^i + 6,^2 (301) Die Coefficienten a,- und 6,- sind von den cyklischen Coordi- naten unabhängig^ aber abhängig von den langsam veränder- Digitized by Google 364 Sechster Abschnitt. Gedrängte üebersicht über die übrigen Theile. liehen Parametern, die die räumliche Lage des beweglichen Stromringes beschreiben. Für T erhalten wir T = yl^^mitti + y\^\mib] + ViV^^miaibi (302) Mit ^ = J?w» = —- p9l' . Für jeden Aufpunkt ist fi von der Richtung der gezogenen Normalen 9t abhängig, und zwar bildet es, wie sich sofort zeigen wird, eine lineare Vectorfunction von 91. Ich habe nicht die Absicht, hier näher auf die Theorie dieser Functionen ein- zugehen und gebrauche diesen Ausdruck daher nur zur ab- gekürzten Bezeichnung des weiter folgenden Zusammenhanges. Der nächste Schritt der Elasticitätstheorie (ebenso auch der Hydraulik) besteht darin, ein unendlich kleines Element und zwar gewohnlich ein rechtwinkliges Parallelepipedum, oder ein Tetraeder mit drei zu einander senkrechten Seitenflächen, im Eörper abzugrenzen und die Gleichgewichtsbedingungen für die daran wirkenden Eräfte aufzustellen. Betrachten wir der Einfachheit halber ein solches Tetraeder, von dem drei Seiten- flächen zu drei rechtwinkligen Coordinaten-Ebenen parallel gehen und von dem die zu einander rechtwinkligen Eanten die Längen dx, dy^ dz haben, so haben wir die Gleichgewichts- bedingung \dydz • ffi + \dxd0 • ffi + \dxdy • ^, + rf/*. *i« = , wobei df die Fläche der vierten Tetraederseite und 9t die zu dieser gehörige innere Normale bedeutet. Die Seitenfläche dydß/^ ist die rechtwinklige Projection der Fläche df auf die Föppl, Maxwell'sohe Thoorie der Elektricität. 24 Digitized by Google _ 370 Sechster Abflchnitt Gredr&ngte üebersicht über die übrigen Theile. yg'lEhene und daher gleich df mal dem Cosinns des Winkels zwischen beiden Flachen. Dieser aber ist, nach der Definition des scalaren Prodncts, gleich — iSt Setzt man diesen Werth und entsprechend die beiden andern in die vorhergehende Gleichung ein, so erhält man *« = #fi« + *ii« + #fl« . . . (308) Hiermit ist pn als Function der Normalen X dargestellt, und der Spannungszustand in einem gegebenen Punkte ist daher vollständig durch drei Yectoren pi, p[, pi, bezw. durch neun scalare Grossen, nämlich durch die im Allgemeinen von einander unabhängigen Componenten dieser Yectoren definirt. In die Gleichgewichtsbedingung am Tetraeder treten die an der Masse des Tetraeders wirkenden Kräfte (auch die Trägheits- kräfte, Centrifugalkräfte u. s. w., falls sich der Korper in un- gleichförmiger Bewegung befindet) nicht ein, da sie, wie das Tetraedervolumen, unendlich klein dritter Ordnung und daher gegen die nur von der zweiten' Ordnung unendlich kleinen Grössen der auf die • Seitenflächen wirkenden Spannungen zu vernachlässigen sind. Für das Gleichgewicht der Kräfte an einem rechtwinkligen Parallelepipedum von den Kantenlängen dXy dy, djs erhält man, wenn die auf das Einheitsvolumen wirkende Massenkraft mit % bezeichnet wird, dydg • pi — dyd0ypi +j^äxj + dxd0 • pi — dxdApi + j^äyj + dxdy • Pf — dxdyypf + j^'ä^J + ^dxdydis = . Eier bleiben nur die von der dritten Ordnung unendlich kleinen Glieder übrig und man erhält »-Ä+??+w' w Hierbei ist f^ die von der Fernwirkungstheorie angenommene Fernkraft (mit Einschluss der Trägheitskraft bei ungleich- förmig bewegten Körpern), bei den gewöhnlichen Anwendungen Digitized by Google Zweites Capitel. Der Maxwell^sche Zwangszustand. 371 der Elasticitätslehre die Schwerkraft, mit der die Spannungen im Gleichgewicht stehen müssen. Soll dagegen^ wie hier, eine scheinbare Femkraft als Resultirende von Spannungskräften erklärt werden, so ist das Vorzeichen des Ausdrucks für fj in Gleichung (309) umzukehren. Ausser der Kraft f^, die durch den Mittelpunkt des Parallelepipedums geht, kann im Allgemeinen (nämlich bei Magneten) noch ein statisches Moment auf die Eörpermasse einwirken, das eine Drehung des Körperelements herbeizuführen strebt. Bezeichnen wir dieses auf den Mittelpunkt bezogene Moment mit MdxdydZy so erhalten wir als zweite Gleich- gewichtsbedingung der Spannungen mit den äusseren pondero- motorischen Einwirkungen durch Anwendung des Momenten- satzes für den Mittelpunkt 8».= Vi*f + Vi*«i + Vl*i .... (310) Auch hier sind die Vorzeichen auf der rechten Seite um- zukehren, wenn 9R mit den Momenten der Spannungen nicht im Gleichgewichte steht, sondern vielmehr als die Resultirende daraus erklärt werden soll. Zerlegt man die fi in ihre Componenten, setzt also z. B. so lässt sich Gleichung (310) nach Ausführung der Vector- producte auch schreiben S» = i(^is ~i>fe) + \{Ph -i^is) + «(Pi2 -Pii) . .(311) Bei den gewöhnlichen Anwendungen der Elasticitätstheorie kommt eine verdrehende ponderomotorische Einwirkung von aussen her nicht vor, SK ist also gleich Null und man hat an Stelle von Gleichung (311) Piz = i>i2 ; !Pii = Ph 7 Pi2 = Pii • Der Spannungszustand an jeder Stelle des Körpers wird dann nur noch durch sechs von einander unabhängige Spannungs- componenten definirt. Bei dem MaxwelFschen Zwangszustand trifft .diese Bedingung aber nicht immer zu und wir haben iuL 24* Digitized by Google 372 Sechster Abschnitt. Gedrängte üebersicht über die übrigen Theile. Allgemeinen alle nenn Spannungscomponenten beizubehalten. Bei den Fällen^ die hier behandelt werden sollen^ ist indessen SR immer gleich Null. § 139. Der Zwangszustand im elektrostatischen Felde. Hier beschränke ich mich auf die Betrachtung des Falles^ dass die Dielektricitätsconstante K überall denselben Werth hat. Die wahre Ladung ist dann überall das £^fache der freien und für die an einem Volumen-Elemente dv auftretende elektrostatische Fernkraft erhält man — VW'Qy,dv oder —K-V^Q/dv, wenn W das von den freien Ladungen ausgehende elektro- statische Potential bezeichnet. Mit Hl.*, des Laplace'schen Satzes lässt sich dies überführen in t «^ ^S/W'V^Wdv. Die vorher mit fj bezeichnete Fernkraft an der Volumen- einheit ist daher hier ^ = ^V^-V'?P (312) und das Moment M ist hier gleich Null. Soll nun das Zustandekommen der scheinbaren Fern- kraft f^ durch einen Spannungszustand im Dielektricum er- klärt werden^ so müssen die Vectoren pi, Jjfi, pt bezw. ihre Componenten so in ?P* ausgedrückt werden, dass Gleichung (309) erfüllt ist und 0t nach Gleichung (310) zu Null wird. Zu diesem Zwecke muss der in Gleichung (312) vorkommende Ausdruck \/W'S/^^ weiter umgeformt werden. Für die l-Com- ponente dieses Vectors lässt sich aber schreiben dx '^ ^ ^dxKdx) '^ dy\dx dy) ^ dx\dy) "'" dsi\dx de) 2 dx\dz) ' Digitized by Google Zweites Capitel. Der Maxweirsche Zwangszastand. 373 Im Ganzen erhält man daher ~^[dx'i\\dx) \dy) \dz) J^dyKdx dy)'^dz\dx dz)] '^^^x\^x dyJ^dy'AKdy) \dx) \dz) )'^dz\dy dz)] '^^[dxKdx dz)'^dy\dy dz)'^ dz ^\\dz) \dx) \dy) )]' Dieser Werth kann noch in anderer Weise geordnet werden, wie folgt: _ ^ ll i {(^^ — (^Y — (^^\ O- I ^?Z _L f ^ ^1 ~ dxy' ^ \\dx) \dy) \dz) ) "T"! aa; dy^^dx dz] + ayr a« aj/ "'"i ^ vlaj// laW va^?// "^^ay a^p) + dzy dx dz'^^dy dz "^ 2 vlaJ \dx) \dy) )\ Damit ist die verlangte Umformung vollzogen und Gleichung (309) ißt ebenso wie Gleichung (310) ohne Weiteres erfüllt, wenn wir setzen **~ AnV^Wdx) \dy) \dz) j'^^dxdy^^dx dz) *■> = - ?.('lfl|+ii(©'-(ID '-(S)')+'lvl?) ('«> ^'^ '^VJi'd^'^^dy dz'^^'^\\dz) \dx) \dy) ) Die Minuszeichen auf der rechten Seite erklären sich durch die auf Gleichung (309) folgenden Bemerkungen. Die Richtung der Coordinatenachsen war beliebig. Um eine nähere Vorstellung von der Art des durch die Gleichungen (313) dargestellten Zwangszustandes zu erhalten, wollen wir jetzt annehmen, dass die i-Bichtung mit der Richtung der elektrostatischen Kraft zusammenfalle. Bezeichnen wir den Tensor dieser Kraft mit 2^, so ist dann JF== — asy^a», während Digitized by Google 374 Sechster Abschnitt. Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. ^"^Idy und ^^jdz zu Null werden. Für diese specielle Wahl der Achsenrichtnngen erhält man daher d. h. diese 3 Spannungen stehen sämmtlich senkrecht zu den zugehörigen Flächen ^ sie sind nach den Bezeichnungen der Elasticitätstheorie die drei Hauptspannungen an der betreffenden Stelle des Korpers. Femer sind alle drei von gleicher Grösse. Nur im Vorzeichen findet eine Abweichung statt. Um uns über die Bedeutung dieser Vorzeichen Rechenschaft zu geben, bedenken wir, dass ^\ entgegengesetzt gerichtet ist wie die innere Normale i jener Seite der Schnittfläche, zu der ^t ge- hört, dass es also eine Zugkraft ist. Ein positives Vorzeichen wie bei f j und f | gibt dagegen Druckspannungen an. Der Zwang im elektrostatischen Felde besteht demnach in einer Zugspannung längs der Kraftlinien, verbunden mit einem nach allen Seiten hin gleichen normalen Seitendrucke zwischen den einzelnen Kraft- röhren; dem absoluten Betrage nach sind. beide unter einander gleich und zwar kommt auf die Flächeneinheit die Kraft J^'^/sw. § 140. Der Zwangszustand im magnetischen Felde eines elektrischen Stromes. Die magnetische Permeabilität ft sei im ganzen Felde constant; ebenso sollen nirgends eingeprägte magnetische Kräfte vorkommen, üeberall ist dann div § «= 0, d. h. die Kraftlinien sind hier ebenso wie sonst stets die Inductions- linien in sich geschlossene Curven. Die ponderomotorischen Kräfte, die jetzt als Ergeh niss eines Zwangszustandes erklärt werden sollen, sind die elektrodynamischen Kräfte an den elektrisch durchströmten Körpern. Für % haben wir daher nach Gleichung (167) zu setzen Digitized by Google Zweites Capitel. Der Maxwell'sche Zwangßzustand. 375 Das Moment SK ist hier wie im yorhergehenden Falle gleich Null zu setzen. Zur Bestimmung der Spannungen piy ^j, fif nach Gleichung (309) muss abermals eine entsprechende Um- formung des Ausdruckes für fj vorgenommen werden. Für die i-Componente von Vcurl§-§ erhält man und dies lässt sich umformen in ldH,H, . dH,H, . idH,^ idH,^ idH,^ TT (^^' I ^^« I ^^«M I dz "• dy "• 2 dx ^ dx 2 dx Adx"^ dy "^ dz )]' Der in der runden Klammer stehende Werth bildet die div von ^ und ist daher nach den vorhergehenden Bemerkungen gleich Null. Formt man entsprechend auch die anderen Com- ponenten um, so erhält man Vcurl^.^ — 1|— ^^— i ^ l-T-ä^ T dx l"T^j A dH,H^ , dH^H^ , idH^^ idH,^ idH,^\ ■*'I| dx '^ dz "^ ^ dy ^ dy ^ dy ] . A dH^H, , dH,H^ , idH,^ idH,^ idH,^] '^ [ dy '^ dx '^ ^ dz ^ dz ^ dz j* Ordnet man dies noch etwas anders, so erhält man für $ ^ = li Ä (* • T W - ^^' - ^8^ + i^i^« + *^i^3) + ^ A {tfl-^5, + i . 1(^« _ 5,« - H,^) + tH,H,] . + ^ A j^iE,H, + iH,H, + f . I(fi3* _ ^,^ - H,^)]. Der Vergleich mit Gleichung (309) zeigt uns, welche Werthe wir den Spannungen fi beilegen müssen, damit fj als deren Folge erscheint, nämlich Pi= -^[iH,H, + l^W~H,'-H,*) + tH,E,] (315) Digitized by Google 376 Sechster Abschnitt. Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. Lassen wir die i-Richtung mit der Kichtung von § zu- sammenfallen, so geht dies über in ^i^-igf»; lH = i^H *. = «Sf»- (316) Der Zwangszustand gleicht also völlig dem im elektro- statischen Felde auftretenden. An die Stelle der Intensität des elektrostatischen Feldes tritt hier die Intensität des mag- netischen Feldes und an die Stelle der Dielektricitätsconstanten K die Permeabilität [i. Für den Tensor der Hauptspannungen ^l^/%n lässt sich übrigens auch ^^/%n schreiben, d. h. die Hauptspannungen sind numerisch gleich dem auf die Yolumeneiaheit bezogenen Inhalte an magnetischer (oder elektrokinetischer) Energie. — Eine analoge Bemerkung lässt sich übrigens auch an den Ausdruck (314) für die Hauptspannungen im elektrostatischen Felde knüpfen. Die vorhergehende Betrachtung bleibt übrigens auch dann noch gültig, wenn das magnetische Feld nicht ausschliesslich von Strömen in einem Medium von constanter Permeabilität herrührt, falls nur an jenen Stellen, für die wir die fi be- rechnen wollen, die Permeabilität constant ist und keine ein- geprägten magnetischen Kräfte auftreten. § 141. Zwangszustand im Innern von Magneten. Als Magnete sind hier Körper zu verstehen, in denen entweder eingeprägte magnetische Kräfte vorkommen oder doch Körper, deren Permeabilität zum mindesten von der des umgebenden Mediums verschieden ist. Die Femwirkungstheorie denkt sich diese Körper mit einer Yertheilung magnetischer Massen belegt, ohne auf die Unterschiede in der Permeabilität weiterhin Rücksicht zu nehmen. Dass es möglich ist, für alle ponderomotorischen Erscheinungen auf diese Weise Rechen- schaft zu geben, ist längst nachgewiesen und durch den Ver- gleich mit der Erfahrung bestätigt. Wir wollen daher hier daran anknüpfen und untersuchen, wie der Zwangszustand Digitized by Google Zweites Capitel. Der Maxweirscho Zwangszustand. 377 bescha£fen sein muss, nm zu denselben Exaftäasserungen am Elementarparallelepipede eines Magneten zu führen. Hierbei sei die in § 94 beschriebene Massenvertheilung zu Grande gelegi Die im Yolumenelemente dxdydz enthaltene freie magnetische Masse setzen wir also gleich — div ^dxdyde (nach Gleichung 212) und die wahre magnetische Masse ist das ft-fache davon. Die Oberflächenbelegung von freiem Magnetismus auf der dem Coordinatenursprung zunächst ge- legenen Rechteckfläche ist gleich — J^dydZy wenn J^ die i-Componente der magnetischen Intensität. 3 bedeutet; auf der gegenüberliegenden Seite haben wir eine Belegung vom entgegengesetzten Vorzeichen. An den zum Yolumenelemente gehörigen Massen wirken nach der Femwirkungstheorie ausser der Kraft — ft div ^dxdyd0 • § , die an dem wahren Magnetismus im Innern des Parallel- epipedums angreift, noch drei Kräftepaare an den Oberflächen- belegungen. Das statische Moment des an den beiden zur i-Bichtung senkrechten Seitenflächen angreifenden Kräftepaares für irgend einen Momentenpunkt (denn für ein Kräftepaar ist das statische Moment bei jeder Lage des Momentenpunktes gleich gross) beträgt Vi§ • ^J^dxdydz. Der Factor ft kommt dadurch in den Ausdruck^ dass die ponderomotorische Kraft an der Belegung mit wahrem Mag- netismus angreift^ die das ft-fache der früher angegebenen Belegung mit freiem Magnetismus bildet. Stellen wir den entsprechenden Ausdruck auch für die beiden anderen Kräfte- paare auf, addiren, ziehen dabei \J^ + 1^2 + '«'s ^u 3 und fi$ zu 8 zusammen, so erhalten wir für das auf die Yolumen- einheit bezogene statische Moment SR der ponderomotorischen Fernwirkung aR=V3» (317) Wir haben uns seither stets darauf beschränkt, solche magnetische Körper ins Auge zu fassen, für die 8 und ^ und Digitized by Google 378 Sechster AhaehmiL Gedrängte üebermcht aber die übrigen Theile. daher anch 3 gleich gerichtet sind. Bei hartem Eisen braucht dies nicht zuzutreffen. Wir wollen aber jetzt, wie seither überall in diesem Buche , daTon absehen, auf jene Falle ein- zugehen, bei denen eine Abweichung zwischen der Richtung der Kraft und der des entsprechenden Flusses (^ und fß, bezw. 6 und S) vorkommt, indem wir diese Fälle einer besonderen Behandlung vorbehalten. Nach der Definition des Yectorproducts wird in unserem Falle 9t zu Null. Für 9 erhalten wir 5 = _^div3-§ = £^ div§ . §. An Stelle von 3 ist hierbei wieder mit ^ülfe von Gleichung (211) ^ eingeführt. Von elektrischen Strömen soll der Magnet nicht durchflössen sein« ^ lässt sich daher, wenigstens in jenen Bäumen, für die wir uns interessiren, von einem Potentiale ableiten, das mit W bezeichnet werden mag. Damit wird Dieser Aasdruck unterscheidet sich aber nur dadurch von dem in Gleichung (312) für die elektrische Kraft im elektro- statischen Felde gegebenen, dass K durch sein magnetisches Analogen [i ersetzt ist. Wir können daher die dort gefundene Lösung unmittelbar auf den hier vorliegenden Fall übertragen. Besonders gelten also die Gleichungen (313) und (314) sofort auch für das magnetische Feld, wenn man K durch f( ersetzt und unter F jetzt JS versteht. Der Spannungszustand, zu dem wir jetzt geführt wurden, ist vollständig mit dem in § 140 gefundenen und durch die Gleichungen (315) and (316) ausgedruckten identisch. Wir mussten dies auch von vornherein erwarten, da es sich im einen wie im anderen Falle darum handelte, ponderomotorische Kräfte in einem magnetischen Felde zu erklären. Die drei in § 139, 140 und 141 behandelten Fälle können auch combinirt vorkommen. Die betreffenden Zwangszustände superponiren sich dann einfach. Digitized by Google Drittes Capitel. Die elektromagnetisch. Wellen in isotropen Medien. 379 Drittes Capitel. Die elektromagnetisclien Wellen in isotropen Medien. §142. Ebene Wellen in einem ruhenden, isotropen und homogenen Dielektricum. Die beiden Hauptgleichungen des elektromagnetischen Feldes lauten hier (vgl. Gleichung 154 und Gleichung 163) curl$ = Z§ (318) curl« ^ = -f»t. . . . (319) Dazu kommt; da [i constant ist, div§ = (320) und, da keine wahren elektrischen Ladungen im Innern des Dielektricums vorkommen können und zugleich K constant ist, div « = (321) Mit Hülfe dieser Gleichungen, die die Eauptwurzeln der ganzen MaxwelFschen Theorie bilden, lässt sich der Verlauf der elektromagnetischen Wellen im Dielektricum leicht ver- folgen. Eliminirt man (& aus den beiden Hauptgleichungen, indem man von der ersten den curl nimmt, die zweite nach t differentiirt und beide addirt, nachdem vorher die zweite noch mit K multiplicirt ist, so erhält man curP$ El,^. ..... (322) Nach Gleichung (72) geht dies mit Bücksicht auf Gleichung (320) über in ^'^ = K^^ (323) Umgekehrt kann man auch ^ eliminiren, indem man Gleichung (318) mit ft multiplicirt und nach t differentiirt, Digitized by Google 380 Sechster Abschnitt Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. hierauf von Gleichung (319) den curi nimmt und sie dann von der ersten subtrahirt. Man erhält dann curP« = - ^/^ oder mit Rücksicht auf Gleichung (321) V^@ = X^^,. ...... (324) Die Vectoren ^ und @y die den Zustand des elektro- magnetischen Feldes in Verbindung mit den constanten Coef- ficienten K und ft für jeden Augenblick und für jede Stelle des Feldes vollständig definiren, erfüllen demnach beide •die- selbe Differentialgleichung. Näheren Aufschluss über die Art der elektromagnetischen Wellen, die dieser Gleichung unter- worfen sind, erhalten wir, wenn wir partikuläre Integrale der Differentialgleichung bilden. Hier handelt es sich nur um den einfachsten Fall. Auf diesen wird man geführt, wenn man setzt § = #«sin2;r(f + 4) (325) wobei ^^ einen dem Räume und der Zeit nach constanten Vector, X den senkrechten Abstand des Aufpunktes von einer beliebig gewählten Ebene, t die Zeit und A und t zwei Con- stanten bedeuten. Dieser Werth bildet nämlich in der That ein Integral der Differentialgleichung (323), wenn man über die Constanten A und t in passender Weise verfügt. Man erhält nämlich, wenn die erwähnte Ebene zur YZ-Ebene ge- nommen wird, aus Gleichung (325) v.e-|t=-e^)>,i.2.(|+i), sowie ^ (-)rBm2;r(^ + -)5 Gleichung (323) ist also erfüllt, wenn wir setzen i = i,.i:^ oder A = t'|/^. . . (326) Digitized by Google r ■ - . ^^^ Drittes Capitel. Die elektromagnetisch. Wellen in isotropen Medien. 381 Bisher war über den constanten Vector §® nichts voraus- gesetzt; einer einschränkenden Bedingung wird er aber dadurch unterworfen, dass § zugleich Gleichung (320) erfüllen muss. Führt man die Operation diy an Gleichung (325) aus und bezeichnet die X-Componente von §^ mit Hl, so erhält man nach Gleichung (320) div§ - ^?^sin2«(f + 1) = fi?¥cos(| + ^) = 0. Da dies für jedes x und für jedes t zutrifft, muss ir; = o (327) sein, d. h. §^ muss parallel zur FZ- Ebene sein. Schreiben wir also 80 geht Gleichung (318) hiermit und nach Einsetzen des Werthes von § aus Gleichung (325) über in Durch Integration erhalten wir hieraus « = xi(- i^3 + IS^ 8m2«(| + i) + «. . (328) wobei die Integrationsconstante St zunächst unabhängig von der Zeit ist. Setzt man den Werth von Qt in Gleichung (324), so wird diese ^ wie man sich leicht überzeugt, erfüllt unter der Bedingung, dass V^ft gleich Null ist. Auch Gleichung (319) wird durch die Lösungen von Qt und $ befriedigt, falls curl St Null ist. Diese beiden Bedingungen sprechen aus, dass St zu einem der Zeit nach constanten elektrostatischen Felde gehört, das von Massen herrührt, die ausserhalb des von uns be- trachteten Feldbezirks liegen. Ein solches constantes elektro- statisches Feld hat ^Iso gar keinen Einfluss auf die Wellen- bewegung. Ebenso könnte der Lösung von ^ irgend ein der Zeit nach constanter Vector zugefügt werden, der dieselben beiden Bedingungen erfüllt, ohne dass sich der Vorgang im Digitized by Google 382 Sechster Abschnitt. Gedrängte üebersicht über die übrigen Theile. Uebrigen änderte. Magnete und elektrische Ladungen sind also auf die Fortpflanzung der ebenen magnetischen Wellen unter den hier vorliegenden Bedingungen ohne Einfiuss. — Da es auf $t demnach nicht weiter ankommt, setzen wir es der Einfachheit halber gleich Null. Die für Qt gefundene Lösung sei symmetrisch zu Gleichung (325) in der Form geschrieben « = e«sin2m + 4) (329) Unter Qt^ ist demnach ein der Zeit und dem Räume nach constanter Vector zu verstehen, dessen Gomponenten sich aus dem Vergleiche mit Gleichung (328) ergeben zu JB?=0, E', ^Hl K = YK^l . (330) Der hierbei vorkommende Coefficient yxJBT kann nach Gleichung (326) durch "[/fVÄ" ersetzt werden, hängt also nur von dem Medium ab. Auch der Vector 6® geht demnach parallel zur YZ- Ebene und zwar steht er senkrecht zum Vector $^, da, wie man sofort erkennt, das scalare Product beider zu Null wird. § 143. Discussion der gefundenen Lösung. Analytisch ist hiermit die Aufgabe, ein particuläres Litegral der Differentialgleichung der elektrodynamischen Wellen zu bilden, vollständig gelöst; es handelt sich jetzt noch um die Besprechung der physikalischen Bedeutung dieser Lösung. Nach den Gleichungen (325) und (329) haben wir es hier mit einem rein periodischen Vorgang zu thun. Zu einer ge- gebenen Zeit hat der Vector § an allen Stellen des Feldes, die auf einer zur TZ-Ebene parallelen Ebene enthalten sind, dieselbe Grösse und Richtung. Der grösste Werth, den er annimmt ist ^^*, dies trifft in einem Augenblicke zu, wo ^/x + */r für das betreffende x gleich n + 1/4 ist, wo n eine Digitized by Google Drittes Capitel. Die elektromagnetisch. Wellen in isotropen Medien. 383 beliebige ganze Zahl bedeutet. Während die Zeit weiter fortschreitet, nimmt § ab; es wird zu Null, wenn ^/l+*/r = w + 1/2 ist und kehrt darauf die Richtung in die entgegen- gesetzte um. Man erkennt aus dieser Betrachtung, dass t die Schwingungsdauer einer vollen Periode ist; denn sobald t sich um t vermehrt, wächst n wieder um 1 an und der Vorgang beginnt von Neuem. Anstatt wie soeben den Blick auf eine bestimmte Stelle des Feldes zu fesseln und die Veränderungen während des Verlaufes der Zeit .an dieser Stelle zu beachten, wollen wir jetzt umgekehrt den Zustand des Feldes an verschiedenen Stellen zur gleichen Zeit ins Auge fassen. Auch dem Baume nach ist § periodisch; es nimmt den Maximal werth §^ überall dort an, wo ^/l + */t = n + 1/4 ist; wächst dieser Betrag auf n + 3/4 an, so ist § ebenso gross, aber entgegengesetzt gerichtet. Hieraus erkennt man die Bedeutung der Con- stanten A: diese gibt die Wellenlänge an, denn sobald wir in der Richtung x um X weiter gehen, hat sich der Bogen, dessen sinus in Gleichung (325) vorkommt, um 2jr vermehrt, wodurch an dem Werthe von ^ und ebenso nach Gleichung (329) an dem von 6 nichts geändert wird. Man betrachte femer die Aenderung von §, wenn man zur selben Zeit um das unendlich kleine Stück dx vorwärts geht und vergleiche sie mit der Aenderuug, die ^ an demselben Orte während der unendlich kleinen Zeit dt erfährt; man hat Beide Werthe sind einander gleich, falls zwischen dx und dt die Bedingung dx/i = dt/^ erfüllt ist. Aus dieser Betrachtung erkennt man zweierlei. Zunächst ist die von uns angenommene Richtung der x ent- gegengesetzt der Fortpflanzungsrichtung der Wellen, denn Digitized by Google 384 Sechster Abschnitt. Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. jener Zustand; der im Abstände 4~ ^^ zur Zeit t herrschte, tritt nach der Zeit t-\'dt im Aufpunkte ein. Zugleich ergibt sich aber daraus noch die Geschwindigkeit, mit der dieser Zustand durch das Medium fortschreitet^ also mit anderen Worten die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellenbewegung. Nennen wir diese v, so muss, wenn dx und dt gleichen Aenderungen entsprechen sollen, dx == vdt sein. Vergleichen wir dies mit der vorher direct gefundenen Beziehung zwischen beiden und beachten zugleich Gleichung (326), so erhalten wir '' = 7 = 1/J 331) Schon früher (§ 59), bei der Untersuchung über die Dimensionen der Coefflcienten K und fi waren wir zu dem Resultate gelangt, dass ihr Product das Beciproke vom Quadrate einer Geschwindigkeit darstelle. Jetzt ist jene Betrachtung dahin ergänzt, dass diese Geschwindigkeit die Fortpflanzungs- geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen (oder auch die des Lichtes, das nach Maxwell als eine elektromagnetische Wellenerscheinung betrachtet wird) in dem betreffenden Medium ist. Will man die x in der Richtung der fortschreitenden Wellen zählen, so ist Gleichung (325) zu ersetzen durch § = rsin2«(|-f) und entsprechend bei 6. Der Inhalt an magnetischer und elektrostatischer Energie in einem Yolumenelemente dv ist für einen gegebenen Augen- blick (Gl. 116 und Gl. 129) dT^^§^dv + ^(&^dv. Setzt man die Werthe von ^ und (S ein und nimmt dabei auf die durch die Gleichung (330) gegebenen Werthe Digitized by Google Drittes Capilil. Die elektromagnetiBCh. Wellen in isotropen Medien. 385 der Componenten von & Rücksicht, so ergibt sich nach ein- facher Ausrechnung, dass beide Glieder von dT von gleicher Grösse sind, dass also die elektrostatische Energie im Yolumen- elemente in jedem Augenblicke ebenso gross ist als die mag- netische. Die Fortpflauzungsrichtung der Welle kann zugleich als die Bahn eines Energiestromes aufgefasst werden. Durch einen der Flacheneinheit gleichen senkrechten Querschnitt wandert in der Schwingungsdauer r so viel Energie, als bei demselben Querschnitt über eine Längenwelle hinweg in jedem Augenblicke im Medium verbreitet ist. Dies ist der Betrag £^lj\ia^2.(i + ^)äx, wofür man durch Ausführung der Integration leicht erhält Die mittlere Intensität des Energiestromes ergibt sich hieraus sofort durch Division mit r. Eine ähnliche Betrachtung liefert leicht auch die augen- blickliche Intensität des Energiestromes. Von besonderem Interesse ist es, hier an die Untersuchungen in § 112 über den Poynting'schen Energiefluss anzuknüpfen. Setzen wir die Tntegrationsconstante curlÄ in Gleichung (267) gleich Null, so entnehmen wir daraus in unserem Falle für den Energie- strom 8B Für V®o^o erhält man aber mit Berücksichtigung der Gleichungen (330) und (327) Demnach wird 86 ®-=-iÄ-Ä«i°*2«(f + !)•#? . . (332) Föppl, MaxweU'sche Theorie der Elektricität. 25 Digitized by Google 386 Sechster Abschnitt. Gedrängte Üebersicht über die ül^^gen Theile. Dieser Werth deckt sich vollständig mit dem durch die vorhergehende Betrachtung gefundenen; speciell wird man auch genau auf den vorher gegebenen Mittelwerth von 8B geführt, wenn man Gleichung (332) über eine Schwingungs- dauer integrirt und dann durch x dividirt. Man muss beim Vergleiche nur auf die durch Gleichung (326) ausgesprochene Beziehung zwischen den Constanten achten. Dieser Vergleich lehrt uns, dass im vorliegenden Falle die von Poynting vorgenommene Unterdrückung der Tntegrations- constanten A in Gleichung (267) in der That vollständig ge- rechtfertigt ist. Das negative Vorzeichen des Ausdruckes von S9B in Gleichung (332) weist uns darauf hin, dass die Richtung der Energiefortpflanzung der l- Richtung (also der Richtung der positiven x) entgegengesetzt ist. In Verbindung mit einem schon vorher über die a;-Richtung gefundenen Resultate heisst dies, dass sich die Energie in derselben Richtung fortpflanzt, wie die Wellen selbst. Im Sinne der elektromagnetischen Lichttheorie wird daher die Richtung eines Licht- strahles durch die Richtung des damit verbundenen Energieflusses bestimmt. Ein Strahl, der die hier besprochenen Gesetze befolgt, bei dem also die Richtung von ^ stets in dieselbe Gerade und die von (S stets in eine dazu senkrechte Gerade fällt, heisst ein planpolarisirter Strahl. Ob ^ oder 8 in jene Ebene fällt, die man in der Optik die Polarisationsebene eines eben polari- sirten Lichtstrahles nennt, ist noch zweifelhaft. § 144. Ebene Wellen in Halbleitern. Wenn das Medium, in dem sich eine elektromagnetische Welle fortpflanzt, zugleich (wir wollen jetzt annehmen nur in geringem Grade) elektrisch leitet, hat man die Haupt- gleichungen an Stelle von (318) und (319) zu schreiben (vgl. Gl. 154 und 163) Digitized by Google Drittes Capitel. Die elektromagnetisch. Wellen in isotropen Medien. 387 curl^ = 4jrÄe + JS: curie = — /A^, dt wozu noch die Gleichungen (320) und (321) treten. Durch Elimination entweder von 6 oder von ^ in der- selben Weise wie in § 142 erhalten wir die für diese beiden Vectoren gültigen Diflferentialgleichungen, die hier an Stelle der früheren Gleichungen (323) und (324) treten. Sie lauten: Jeder Vector erfüllt dieselbe Differentialgleichung. Setzt man an Stelle von Gleichung (325) # = #oe"^sm2«(f + 1), 80 hat man eine particuläre Lösung der Differentialgleichung für §, die sich von der früher betrachteten Lösung für den Fall Jc = nur durch das Hinzutreten des Factors c*** unter- scheidet. Dieser Factor spricht aus, dass eine Dämpfung der Ausschläge beim Fortschreiten der Wellen stattfindet. Die Lösung bleibt natürlich auch noch gültig, wenn man den sin durch den cos ersetzt. Eine wesentliche Abweichung gegenüber dem früher be- trachteten einfacheren Falle stellt sich hier insofern ein, als der correspondirende Werth von d e = go^^gin2Ä(| + |) nun nicht mehr, wie man nach den früheren Ergebnissen vermuthen möchte, mit ^ zusammen eine Lösung des Problems bildet. Die Differentialgleichungen (333) werden zwar beide erfüllt; aber nicht mehr die beiden Hauptgleichungen selbst, wenn man die gewählten Werthe einsetzt. Man setze daher 26* Digitized by Google 388 Sechster Abschnitt Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. § = #V'|8in2«(f + i) + ^co82«(f + DI" [ (334) « = «V'{8m2«(f + i) + yco82«(f + |)| Hierbei sind ß und ;/ zwei neueingeführte Coostanten, die man als Tangenten yon Winkeln betrachten kann. Diese Winkel sind die „Phasenverschiebungswinkel^ der Losungen (334) gegenüber den früher betrachteten und da ß von y nothwendig verschieden sein muss^ damit die Hauptgleichungen erfüllt werden ; ergibt sich aus dieser Betrachtung ^ dass ^ und (S in absorbirenden Mitteln nicht mehr in gleicher Phase stehen. Das Hinzukommen der mit ß und y behafteten Glieder in Gleichung (334) stört nicht, dass die Differentialgleichungen (333) immer noch erfüllt werden; wir haben nur etwas ver- allgemeinerte Losungen dieser Differentialgleichungen heran- gezogen. Setzen wir die Werthe (334) in die Gleichungen (333) ein, so erhalten wir zwei Bedingungsgleichungen zwischen den Goustanten a, A und t, in denen sich ß und y völlig herausheben. Setzen wir hierauf die Werthe (334) in die Hauptgleichungen ein, so erhalten wir zwei Bedingungs- gleichungen, aus denen sich ß und y (als Losungen von Gleichungen dritten Grades) berechnen lassen. Da diese Lösung etwas verwickelt ist, möge darauf jetzt nicht weiter einge- gangen werden. Die beiden Bedingungsgleichungen zwischen den Con- stanten a, X und r, denen diese genügen müssen , damit die Differentialgleichungen (333) erfüllt werden, ergeben sich leicht wie folgt «>-(¥)'+2f.C-a'-o| (335) Eine dieser Constanten kann demnach beliebig gewählt werden ; z. B. A oder r. Die anderen und daher auch das Verhältniss ^t, das nach der Betrachtung, die zu Gleichung (331) Digitized by Google Drittes Capitel. Die elektromagnetisch. Wellen in isotropen Medien. 389 führte, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellenbewegung angibt, sind von der getroffenen Wahl abhängig, d. h. in absorbirenden Mitteln ist diese Fortpflanzungs- geschwindigkeit eine Function der Wellenlänge. Dieses Resultat ist namentlich desshalb bemerkenswerth, weil man in der Optik die Dispersion der Lichtstrahlen durch DifiPerenzen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit verschieden langer Wellen erklärt. Die Auf losung der Gleichungen (335) liefert, wenn man A als die beliebig zu wählende Constante ansieht und be- achtet, dass a nach der von uns getroffenen Festsetzung der Vorzeichen (die es mit sich bringt, dass die Fortpflanzungs- richtung der Wellen mit der negativen X-Achse zusammen- fällt) jedenfalls positiv ist: « -Jg^ - -^Jgl— . . . (3861 Die Absorption macht sich also um so weniger bemerklich (cc ist um so kleiner) je grösser die Wellenlänge A ist. Daher kommt es, dass dicke Platten aus Holz, Pech u. s. f. die Hertzschen Wellen ohne starke Absorption durchlassen, während die viel kürzeren Lichtwellen vollständig darin verlöschen. Für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v = ^r erhält man aus der zweiten der Gleichungen (335) • . . (337) Falls entweder k selbst schon sehr klein oder falls A so klein ist, dass das Glied k^^^k^ gegen K^i verschwindet, geht V wieder in den früher (Gl. 331) gefundenen Werth über. Sohlussbemerkungen. Aus den früher angeführten Gründen gehe ich hier nicht weiter auf die Theorie der elektromagnetischen Wellen ein. Ich bemerke nur noch, dass man aus der verschiedenen Fort- Digitized by Google 390 Sechfiter Abschnitt. Gedrängte Uebersicht über die übrigen Theile. Pflanzungsgeschwindigkeit in zwei aneinander grenzenden Medien auf die Lichtbrechung zwischen ihnen schliessen kann. Maxwell benutzte zu dem Vergleiche des Brechungs- index mit der Dielektricitätsconstanten Gleichung (331), die in vielen Fällen zu einer befriedigenden Uebereinstimmung führt. Im Allgemeinen wäre sie indessen durch Gleichung (337) zu ersetzen; doch ist mit Rücksicht auf den molekularen Aufbau der lichtbrechenden Körper auch hier keine volle Ueber- einstimmung zu erwarten. — Für weitergehende Untersuchungen ist es auch unerlässlich, die Theorie auf äolotrope Körper auszudehnen, wovon der Einfachheit halber in diesem Buche überall grundsätzlich abgesehen wurde. In guten Leitern erlangen die den ersten Diflferential- quotienten nach t enthaltenden Glieder in den Differential- gleichungen (333) das Uebergewicht über die mit dem zweiten Differentialquotienten behafteten. Die Fortpflanzung der Störung erfolgt dann wie die Ausbreitung der Wärme nach der Fourier'- schen Theorie Ein vollkommener Leiter (Je = oo) würde überhaupt keine Störung in sein Inneres dringen lassen. Digitized by Google Anhang. L Kfickblick anf die Fassung de» Elektrostatik. Man kann oft genug die Aeusserung hören, dass die Elektrostatik das schwierigste Kapitel der MaxwelPschen Theorie bilde. Bei der Abfassung dieser Schrift habe ich aber eine solche Schwierigkeit kaum empfunden, und es will mir daher scheinen, dass sie überhaupt nicht in der Sache, sondern nur in unserer Gewohnheit, mit den Begriffen und Vorstellungen der Fernwirkungstheorie zu operiren, ihren Ursprung hat. Um dies deutlicher hervortreten zu lassen, wird es sich empfehlen, hier noch einmal eine kurze Analyse des ganzen Gedanken- gangs zu geben, wobei sich mir auch Gelegenheit bieten wird, noch einige weitere Bemerkungen dem Früheren beizufügen. Der erste Schritt bestand in der Einführung des Vectors a (der elektrischen Kraft) im Dielektricum. In der Luft oder in flüssigen Nichtleitern ist das Kraftfeld (B unmittelbar durch die Erfahrung gegeben; aber auch die Uebertragung der Vor- stellung vom Kraftfelde auf feste Dielektrica ist ein so un- bedenklicher Schritt, dass er bisher wohl von Niemand beanstandet wurde. Dass zur Einführung von (B die vorher- gehende Definition der Elektricitätsmenge (wie in der Pem- wirkungslehre) keineswegs erforderlich ist, scheint mir fast selbstverständlich zu sein, da es zunächst nicht auf ein Messen von (B in absolutem Maasse ankommt Für den Anfang ge- nügt irgend eine willkürliche Einheit; später ergibt sich dann aus den Betrachtungen über die Energie des Feldes von selbst das Mittel zur Zurückführung auf absolutes Maass. Einen Digitized by Google 392 Anhang. ausfQhrlichen Nachweis für die Berechtigung dieses Vorgehens hat Vaschy kürzlich gegeben (C. R. 116. p. 1286. 1893). Bei der Abfassung des Textes würde ich diese Darstellung gern mit benutzt haben^ wenn sie mir damals 'schon bekannt ge- wesen wäre. Der Vector 3) wird freilich rein hypothetisch eingeführt. Seine Einreihung bildet das wichtigste Merkmal der ganzen MaxweU'schen Theorie, durch das sich diese yon allen früheren Theorien am wesentlichsten unterscheidet. Durch die Be- merkung, d'ass die Energiegrossen auch sonst überall durch zwei Factoren bestimmt werden, kann nachträglich bis zu einem gewissen Grade die physikalische Existenz von 3) wahrschein- lich gemacht werden. Wirklich gerechtfertigt wird die An- nahme aber nur durch den engen Anschluss der daraus gezogenen Folgerungen an die Erfahrungsthatsachen. Wenn aber auch unbedingt zuzugeben ist^ dass die Annahme, der physikalische Zustand eines elektrostatischen Feldes erfordere zu seiner yoU- ständigen Charakterisirung stets zwei Vectoren, ganz hypo- thetisch ist und ihre Rechtfertigung erst a posteriori erhalten kann, so ist doch andererseits auch keine Erschwerung der Vorstellungen darin zu erblicken. Denn der zwischen den Kräften und den elastischen Formänderungen der gewöhnlichen Mechanik bestehende Zusammenhang bildet ein so getreues Analogon dazu, dass wir niemals im Zweifel über den Sinn bleiben können, in dem die beiden Vectoren S und (& neben einander gebraucht werden. Die heute gebräuchliche Definition des Leiters (§ 43) ge- stattet eine einfache üebertragung der beim Dielektricum ge- wonnenen Begriffe. Dass in einem elektrisch durchströmten Leiter ein elektrostatischer Zwangszustand besteht von der- selben Art wie im Dielektricum, ist zwar experimentell bisher nicht in directer Weise bewiesen. Die damit zusammen- hängende Definition des Leiters scheint mir aber darum nicht minder berechtigt, als die von der Femwirkungslehre gegebene, wonach ein Leiter ein Körper sein soll, in dem sich die Elektricität frei zu verschieben vermag. Denn auch dass Digitized by Google Anhang. 393 sich irgend etwas wirklich frei im Leiter verschiebe, ist nicht experimentell bewiesen; es ist dies nur eine Vorstellung, die uns zu den experimentell beobachteten Thatsachen eine mög- liche Erklärung liefert. Dasselbe leistet aber auch die moderne Definition des Leiters. Hierbei ist noch darauf hinzuweisen, dass es in der Natur keine scharfe Grenze zwischen Leitern und Nichtleitern gibt. Sobald wir aber einen continuirlichen Uebergang annehmen, also so etwa, dass ein Körper bei einer bestimmten Temperatur nicht leitet und bei einer anderen (wie z. B. Glas bei einer Erwärmung) leitet, die Leitungsfähigkeit also eine stetige Function der Temperatur bildet (die von einer bestimmten Grenze an Null ergibt), folgt daraus sofort, dass unsere Vorstellung über den im elektrisch durchströmten Leiter bestehenden elektrostatischen Zwangs- zustand richtig sein muss, falls dies für das Dielektricum zugegeben wird. Zunächst fehlt hierbei allerdings ein Mittel, um die In- tensität der Vectoren 3) und (B im Innern eines Leiters aus- zumessen. Das traf aber für einen festen Nichtleiter gleichfalls zu, und wie bei diesem das der Beobachtung zugängliche Maass der aufgehäuften Energie, so gibt bei dem Leiter die Be- obachtung der in ihm in Wärme verwandelten elektrostatischen Energie das Mittel an die Hand, die Grösse der Vectoren 3) und (& nachträglich zu bestimmen, wobei wie im vorigen Falle die Eigenschaften des Mediums mit in Betracht kommen. In einem elektrischen Felde, das frei von magnetischen Strömen ist, kommt hierzu der aus den späteren Erörterungen folgende Umstand, dass das Linienintegral der elektrischen Kraft für eine geschlossene Curve verschwindet, wodurch wir das Messen von a im Metall durch ein Messen im angrenzenden Luft- räume ersetzen können. Der nächste Schritt besteht in der Zerlegung des Vectors tf (falls dieser in beliebiger Weise im Baum vertheilt ist), in zwei Componenten, wovon die eine wirbelfrei und die zweite solenoidal ist. (Vergl. hierzu auch Anhang IL) Diese Zer- legung bildet eine rein analytische Operation. Dann wird Digitized by Google 394 Anhang. durch Definition festgesetzt, dass die Elektrostatik die Lehre Yon den elektrischen Feldern bildet, in denen i& der Zeit nach constant und dem Orte nach wirbelfrei vertheilt ist. Dafür, dass es solche Felder gibt und dass sie bei den Erscheinungen der Beibungselektricität vorkommen, kann auf die Erfahrung verwiesen werden. Die Eigenschaft der in diesem Falle wirbelfreien Yertheilung lässt sich indessen auch schon aus dem Energieprincip schliessen. — Im Innern der Leiter muss in elektrostatischen Feldern @ überall Null sein. Träfe dies nämlich nicht zu, so hätten wir einen stationären elektrischen Strom, der nur längs geschlossener Bahnen möglich ist. Das Linienintegral von 6 für eine solche ge- schlossene Strombahn müsste aber dann nothwendig von Null verschieden sein (da ffi mit dem Strome überall gleiche Bichtung hat^, was gegen die Voraussetzung der wirbelfreien Vertheilung ist. Für ein wirbelfreies ® gelten ferner die Sätze der Potential- theorie. Man gelangt damit auch zu jenen Werthen, die man in Anlehnung an die Newton'sche Gravitationstheorie als „Massen^^ bezeichnet, ohne dass indessen irgend eine Veranlassung zu der Annahme vorläge, dass diese elektrischen Massen in dem Sinne eine materielle Unterlage hätten, dass sie mit den ponderablen Massen der Mechanik verglichen werden könnten. Namentlich erscheint die Anwendbarkeit der Sätze der Mechanik auf die an solchen „Massen" angreifenden ponderomotorischen Kräfte zunächst ganz zweifelhaft. Die Massen spielen dagegen in der MaxwelFschen Theorie eine andere sehr wichtige und unmittelbar evidente Bolle, nämlich als Quellen und Ver- sickerungsstellen des ihnen zugeordneten Kraftflusses. Wie zu ffi die „freien", so gehören zu ® die „wahren*^ Elektricitäts- mengen, zwischen denen sorgfältig zu unterscheiden das Be- streben jedes Physikers sein sollte. Die Gegenüberstellung der beiden Begriffe verhindert zugleich, dass einem von ihnen je wieder eine solche dominirende Bolle zugeschrieben werden könnte, wie den elektrischen Massen der älteren Theorie; damit wird zugleich die grob-materialistische Auffassung der Digitized by Google Anhang. 395 Elektricität, zu der die ältere Theorie geradezu herausforderte, mehr in den Hintergrund gedrängt. Nachdem der Boden soweit vorbereitet ist, folgt in § 44 die Betrachtung über das Zustandekommen und die Yertheilung der Elektricitätsmengen in einem geladenen Leiter. Um hier- tfber eine klare Vorstellung zu gewinnen, müssen wir, ein mechanisches System angeben können, das in seinem Verhalten mit dem elektrischen Systeme, um das es sich handelt, eng verglichen werden kann. Dazu genügt es, an den schon von vornherein benutzten Vergleich der elektrischen Verschiebung ® mit einer elastischen Verschiebung wieder anzuknüpfen. So lange wir nur Nicht- leiter haben, kann nirgends eine wahre Ladung auftreten. An der Grenzfläche der Leiter besteht im ersten Augenblicke, nachdem eine Polarisirung des ganzen Gebietes erfolgte, eben- falls noch keine wahre Ladung: sie bildet sich erst im Ver- laufe einer gewissen (wenn auch sehr kurzen) Zeit aus, indem der elektrostatische Zwang im Leiter allmählich erlischt, während er im Nichtleiter nur durch ein Bückgängigmachen der elastischen Verschiebung aufgehoben werden- könnte. Warum ist nun mit dem Erloschen des elektrostatischen Zwanges im Leiter nicht auch ein Zurückgehen der elastischen Verschiebung im angrenzenden Nichtleiter verbunden; wodurch wird der — nach unserem Bilde — aus dem Leiter in den Nichtleiter unter Ueberwindung eines elastischen Widerstandes verdrängte Aether verhindert, in den Leiter zurückzutreten, nachdem der elektrostatische Zwang im Leiter aufhörte? Die Antwort darauf ist leicht zu geben: der Aether unseres Bildes ist incompressibel. Wer mit dieser Antwort nicht zufrieden ist, wird weiter schliessen, dass eine Art hydrostatischen Druckes (bezw. Zuges) im Aether auftreten müsse, um den Zwang an der Leitergrenzfläche aufrecht zu erhalten. Li der That ist ja in dem Begriffe der Unzusammendrückbarkeit schon der vom Auftreten eines Widerstandes gegen jede Volumenänderung mit enthalten. Hier mag man es nun ver- missen, dass die Theorie von den Folgen des Auftretens eines Digitized by Google _ 396 Anhang. solchen Druckes gar nicht weiter Notiz nimmt. Indessen, wenn der Aether yoUkommen incompressibel ist, können durch diese Druckkräfte keine Longitudinalwellen (bezw. nur solche mit unendlich grosser Fortpflanzungsgeschwindigkeit) hervor- gebracht werden. In jedem Augenblicke regeln sich, unab- hängig von der Geschwindigkeit, mit der eine Aenderung des Zustandes erfolgt, an allen Stellen des Feldes die Verhältnisse so, dass die solenoidale Bedingung für den wahren Strom überall streng erfüllt ist. Hierin besteht die einzige physi- kalische Aufgabe jenes Druckes (oder Zuges) und auch die alleinige physikalische Wirkung, die er auszuüben vermag. Wir tragen ihm daher schon vollständig Rechnung, wenn wir, ohne weiter von ihm zu reden, überall von der genannten Bedingung Gebrauch machen. Die mechanische Erläuterung des Vorganges lässt daher kaum etwas zu wünschen übrig. Sie gestattet uns, eine deutliche Vorstellung von den Bedingungen zu gewinnen, unter denen die elektrischen Ladungen zu Stande kommen, die in engster Uebereinstimmung mit den Erfahrungsthatsachen steht. Das ist aber zugleich Alles, was wir von dem ge- brauchten Vergleiche erwarten können und erwarten dürfen. Bei dem gegenwärtigen Stande unseres Wissens müssen wir uns damit zufrieden geben, wenn wir irgend ein mecl\anisches System angeben können, das uns ein übersichtliches Erfassen und begreifen des Herganges bei der elektrischen Ladung in uebereinstimmung mit den Grundlagen der ganzen übrigen Theorie gestattet. Die Möglichkeit anderer Erklärungsweisen ist ausdrücklich offen zu lassen und die Aufgabe, alle Vor- stellungen, die dasselbe leisten, aufzusuchen und die stich- haltigste unter ihnen auszuwählen, der zukünftigen Entwicklung der Wissenschaft anheimzugeben. Genau dieselbe Betrachtung bleibt dann femer auch auf den Magnetismus anwendbar. Digitized by Google Anhang. 397 II. Zerlegnng eines lelielig im Baume yertheilten Yectors in einen wirlelfreien und einen solenoidalen Bestandtheil. Von einer solchen Zerlegung ist in diesem Buche oft genug Gebrauch gemacht worden; es mag daher am Platze sein^ hier noch einmal etwas näher darauf einzugehen. Unter $t sei ein stetig, aber sonst beliebig im Räume vertheilter Vector verstanden, d. h. zu jedem Punkte des Raumes gehöre ein bekannter Werth von St und in Nachbarpunkten sei St nur unendlich wenig verschieden. Verlangt wird, St an jeder Stelle in zwei Componenten X und ^ zu zerlegen, so dass X eine wirbelfreie und ^ eine solenoidale Vertheilung im Räume besitzt. In Gleichungen ausgesprochen heisst dies » + » = « («) curlX=-0, div© = (ß) Um diese Gleichungen nach den Unbekannten X und ^ aufzulösen, beachte man, dass % nach der ihm auferlegten Bedingung von einem scalaren Potentiale V und ^ von einem Vectorpotentiale 9L abgeleitet werden kanu, so dass (§ 36 u. 86) X = — VF, © = curl« ist. Die beiden neuen Unbekannten V und 9L lassen sich aber leicht ermitteln. Man nehme von Gleichung (a) die div, so erhält man mit Berücksichtigung der Gleichung (ß) und der Definitionsgleichung für V divX divVF^ V*F= div«. Damit %rhalten wir die Laplace'sche Gleichung für das gesuchte scalare Potential F, deren Lösung nach Gleichung (111) S. 86 4wJ r ist. Auf dieselbe Weise erhält man auch X; nach Gleichung (a), mit Berücksichtigung der Bedingungsgleichung für X und der Definitionsgleichung von X wird nämlich curl 9 = curP X = curl St. Digitized by Google 398 Anhang. Setzen wir fest (da in dieser Hinsicht der Willkür in Bezug auf die Hilfsgrösse X Spielraum gelassen ist), dass div Ä verschwinden soll, so ist nach Gleichung (72) S. 59 curP« V^« und die vorhergehende Gleichung liefert die Laplace'sche Gleichung V^« curlft, deren Lösung nach §§ 84 und 83 lautet, unsere Aufgabe ist hiermit vollständig gelöst. Denn setzen wir « = _ j_ V r^cz. + ,^curi r^i^c?., ^n J r ^ 4:7C J r ' so ist diese Gleichung zunächst identisch erfüllt, wie man mit Hülfe von Gleichung (72) und der Laplace'schen Gleichung erkennt und zugleich ist der erste der Bestandtheile, in die St dadurch zerlegt wird, wirbelfrei und der andere solenoidal vertheilt, wie es verlangt war. — Dass die Grösse Ä die ihr in der vorhergehenden Betrachtung auferlegte Bedingung div Ä=0 nach ihrer Ermittelung auch wirklich erfüllt, folgt sofort aus § 85. Bedeutet A einen beliebig gegebenen elektrischen Ver- schiebungsfluss, wie S in § 41, so stellt das erste Glied des für Ä gegebenen Ausdruckes jenen Theil des Verschiebungs- flusses dar, der von wahren elektrischen Massen j^sgeht. In § 40 wurde bewiesen, dass auch in rein elektrostatischen Feldern, falls nicht K überall constant ist, neben jenem auch noch geschlossene Verschiebungslinien auftreten. Setzt man den Werth von curl ® auf S. 96 in die oben abgeleitete Formel ein, so erhält man für den in § 41 mit X" bezeichneten Antheil von ® 2>" = 7^2 • curiy ^ dv, (4«)2 Digitized by Google Anhang. 399 was sich nach Gleichung (204) S. 235 und Gleichung (84) S. 64 auch noch weiter ausführen lässt. Um ein Missverständniss zu vermeiden, das, wie ich nach- träglich bemerke, ziemlich nahe liegt, erwähne ich noch, dass der Ausspruch am Schlüsse von § 40 natürlich nicht so zu verstehen ist, als wenn die geschlossenen Verschiebungslinien von elektrostatischen Feldern ihrem ganzen Verlaufe nach in die üebergangsschichten fielen. Der Satz bezieht sich vielmehr nur darauf, dass die geschlossenen Verschiebungslinien sich innerhalb der Uebergangsschicht schliessen, dass also innerhalb eines Gebietstheiles, in dem K constant ist, keine in sich zu- rückkehrenden Verschiebungslinien vorkommen. III. Anziehung einer Kupferscheihe durch die Polfläche eines alternirenden Elektromagneten. Eine Kupferscheibe oder ein Drahtring wird von der Pol- fläche eines alternirenden Elektromagneten im Allgemeinen ab- gestossen. Schon in §§ 124 u. 128 ist diese Erscheinung er- wähnt und dahin gedeutet worden, dass sich der geschlossene Leiter stets so einzustellen sucht, um den durch die umschlossene Fläche gehenden magnetischen Wechselstron^, möglichst klein zu machen. Unter besonderen Umständen wird die Wirkung aber in ihr Gegentheil verkehrt, nämlich dann^ wenn die Eupferscheibe einen merklich kleineren Durchmesser hat als die Polfläche des Magnetkerns und ihr in geringem Abstände gegenüber gestellt wird. Die Scheibe wird dann angezogen und haftet ziemlich fest an der Polfläche. Eine Beschreibung des Versuchs findet man z. B. in der Elektrotechnischen Zeit- schrift, Bd. 14, S. 238, 1893. Auch die Erklärung, die der Entdecker dieses Phänomens, Elihu Thomson, dafür gegeben hat, wird dort auseinandergesetzt; ich vermuthe indessen, dass der Leser von dieser Erklärung ebensowenig befriedigt sein wird, als ich selbst. Es möge mir daher der Hinweis gestattet sein, dass sich die Anziehung im vorliegenden Falle ganz einfach aus dem- Digitized by Google 400 Anhang. selben Grunde erklärt, wie vorher die Abstossung. Wenn die Eupferscheibe auf der Mitte der Polfläche haftet, wird sie von einem geringeren magnetischen Wechselstrome durchsetzt^ als wenn sie um ein nicht zu grosses Stück von der Polfläche entfernt ist. Das Eisen ist nämlich nicht absolut magnetisch weich; die inneren Schichten stehen daher unter dem Einflüsse der Schirmwirkung der äusseren und werden dementsprechend schwächer magnetisirt. Beim Uebertritt des Inductionsflasses in die Luft an den Polflächen gleichen sich diese Unterschiede dagegen aus. — Haftet die Scheibe auf der Polfläche, so be- wirkt der in ihr inducirte elektrische Wechselstrom eine Ver- drängung der Inductionslinien nach den peripherischen Schichten des Magnetkerns und er wird dabei durch die Schirmwirkung dieser Schichte^ unmittelbar unterstützt. Die Scheibe wird daher nur von einem verhältnissmässig geringen magnetischen Wechselstrome durchsetzt. Aehnlich vollzieht sich zwar der Vorgang auch noch, wenn die Scheibe in kleinem Abstände vor der Polfläche steht; hier kann sich aber der Einfluss der Schirmwirkung der äusseren Schichten des Magnetkerns nicht mehr in demselben Maasse geltend machen. Der schliesslich noch durch die Scheibe gehende magnetische Wechselstrom wird daher grösser als im vorigen Falle und die Scheibe sucht in die vorige Lage zurückzukehren. Auf eine ausführliche mathematische Analyse des ganzen Vorganges mochte ich jetzt nicht eingehen. Zur besseren Er- läuterung der vorhergehenden Ausführungen bemerke ich in- dessen noch, dass auch in unmittelbarer Nähe der Polfläche eines mit Gleichstrom erregten stabförmigen Elektromagneten die Induction O auf Punkten, die in der Magnetachse liegen, anwachsen muss, wenn wir uns von der Polfläche entfernen. Wäre das Eisen absolut weich, so müsste O zwar abnehmen, wenn wir von der Polfläche abrücken, wegen der Ausbreitung des Inductionsflusses über einen grösseren Querschnitt. An den Bandschichten trifft dies auch thatsächlich zu. Wenn der Eem aber von merklicher Härte ist, ändert sich dies an den centralen Theilen der Polfläche dadurch, dass beim Ueber- Digitized by Google Anhang. 401 gang in die L^ft def Inductionsflass eine wirbelfreie Yertheilung annimmt y die er im Eisen nicht hatte. Es wird daher eine Ablenkung der Inductionslinien der äusseren Schichten zunächst theilweise auch nach der Mitte hin stattfinden, ehe bei grösserer Entfernung von der Polfläche auch hier eine Ausbreitung nach aussen hin erfolgt, womit dann wieder eine Abnahme von 85 verbunden ist. — An der Stelle, wo diese ümkehrung eintritt, ist das Kupferscheibchen des E. Thomson'schen Versuchs im labilen Gleichgewichte. Diese ganze Betrachtung beruht nur auf einer einzigen Voraussetzung, an deren Berechtigung man etwa zweifeln könnte; nämlich auf der von mir in diesem Buche vertretenen Anschauung über die durch die magnetische Härte des Eisens bedingten Erscheinungen. Ich glaube indessen, dass man sich der Erkenntniss nidht verschliessen wird, dass diese Anschauung aus den experimentellen Daten über die magnetische Härte, mit denen sich die Fernwirkungstheorie in keiner Weise befriedigend abzufinden wusste, mit Nothwendigkeit folgt, dass es ^ sich hier in der That gar nicht um eine Hypothese sondern nur um die correcte Formulirung der thatsächlichen Beobachtungen handelt. In dem hier erörterten Verhalten des Kupferscheibchens in dem E. Thomson'schen Versuche glaube ich eine unmittel- bare Bestätigung dieser Anschauung erblicken zu dürfen. IV. Formelznsammenstellniig. A. Allgeinaine Gesetze für das Beohnen mit VectorgrÖssen. a) Bezeichnungen.« Alle Vectoren sind durcl? Fracturbuchstaben kenntlich gemacht, wie Ä, 8J, a u. s. f.; die zugehörigen Tensoren sind mit A, Bf a, die Componenten in den Richtungen der drei Grundvectoren i, j, I mit .A^^ A^ A^ u. s. f. bezeichnet. Das scalare Product wird ÄS, das Veetorproduct VäÖ geschrieben; FOppl, Maxwell'sohe Theorie der Elektricität. 26 Digitized by Google 402 Anhang. (Gl. 14, S. 16) (Gl. 16, S. 17) (G1.18», S.18) ß) Elementare Operationen. • «» = »« = AB cos («») .... (Gl. 7, S. 12) .V«» = -V««< • V.(« *+»)(« + 35) i i « V«» = A ^ ^s B^ B^ Bg Der Tensor von Vä» ist gleich AB sine (Gl. 13, S. 15) «V»« = «V«« = »V«« . • • (G1.21,S.25) Jedes dieser 3 Producta gibt den Inhalt des aus den Kanten K8}® gebildeten Parallelepipeds an; ferner ist Ai A^ A^ «V»6= SiB,B, (G1.22,S.26) Ci C/2 Cs V«V»e = »-««-®-«» . • . (GL23,S.27) V«» • Ve® = «6 • »® - »e • «» (Gl. 25, S.27) y) Differentialformeln. Der Hamilton'sche Operator "7 = i^/dx + i^/dy + l^/dz an einem Scalar ausgeführt, ergibt einen Vector. An einem Vector kann er entweder auf scalare oder auf Vectorart aus- geführt werden; man erhält jenachdem i i t ^/dx ^/dy ^Idz A^ -0-2 A^ Für die DiflFerentiirung nach einer scalaren Veränderlichen gelten* die Formeln div«=V« = curl«=VV« = (Gl. 44, S. 42) (Gl. 46, S. 45) Digitized by Google Anhang. 403 dA = dt'VA (Gl. 28, S. 33) ' . (G1.36,S.38) {dA ist die Aenderung des Sealars A bei einer Verschiebung um dx)\ hieraus folgt dA dn (Gl. 37, S. 39) (V^)o Operator (ttV) (oV)4 = o-V4 (gilt nur für Sealaren, wie A). (oV)«» = « • (iiV)» + » • (oV)«. (ttV)« = V««tt+Vcurl«.o . . Laplace'scher Operator div.V^=VU.' •curl.Vul = V«« = iVMi + iV*A + fV*^, . div • curl Ä = curl««=V-div«. — V^« .... (In der zweiten Zeile nach Gleichung 72 ist auf Seite 59 ein sinnstörender Druckfehler stehen geblieben, indem a anstatt K gesetzt ist) diT^»'=^div» + »*V^. . . . curl^» = ^curl»+V(V^)-» . diTV«» = « curl « — «curl» . . curlV^Ö = «div« —«div« + («Vj« - («V)« (Gl. 84, S. 64) 26* (Gl. 38, S; 39) (Gl. 40, S. 40) (Gl. 42, S. 40) (Gl. 55, S. 50) (Gl. 66,8.57) (Gl. 68, S. 57) (Gl. 69, S. 57) (Gl. 70, S. 58) (Gl. 71, S. 58) (Gl. 72, S. 59) (Gl. 78, S. 61) (Gl. 80, S. 61) (Gl. 81, S. 62) Digitized by Google 404 Anhang. V(curl«.») = (»VJ«~V««» . . '(61. 85; S. 64) V(curl«.») * = curl«V«» + »div«-V««» . . (Gl 86, S. 64) d) Anwendungen auf die Mechanik. Für Kräfte am Punkte gelten die Gleichungen 8t = 2J^; «11 = 2:^ti (S. 15). Die Geschwindigkeit ü für irgend einen Punkt eines sich bewegenden starren Körpers ist ti = tio+Vtti^ (G1.20,S.22) Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte $P am starren £[!orper : i;^d» = und Z'VtSp = 0. . . . (GL 26, S. 29) ümkehrung von Gleichung (20): tt = i.curlli .......... (Gl. 49, S. 48) Zerlegung der Geschwindigkeit K einer Flüssigkeit in der Nachbarschaft eines Punktes, von dem die unendlich kleinen Radieuvectoren a gerechnet sind: « = «^ + » +•© » = iy(curl«.a) ®=iy(curl«.a)+V««a Hiervon stallt fi die Formänderungsbewegung dar, für die curl ft = ist; curl Ä = curl ö gibt das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit der Wirbelbewegung an. B. Formeln der Fotentialtheorie. Satz von Stokes: Po f^d»=^fcml9i'9ldf (Gl. 90, S. 70) Po / fAd»=ßjn;\/Adf (Gl. 96, S. 72) j (Gl. 58, S. 53) Digitized by Google Anhang. 405 Satz von Gauss: ßS9t»df=4:JtfQdv. ...... (Gl. 117, S. 93) ./««irf/"=-/div«dt;. .... (Gl. 101, S. 77) fA%df=-ß7A'dv (Gl. 102, S. 79) j\%%df=fcxiiT\%-dv (Gl. 103, S. 80) Satz von Green: fVU-S/r- dv -\-fu-S7W- dv -\-f{ir7V)%df=o Gleichung von Laplace: ' V'F^ Q oder V*F= — 4;rp. Sie hat die Lösung F=A^ bezw. V^'ßl" (G1.111,S.86, 113,S.88) (Gl. 120, S. 100) (Gl. 176. S. 215) Vectorpotential. Definition: «=Jl^ Laplace'sctie Gleichung: V««=-4«f. ........ (GJ. 179,8.218) Falls divc = ist div« = . . (Gl. 181, S. 221) curl« = - Aytr = ^ • e (Gl. 115, S. 91) dT = ^f&%dv=^ «rft; (Gl. 116, S. 92) div® = iT?/ + ^ « • VZ . . . . (Gl. 118, S. 96) p/=^div«; 9„ = divS. ... (61.119,8.98) T = \ff^-Qfdv (Gl. 123, S. 103) Goulomb'sches Gesetz: e'.e'' e'.e'l F=^^'-'K^ (Gl. 127,8.116) » = ;*•§ (Gl. 128, 8. 123) dT=±»§dv = £#>'• rfr = ^mv (Gl. 129, 8. 123) tf«; = (Gl. 130, 8. 127) 'f ^ = ^.^^J .(Gl. 134,8.128) Inductionsgesetz: = 4:7cJ. (Gl. 141, S. 147) Po ErsteHauptgleichung, 1) falls nur Leitungsströme vor- komtaen: curl§ = 47ri. ........ (Gl. 143, ß. 151) 2) mit Berücksichtigung der Verschiebungsströme: curl§ = 4jrc = 4;rÄ« + JS:^ . . (Gl. 154, S. 159) Digitized by Google Anhang. 407 3) zugleich mit Berücksichtigung der eingeprägten Kräfte in magnetisch harten Medien und der Convectionsstrome: curl(§ — §0 = 4:7Ct = (47th + K^^i& + 4jrtt div2) (Gl. 174, S.213) Ohm'sches Gesetz: i = Äe (GL 145, S. 153) loule'sches Gesetz: . Q^m=m^=^^ e^Gi- 1*?, s. 154, gi. ws s. 155) Magnetischer Strom: 8 = ^ • (Gl. 158,8.163) divB = (Gl. 160, S. 164) Zweite Hauptgleichung, 1) ohne Berücksichtigung der eingeprägten elektrischen Kräfte: ^ c«rie = -8==-f- = -^^ . (Gl. 163,8.171) 2) mit deren Berücksichtigung: • curl («-«,) g ^. . . (Gl. 175; S. 214) Tafel der Dimensionen siehe S. 172, 266 und 273. D. Formeln des dritten Abschnittes. Elektrodynamische Kraft: 5=Ve« (Gl. 166,8.180) Magnetodynamische Kraft: 5' Vb2) (Gl. 170, 8. 182) Im Dielektricum ist ^ + ^ = ÄV2)». (Gl. 171, 8. 182) Digitized by Google 408 Anhang. Herleitung der magnetischen Kraft aus dem Yector- poteutiale der elektrischen Strome: |=|„ + curl« 1(61.191,8.224) ö = öm + /t curl « = ©„ + curl Ämöw. J ^ §^§m-f^Yttdv (Gl. 193,8. 227) Directe Bestimmung von KMazw. für den allgemeinsten Fall : JilM»w.=/^ ; . . (Gl. 200, 8. 231) wobei ! = t + JLcurl^i + ~y(Vft)§ (GL 199, S. 231) und div! — j^V--curl«. (Gl. 201, 8. 232) also nicht gleich Null ist. §,^f-^dv = pot.cxirlt. . . . (Gl. 205, 8.235) §,„ j^^^ Po*^- ^<^/ • • (^'' 206, S. 237) Intensität der Magnetisirung: 3=-&^~^'- (61.208,8:243) e^ div3 (Gl. 212, 8. 243) Vectorpotential eines Magneten für den Luftraum: «„ = /V3 • vi •